Concetti chiave dell’interpolazione

1. Concetti chiave dell’interpolazione

2. introduzione • Interpolazione è un metodo per individuare nuovi punti del piano cartesiano partendo da un insieme finito di punti dati, questi punti devono potere riferirsi ad una funzione f(x) di una data famiglia di funzioni di una variabile reale. L’interpolazione è molto utilizzata nel campo scientifico per analizzare i dati di qualsiasi fenomeno per individuare una funzione che passi per tutti i punti dati o almeno nelle loro vicinanze.

3. Il procedimento di interpolazione viene utilizzato quando si hanno alcune coppie di dati (x;y) riguardanti il medesimo fenomeno, essi vengono interpretati come punti del piano cartesiano e partendo da questi punti, bisogna costruire una funzione, (F.INTERPOLANTE) che riesce a descrivere la relazione che intercorre fra l'insieme dei valori x e l'insieme dei valori y. Da un punto di vista pratico la funzione interpolante viene utilizzata per stimare i dati mancanti(i dati ci serve conoscere per capire il fenomeno pur non potendo praticamente misurarli). E’ però necessario evitare di applicare il procedimento di interpolazione applicato all’esterno del range da noi misurato, questa operazione viene detta ESTRAPOLAZIONE e potrebbe portare a risultati affetti da un grande margine di errore.

4. Inizialmente bisogna rappresentare i dati rilevati in un piano cartesiano e così facendo avremo la tipica disposizione di un diagramma a dispersione. In seguito è necessario scegliere il tipo di funzione interpolante in base al tipo di diagramma a dispersione osservato, esistono 2 tipi di queste funzioni: • Funzione lineare • Funzione esponenziale.

5. Scelto il tipo di funzione interpolante bisogna perfezionare l’accostamento della funzione da noi scelta ai punti del diagramma a dispersione e questa operazione viene effettuata attraverso il metodo dei minimi quadrati. (è importante ricordare che si va a stimare gli errori mediante la sottrazione dei valori osservati da quelli derivanti dall’interpolazione, la semplice somma delle differenza di questi valori sarebbe un dato troppo poco significativo in quanto gli errori tendono a compensarsi e questo porterebbe a risultati profondamente errati).

6. Metodo dei MINIMI QUADRATI • Per avere un dato significativo bisogna quindi elevare al quadrato la differenza tra il risultato dell’interpolazione e quello rilevato. Prendendo come esempio una funzione lineare: y*=a+bxi La sua condizione di accostemento diventa: Σi [yi – (a+bxi) ] 2 = minimo In seguito bisogna calcolare i valori di a e b in modo che la funzione sia minima : f(a, b) = Σi [yi – (a+bxi) ] ^2