MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES
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MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES. Danielle FORTUN É Université de Poitiers. Camélia LERINTIU Université de Poitiers P prime. Kossi ATCHNOUGLO Université de Lomé. Claude VALLÉE Université de Poitiers P prime. Jamal CHAOUFI

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Danielle FORTUN É Université de Poitiers

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Presentation Transcript


Danielle fortun universit de poitiers

MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES

APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES

Danielle FORTUNÉ Université de Poitiers

Camélia LERINTIU

Université de Poitiers P prime

Kossi ATCHNOUGLO

Université de Lomé

Claude VALLÉE

Université de Poitiers P prime

Jamal CHAOUFI

Université d’Agadir

Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010- Poitiers


Danielle fortun universit de poitiers

Plan de l’exposé

1-Introduction : Lois de comportement

2-Suite de Fitzpatrick pour une loi linéaire monotone non associée Y=Ax

3-Lois linéaires coaxiales: « loi de Hooke généralisée »

4-Lois linéaires coaxiales et suite de Fitzpatrick

5-Construction des fonctions : étude de matrices 2x2

6-Polynômes de Tchebychev de 2ème espèce

7-Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick

8-Quel bipotentiel pour la loi coaxiale?

9-Conclusion et perspectives


Introduction

Introduction

y tenseur symétrique des contraintes de Cauchy dans l’espace de Banach réel Y

x le tenseur symétrique des petites déformations dans l’espace de Banach réel X dual de Y

Produit scalaire

Norme associée

La loi de comportement est la donnée du graphe

d’une multifonction T.

Le couple (x,y) satisfait la loi de comportement s’il est dans le graphe.


Introduction1

Introduction

  • Les matériaux standards (MS):

    potentiels différentiables

  • Matériaux standards généralisés (MSG) :

    potentiels convexes sous-différentiables

  • Matériaux standards implicites (MSI) :

    bipotentiels

  • Matériaux standards implicites monotones (MSIM):

    lois de comportement maximales monotones


Introduction mat riaux standards

Introduction : Matériaux standards

  • Le graphe dans lequel évolue (x,y) est une sous variété symplectique maximale de l’ espace XxY. Pour les (M.S) , il existe une fonction différentiable appelée potentiel telle que la loi de comportement s’écrive

  • Si ce potentiel est convexe l’inverse de la loi de comportement s’écrit

  • où est la transformée de Legendre du potentiel


Danielle fortun universit de poitiers

Introduction : Matériaux standards généralisés

  • Pour certains matériaux la relation entre x et y est une multifonction

  • Non différentiabilité du potentiel tout en gardant la convexité et la semi-continuité inférieure (J.J.Moreau, R. T. Rockafellar ): classe des matériaux standards généralisés

  • La loi de comportement se décline par une des trois formes équivalentes suivantes


Introduction g n ralisation

Introduction : Généralisation

  • La dernière égalité peut être regardée comme le cas extrémal de l’inégalité de Fenchel pour le couple (x,y) satisfaisant la loi de comportement

  • A l’appui de cette idée,Géry de Saxcé a modélisé le comportement des matériaux en renonçant à la somme des deux potentiels mais en travaillant avec une fonction du couple (x,y) appelée bipotentiel .

L’égalité pour le couple (x,y) est réalisée lorsque x et y

sont liés par la loi de comportement du matériau.


Introduction mat riaux standards implicites

Introduction : Matériaux standards implicites

  • Les bipotentiels b(x,y) respectent les règles suivantes

  • Convexe et semi-continue inférieure en x

  • Convexe et semi-continue inférieure en y

  • et

Un matériau est appelé matériau standard implicite (MSI)si sa loi de comportement s’exprime par l’une des 3 propriétés équivalentes suivantes


Introduction mat riaux standards implicites monotones

Introduction: Matériaux standards implicitesmonotones

Lois de comportement maximales monotones

Une loi de comportement est monotone si pour deux couples

Elle est maximale si elle ne peut pas s’étendre en une loi qui serait encore monotone


Danielle fortun universit de poitiers

Suite de Fitzpatrick

Pour une multifonction maximale monotone T

La suite de fonctions de Fitzpatrick associée à T est


Suite de fitzpatrick loi lin aire monotone non associ e y ax

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax

Loi linéaire y=Ax

A non symétrique, S définie positive .

Couple (x,y) avec y non nécessairement égal à Ax

Double suite bouclée

Suite de Fitzpatrick associée à A


Suite de fitzpatrick loi lin aire monotone non associ es y ax

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax

Changement d’origine

Le maximum est atteint lorsque


Suite de fitzpatrick loi lin aire monotone non associ es y ax1

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associées Y=Ax

Trouver la valeur de z1?


Suite de fitzpatrick loi lin aire monotone non associ e y ax1

Suite de Fitzpatrick : loi linéaire monotone non associée Y=Ax

Ainsi:


Suite de fitzpatrick r sultat

Suite de Fitzpatrick : résultat

Suite de Fitzpatrick associée à la loi linéaire y=Ax

A non symétrique

Matrices Hn

Remarque : La notation Hn est cohérente:

FA,n-1 est associée à Hn-3, et ainsi de suite


Lois lin aires coaxiales

Lois Linéaires coaxiales

Lois linéaires coaxiales

k tenseur symétrique , μ scalaire, e identité

Ces lois respectent bien la propriété

de conservation des directions principales de x et y

h déviateur de k

si h est nul, k sphérique : Loi de Hooke


Lois lin aires coaxiales loi de hooke g n ralis e

Lois Linéaires coaxiales : Loi de Hooke généralisée

Lois linéaires coaxiales

Conditions de monotonie

Conditions traditionnelles

Condition supplémentaire

Interprétation moderne du principe énoncé par R. Hooke

« tant on tire, tant ça s’allonge ».

D’où l’appellation de loi de Hooke généralisée


Lois lin aires coaxiales application a

Lois Linéaires coaxiales : ApplicationA

,

,

appliqué à x ne retient que xd déviateur de x

Choisir la base orthonormée ?


Lois lin aires coaxiales application a1

Lois Linéaires coaxiales : ApplicationA

sphérique unitaire

,

partie déviatorique de k

,

4 déviateurs

Tous unitaires et orthogonaux


Lois lin aires coaxiales application a2

Lois Linéaires coaxiales : ApplicationA

Base orthonormée

,

,


Lois lin aires coaxiales suite de fitzpatrick notations

Lois linéaires coaxiales : Suite de Fitzpatricknotations

Décomposition des matrices Hn

matrices 4x4 sphériques hn et matrices 2x2 sn

,

,…,


Construction des fonctions f a n x y matrices sph riques h n

Construction des fonctions FA,n(x,y) : matrices sphériques hn

Expressions des hn et ses inverses

On suppose

Parrécurrence


Construction des fonctions f a n x y caract risation des matrices 2x2 s n

Construction des fonctions FA,n(x,y) : caractérisation des matrices 2x2 sn

Rappel

En décomposant a et aT en parties symétriques et parties

antisymétriques proportionnelles à J, puis en introduisant

la propriété suivante sur les matrices 2x2

On démontre, par récurrence, que les sn sont proportionnels à s


Construction des fonctions f a n x y caract risation des scalaires n

Construction des fonctions FA,n(x,y) : caractérisation des scalaires αn

Expression du déterminant de s

Onpose

L’expression de αn

se transforme en

Etudions maintenant les propriétés de la suite

satisfaisant

avec


Construction des fonctions f a n x y caract risation des fonctions n x

Construction des fonctions FA,n(x,y) : caractérisation des fonctions βn(X)

Regardons ces fonctions

comme le rapport entre deux fonctions notées Pi(X)

Par récurrence, il vient


Polyn mes de tchebychev

Polynômes de Tchebychev

Les polynômes Pi(x) introduits satisfaisont :

On reconnait les polynômes de Tchebychev de 2ème espèce


Polyn mes de tchebychev1

Polynômes de Tchebychev

La variable X est comprise entre 0 et 1

Θ est compris entre 0 et π/2.

Les polynômes prennent les formes suivantes

.


Polyn mes de tchebychev expressions de n et s n

Polynômes de Tchebychev : expressions de αn et sn

Expressions des scalaires αn

Expressions des matrices sn


Polyn mes de tchebychev expressions des matrices h n

Polynômes de Tchebychev : expressions des matrices Hn

En regroupant les résultats sur les matrices hn et sn,

les matrices Hn s ‘écrivent :


Expressions finales des fonctions de la suite de fitzpatrick

Expressions finales des fonctions de la suite de Fitzpatrick

Fonctions de Fitzpatrick

avec

Chaque fonction de Fitzpatrick génère un bipotentiel pour la loi coaxiale non symétrique y=Ax


Quel bipotentiel pour la loi coaxiale monotone

Quel bipotentiel pour la loi coaxiale monotone?

On ne doit pas aller jusqu’à l’infini pour choisir le bipotentiel

associé à la loi coaxiale monotone

y=Ax

avec A non symétrique et S définie positive

Le choix d’un indice N est à faire

afin de conserver le plus loin possible la définie positivité


Conclusion et perspectives

Conclusion et Perspectives

Proposition de bipotentiel pour la loi de Hooke non tronquée de 7 paramètres

Repenser la RDM par l’identification des 7 paramètres: λ, μet le déviateur h

Remplacer la somme des deux potentiels de la loi

de Hooke à deux paramètres λ et μ

par la fonction de FitzpatrickFA,N

Dans le principe mixte, remplacer la fonctionnelle

par


Extention non lin aire non monotone

Extention: non linéaire, non monotone

vecteurs x et y de même orientation

suite de Fitzpatrick généralisée

bipotentiel de Cauchy- Schwarz- Buniakovsky


Mod lisation de lois non associ es application aux lois lin aires coaxiales

MODÉLISATION DE LOIS NON ASSOCIÉES APPLICATION AUX LOIS LINÉAIRES COAXIALES

Merci de votre attention

Colloque Franco-Roumain de Mathématiques Appliquées 26 août - 31 août 2010- Poitiers


Quelques lectures

Quelques lectures

J.J.Moreau (2003), Fonctionnelles convexes, Istituto poligrafico e Zecca dello stato S P A , Roma

G. de Saxcé and L. Bousshine (2002), Implicit Standard Materials,

D. Weichert and G. Maier (eds), Inelastic Behaviour of Structures Under Variable Repeated Loads,

CISM Courses and Lectures,432, Springer

G. de Saxcé, Z. Q. Feng , (1991), New Inequation and Functional for Contact with Friction:

the Implicit Standard Material Approach, International Journal Mechanics of Structures

and Machines,19/3,301-325

S. Fitzpatrick (1988), Representing monotone operators by convex functions, Work-shop/

Mini conference on Functional Analysis and Optimisation,

Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University,

20, Australia, 59-65

S. Bartz, H.H. Bauschke, J.M. Borwein, S. Reich and X. Wang (2007), Fitzpatrick function,

cyclic monotonicity and Rockafellar antiderivative,

Nonlinear Analysis, 66, 1198-1223

M.Buliga, G.de Saxcé, C.Vallée (2008), Existence and construction of bipotentials for graphs

of multivalued laws, J.of Convex Analysis, 15/1, 87-104

C. Vallée, C. Lerintiu, D. Fortuné, K. Atchonouglo, M. Ban, (2009)

Representing a non associated constitutive law by a potential issued from a Fitzpatrick sequence,

Archives of Mechanics,61, issue3-4,325-342, Warszawa


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