1 / 73

Teorija potražnje I

Teorija potražnje I. Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje. Potrošačev problem - ukratko. U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup) Relaciju preferencije ≿ definiranu na

taber
Download Presentation

Teorija potražnje I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Teorija potražnje I Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje

  2. Potrošačev problem - ukratko • U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: • Skup mogućih izbora • Skup dostupnih izbora (budžetski skup) • Relaciju preferencije ≿definiranu na • Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili tako da x* ≿ x za svaki

  3. Funkcija korisnosti - ukratko • Svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti • Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿ • Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti

  4. Funkcija korisnosti - ukratko • Ako su preferencije racionalne, neprekidne, lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša” • Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna • Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)

  5. Funkcija korisnosti - ukratko • Također znamo da je funkcija korisnosti strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija) • Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija

  6. Funkcija korisnosti - ukratko • Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje • U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole

  7. Izbor potrošača • Walrasovski budžetski skup • Cijene i bogatstvo (dohodak) su strogo pozitivni

  8. Potrošačev problem • Potrošačev problem može se napisati kao ... (3.1)

  9. Pitanja • Pitanja koja postavljamo: • Da li postoji rješenje ovog problema? • Ako rješenje postoji, kako do njega doći?

  10. Da li rješenje postoji? • Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti • Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum) • Dakle, ovaj problem ima rješenje

  11. Kako do rješenja? • Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja • Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao: • uvjeti nenegativnosti • jednakosti • nejednakosti (primjeri za L=2)

  12. Kako do rješenja? • Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti • Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode • Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić

  13. Kako do rješenja? • Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti • Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće • Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili

  14. Kako do rješenja? • U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje

  15. Kako do rješenja? • Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja • Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*

  16. Maksimizacija korisnosti • Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C b x* C

  17. Maksimizacija korisnosti • Nagib nivo krivulje od f u točci x* je

  18. Maksimizacija korisnosti • Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h • Nagib funkcije ograničenjau točci x* je

  19. Maksimizacija korisnosti • Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x*jednaki, možemo pisati ... (3.2)

  20. Maksimizacija korisnosti • Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način ... (3.3)

  21. Maksimizacija korisnosti • Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa ... (3.4)

  22. Maksimizacija korisnosti • Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe ... (3.5)

  23. Maksimizacija korisnosti • Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice • Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:

  24. Maksimizacija korisnosti ...(3.6)

  25. Maksimizacija korisnosti • Definirajmo Lagrangeovu funkciju • Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje ... (3.7)

  26. Maksimizacija korisnosti • Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli, • Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja” • Ovo funkcionira samo kada su i iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti od nule

  27. Kvalifikacija ograničenja • To se naziva kvalifikacija ograničenja i predstavlja blagu restrikciju skupa ograničenja • Ono znači da se kritične točke funkcije ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi

  28. Kvalifikacija ograničenja • Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena • Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji

  29. Maksimizacija korisnosti • Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacijaprvog reda po svim varijablama s nulom

  30. Maksimizacija korisnosti • Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions) • Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći: ... (3.8)

  31. Maksimizacija korisnosti • Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum • Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda • Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum

  32. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Označimo sa i sa gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x

  33. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu • Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije • U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)

  34. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su) x* x* C C

  35. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao ili f (x*) = h (x*)

  36. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • To znači da su gradijent vektori kolinearni • Lagrange-ov multiplikator je faktor proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti

  37. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao ... (3.9)

  38. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao ... (3.10)

  39. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda

  40. Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja

  41. Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja • Kaže se da ograničenje zadovoljava NDCQ (nondegenerate constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan • Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine

  42. Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 • Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4) prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača

  43. Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 • U rubnom optimumu gdje ova jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena

  44. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Slika 3.3: (a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje x2 x2 p λp p x1 x1

  45. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za dobijemo sljedeći rezultat • Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)

  46. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Izraz pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i • To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno • Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak

  47. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Ovaj rezultat implicira da predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti • Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka

  48. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Tako se ekonomski interpretira kao granična korisnost dohotka • Na taj način predstavlja novu mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje

  49. Rješenje problema maksimizacije korisnosti • Dakle, rješenjem problema maksimizacije korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata: • Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora • Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti

More Related