1 / 50

HADAMARD MATRİS VE KODLARI

HADAMARD MATRİS VE KODLARI. Tanım 1.1 (Hadamard Matris) n . mertebeden bir Hadamard matris , elemanları -1 ve +1’ lerden olusan n × n tipinde bir karesel matristir . ile gösterilir . n I , n. mertebeden birim matris olmak üzere ; dir. BÖLÜM 1. HADAMARD MATRİSLER VE ÖZELLİKLERİ.

sybil-arnold
Download Presentation

HADAMARD MATRİS VE KODLARI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. HADAMARD MATRİS VE KODLARI

  2. Tanım 1.1 (Hadamard Matris) n. mertebedenbirHadamardmatris, elemanları-1 ve +1’ lerdenolusann×ntipinde birkareselmatristir. ilegösterilir. n I , n. mertebedenbirimmatrisolmaküzere; dir. BÖLÜM 1.HADAMARD MATRİSLER VE ÖZELLİKLERİ

  3. Asagıdakimatrisler 1. mertebeden, 2. mertebedenve 4. mertebedenHadamard matrislerdir. ÖRNEK

  4. n. mertebedenveelemanları -1 ile +1’lerden olusan her matrisHadamardmatris degildir. Bununiçinmertebeninveelemanlarındizilisininbazıözelkosullarasahipolmasıgerekir. Bu kosullardanileridebahsedilecektir. Hadamardmatrislerbastailetisim (özelliklemobililetisim) vekodlarteorisiolmak üzerebirçokalandakullanılmaktadır. Halen mertebesidahabüyükHadamardmatrislerolusturmakiçinçalısmalardevam etmektedir.

  5. Tanım 1.2(Denk Hadamard Matrisler veStandart Form) a) bagıntısınınönceliklisonucu, ’ ninherhangiikisatırının (aynızamandaikisütununun) ortogonal (dik) olmasıdır. i) Herhangiikisatırveyasütunyerdegistirilirse, ii) Birsatırveyasütunun her elemanı -1 ileçarpılırsa, iii)H ’nintranspozesialınırsa, yukarıdaki özellikler değişmez.

  6. b) Yukarıdakiüçislemegöresadecebazıfarklıkombinasyonlardanolusaniki Hadamardmatrisindenkolduklarısöylenebilir. c) BirHadamardmatriste, en üstsatırıve en sol sütunutamamen +1’ lerdenolusan denkbirmatrisolusturabiliyorsabuHadamardmatriseStandart form denir. d) Artakalansatırlar +1’lerden ve -1’lerden olusur. Eger n>1 ise n, çiftolmak zorundadır.

  7. Teorem 1.1 Eger birHadamardmatrisn.mertebedenise, o zaman 1’in, 2’nin ya da 4’ün birkatıolmakzorundadır[1]. • Ispat Varsayalımki n>2 olsunvestandardındakisütunlarıdegistirilsin. Öyleki;

  8. Bu taktirde, denilebilir. Bu nedenlen=4a (aynızamanda n=4b=4c=4d) dir. Sonuçolarak ; n.mertebedenbirHadamardmatrisinderecesi 1’ in, 2’ ninya da 4’ ünkatıolmakzorundadır. Bu yüzden 3. , 5. , 7. ,…vs. mertebedenHadamardmatrislermevcutdegildir. 4’ ünkatıolan her n için, n.mertebedenHadamardmatrislerinvarlıgıhenüzkesinlesmemistir. Su anakadarbulunan en büyükmertebeliHadamardmatrisinmertebesi428’ dir [1].

  9. Tanım 1.3(KroneckerÇarpımı) • Tanım 1.4(Konferans Matris) n. mertebedenbirkonferansmatrisi, kösegenelemanları 0’lardan, digertümelemanları+1 ve-1’ lerdenolusankareselbirmatristir. C ilegösterilir. Öyleki;

  10. Bu bölümdeHadamardmatrisolusturmayöntemlerinden, KonferansmatrisveKroneckerçarpımıyöntemleritanıtılıp, Hadamardmatrisinnasılolusturulacağıgösterilecektir. BÖLÜM 2. HADAMARD MATRİS OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ

  11. 2.1. KroneckerÇarpımıYöntemi veikiHadamardmatrisolmaküzere, buikimatrisinKroneckerÇarpımı,yine, m.ntipindebirHadamardmatrisolur. • İspat ve , m. ve n. mertebedenikiHadamardmatrisolmaküzere, genellikle, formunda’ nin her (+1) iniile, ’ nin her (-1) ini (–) iledegistirilerekolusturulanmatrisHadamardmatristir. Bunudogrudanhesaplayarakkontroletmekçokkolaydır. Şöyle ki; olarak seçildiğinde;

  12. Yani; olur. H, Hadamardmatrisözelliklerinisagladıgından, ispattamamlanmısolur.Buna göre; örnegin m=n=2 seçilirse 2.mertebeden ikiHadamardmatrisiKroneckerçarpımıile 4.mertebeden birHadamardmatriseldeedilecegigörülür;

  13. O halde; i) t=1, 2, 3,… tamsayılarıiçin t 2 . mertebedenHadamardmatrislervardır. ii) Eger n. mertebedenbirHadamardmatrismevcutsa, 2n. mertebedenbirHadamardmatristemevcuttur.Çıkarımıyapılabilir. • Lemma 2.1.1 KroneckerçarpımıyardımıylaHadamardmatristüretilirken; türetmekiçinseçilenHadamardmatrislersimetrikise, olusanHadamardmatris de simetrik; seçilenlerdenen azbirininsimetrikolmamasıhalindeise; olusanHadamardmatrissimetrik olmayanbirmatrisolur. Bu seçilen 2. mertebedendurumlariçinasagıdakisekildeispatlanabilir; şartlarını sağlayan simetrik bir Hadamard matris ve Simetrik Hadamard matrisleri olsun .

  14. H matrisininHadamardlıgıincelenir. olur.

  15. Genelleştirme: eşitliği sağlandığında formusimetrik olur. • 2.2. KonferansMatrisYöntemi n. mertebedenbirkonferansmatrisi, kösegenelemanları 0’ lardan, digertümelemanları +1 ve -1 lerdentipindeve şartlarını sağlayan bir matristir. Yani; C konferans matrisi için ise, dir.

  16. Lemma 2.2.1 Eger C terssimetrikbirkonferansmatrisise, o zaman I+C, n.mertebedenbirHadamardmatristir. • İspat H=I+C olmaküzere, dogrudanhesaplanır. ise, oldugugösterilir. H. =I+ =I-C+C+C. (C.) =I+(n-1).I = oldugugörülür. İspattamamlanmıstır.

  17. Lemma 2.2.2 Eger C tipindebirkonferansmatrisise, o zaman,I+C -I+C seklindetanımlanantipindesimetrikHadamardmatrisolur. • İspat TanımlananH simetrikoldugundan dir.Dolayısıyla;

  18. olur. Ispattammamlanmıştır. Bununlaberaber; Bu genellestirmenin n=2 içindogruoldugufakat n=4, n=6, n=8 içindogrulugununsayısalolarakgösterilmedigiasagıdakilemmalarveörneklerdenanlasılmaktadır.

  19. Lemma2.2.3 6. mertebedensimetrikkonferansmatrisiyazılamaz. • İspat 6×6 lıksimetrikkonferansmatrisiA=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1 olmaküzere, olsun . C, 6. mertebedensimetrikkonferansmatrisiningenellestirilmishali, şartınısağlamaküzere,

  20. olmalıdır. Bu durumda;

  21. olacak şekilde, A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1 çözümübulunmalıdır. Yukarıdakidenklemlerden;

  22. Denklemlerieldeedilir.Fakatbu 10 tanedenklemden ; aranılançözümbulunamaz.Çünkübu 10 denklemiolusturan A, B, C, D, E lerinisarettablosundan,aranılansekildeçözümününolmadıgıgörülür.Sonuçolarak ;A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1 lerdenolusan 6.mertebeden simetrikkonferansmatrisyazılamaz. Dolayısıylalemma 2.2.2. ye uygunolarak 12x12 tipindesimetrikHadamardmatrisinkonferansmatrisyöntemiyletüretilemeyecegigörülür.

  23. Lemma 2.2.4 8. mertebedensimetrikkonferansmatrisiyazılamaz. • İspat 8. mertebedensimetrikkonferansmatrisi A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1, F= ±1, G= ±1 ve şeklinde seçildiğinde; C simetrikkonferansmatrisi, sartınısaglamaküzere,

  24. Bu durumda;

  25. Fakatbudenklemlerden 2AE ±2BF ±2CG =0,AE ± BF ± CG =0 denklemi, A=±1, B=±1, C=±1, E=±1, F= ±1, G= ±1 sartlarınısaglamaz.Yaniyazılandenklemsistemininbelirtilenkosullarauygunolarakçözümüyoktur. Sonuçolarak; A=±1, B=±1, C=±1, D=±1, E=±1, F= ±1, G= ±1 lerdenolusan8.mertebedensimetrikkonferansmatrisyazılamaz. Dolayısıylaolarak lemma 2.2.2. ye uygunolarak 16x16 tipindesimetrikHadamardmatrisinkonferansmatrisyöntemiyletüretilemeyecegigörülür.

  26. Özellik 3.1 H, lerdenolusanHadamardmatrisise • İspat n×ntipindebirHadamardmatrisve olmaküzere, olur. BÖLÜM 3. HADAMARD MATRİSLE İLGİLİ BAZIÖZELLİKLERİN BELİRLENMESİ VE İSPATI

  27. elemanlarından oluştuğundan Denklemsistemininçözümkümesisudurumlardasaglanır. 1. durum olarak; asagıdakiçözümkümesindensimetrikolmayanHadamardmatristüretilir. 2. durum olarakasagıdagörülençözümkümesinden de; olmaküzere , simetrikolanHadamardmatrisleritüretilir Böyleceispattamamlanmıstır.

  28. Özellik 3.2 Eger H tipindebirHadamardmatrisise, ortogonalbirmatristir. • İspat H Hadamardmatrisise,dır. dir. Bu durumortogonalözelliginisagladığından, ortogonaldir.

  29. Özellik 3.3 Eger H, tipindeHadamardmatrisise,dir. ise • İspat H, Hadamardmatrisise,dir. olup, ispattamamlanmısolur.

  30. Tanım 3.1(HadamardÇarpım) A ve B aynıtipteikiHadamardmatrisolmak ve iseA ve B ninHadamardçarpımı; • Lemma 3.1 AynıtipteikiHadamardmatris A ve B olmaküzere, buikimatrisinHadamardçarpımı, Hadamardmatrisolamaz. • İspat A ve B Hadamardmatrislerise; ve dir. A ve B ninHadamardçarpımları K olsun. Yani, olusanyenimatrisiHadamardmatrisolamaz.

  31. Lemma 3.2 H , tipindesimetrikHadamardmatrisve olmaküzere;A matrisi 2 periyotlu, periyodikveinvolutifbirmatristir. • İspat oldugugösterilmelidir. H simetrikHadamardmatrisoldugundan; olur. O halde; oldugugörülür. O halde A, 2 periyotlumatristir.Ayrıca oldugundan A involutiftir.

  32. Tanım 3.2(HadamardKuvvet) A, tipindeHadamardmatrisveolmaküzere, A matrisininHadamardkuvveti dir. Sonuçolarak; A, Hadamardmatrisve kN olmaküzere, için,

  33. ,4.1 KodlamaTeorisindeUygulaması , n. mertebedenbirHadamardmatrisolsun. O zamanasagıdakilermevcuttur. Eger n, X gerçekvektörününuzunluguise dönüsümü, Hadamarddönüsümüdiyeadlandırılır. Yakın zamanlardaHadamardmatrislerinuygulamalarıiçinde CDMA mobililetisimsistemlerinintanıttıgıikiçesitHadamardmatriskullanılmıstır. Bunlarortogonalkanalizasyonlariçin 64. mertebedenKroneckerÇarpımı tipi vekısauzunkodlariçinsırasıyla. ve. mertebedenDairesel tip’ dir . BÖLÜM 4. HADAMARD MATRİSLERİN UYGULAMALARI

  34. 4.2. _İstatistikHesaplamalardave Optimal KontroldeUygulaması HadamardMatrislerve optimal tartmatasarımı p cisimlerininikikefesivebirtarafaegimliolmayanbirkimyaterazisindetartıldıgıvarsayılsın.

  35. O zamanmatristartmaisleminitamamennitelendirmektedir.pcisimleriningerçekagırlıklarışeklindeyazılsın, tartmaisleminin sonuçlarıiçin de yazılsın. (böyleceeldeedilensonuçlar, icisminintartılmasıisleminde, sol kefedekitartımıni y miktarında sag kefedekitartımdanfazlaoldugunugösterir). w’larınvey’lerinsütunvektörleri W ve Y olarakayrıayrıifadeedilsin. O zamaneldeedilensonuçlardogrusalbirmodelletemsiledilebilir. e’ninsütunvektörüdürvetahminisonuçlagözlemlenensonuçarasındakihatadır.

  36. X’ in HadamardMatrisalındıgıdurumdaortayaçıkanhatası; X’ in Hadamardolmayanbirmatrisalındıgıdurumdaortayaçıkanhatasınınkareleritoplamındanvemutlakdegerleritoplamındandahaküçüktür. Yaniolduğugörülür.Dolayısıyla; X Hadamardoldugunda, bukimyasaltartıtasarımınınoptimalliksartınınsaglandıgıgörülür.

  37. Blok şifrelerdekullanılandoğrusaldönüşümlersabituzunluktakibirgirişbloğunudoğrusalolarakkarıştırarakaynıuzunluktabirçıkışbloğueldeederveşifreyeyayılımsağlar. Dolayısıylaşifreningüvenliğinidoğrudanetkilerler. Literatürdeçeşitlidoğrusaldönüşümlerbulunmaktadır. Bazıdoğrusaldönüşümlercebirseltabanlıikenbazılarıiserastsalgörünüşlüolacakşekildetasarımmekanizmalarınasahiptir. Bu çalışmada AES, ARIA, Khazadve Camellia gibiönemlişifrelemealgoritmalarındakullanılandoğrusaldönüşümler mevcuttur. BÖLÜM 5. Önemli Blok ŞifrelerdeKullanılanDoğrusalDönüşümlerinİncelenmesi

  38. bütün -1 ler 0 ile değiştirilir. HADAMARD KODLARI VE DEKODLAMASI

  39. Aşağıda 16 elemanlı bir Hadamard kodunu görüyoruz üreteç matrisi olabilir.

  40. Hadamard matrisin özelliklerinden birini hatırlayalım. tipindeki hadamard kodu lineer koddur ve bu kod tane hata düzeltebilir. yerine ve yerine de yazabilmek için aşağıdaki formülü kullanırrız;

  41. Kodların nasıl kullanıldığıyla ilgili süreci belirlemek için gercek bir uygulamaya bakmalıyız. Mariner 9 uzaydan bilgi gönderen bir uydudur ve görevi Mars etrafında uçmak ve fotoğrafları Dünya’ya aktarmaktır. Uydudaki siyah-beyaz kamera fotoğrafları çekiyor ve bu fotoğraf karelere ayrışıyor,daha sonra her kare için siyahlığın derecesi 0 ‘dan 63 ‘ e kadar olan skalada ölçülüyor. Hadamard kodları ve Mariner 9 misyonu

  42. İkili sözler halde ifade edilen bu numaralar Dünya’ya gönderiliyor. Ancak ulaşan sinyal çok zayıf ve bu muhtemelen amplifikatörden kaynaklanıyor. Uzaydaki gürültü sinyale ekleniyor ve amplifikatörden gelen termal gürültü bundan etkileniyor . bunun sonucu olarak örneğin ‘1’ olarak gönderilen sinyal ‘0’ olarak alınıyor. Ve bunun gerçekleşme ihtimali 0.05 ise o zaman formül aşağıdaki gibi olur:

  43. Alınan resimlerin yaklaşık olarak %26 sı doğru değildir. Dolayısıyla bu alınan sinyali dekodlamak için bir hata düzelten koda ihtiyaç duyarız.

  44. Şimdi dikkat edeceğimiz nokta kodlama ve dekodlama yaparken kullnacağımız hadamard kodudur. Hamadard matirisi doğru bir şekilde seçtiğimizde, elde ettiğimiz kod lineer bir kod olacaktır ve yani üreteç matristen elde edilen verilerin çarpılmasıyla sonuc elde edilmiş olur.

  45. Hadamard matrisi için doğru seçim, kronecker çarpımı ile elde edilen hadamard matrisidir. Yukarıda görüdğümüz bir simetrik hadamard-sylvester matrisidir.

  46. i ve teorem 1 ‘i referans alıp, alınan herhangi bir sözünün dekodlanması için basit bir şema kullanırız. 1. Adım : alınan sinyal ise sırasıyla satırındaki tüm 0 ‘lar -1 ‘e dönüştürülür, aşağıdaki dönüşüm uygulanır: Algoritma :

  47. 2. Adım : ‘s’ aşağıdaki denklem sayesinde hesaplanır: 3. Adım : alınan sözü eğer bir kodsöz ise o halde hata yoktur ve; , a eşit olur.

  48. 4.Adım :eger hatalar meydana gelmişse sendromu bu şekilde hesaplayamayız. Ancak hata sayısı en fazla 7 ise o zaman teorem1 i hatrılarsak, en geniş bileşenin mutlak değeri ‘ten küçük olamaz ve diğer bileşenlerin mutlak değerleri ise den kğçğk olamaz. Bunun sonucunda sendromun yeri en büyük mutlak değerle birlikte bize hangisi satırın aktarılacağını söyler.

  49. Ve son olarak ; 5. Adım : fakat varolan hatalar çok fazla ise bu durumda dekodlama yapılması mümkün olmaz.

  50. BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER… Burcu BOZKURT 08052063 Deniz ERBAY 08053059 Gül YILMAZ 09052063

More Related