Fungsi
Download
1 / 16

FUNGSI - PowerPoint PPT Presentation


  • 204 Views
  • Uploaded on

FUNGSI. PENGERTIAN FUNGSI. Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. ATURAN : setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B. tidak boleh membentuk cabang seperti ini. A. B.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' FUNGSI' - shel


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Pengertian fungsi
PENGERTIAN FUNGSI

  • Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

  • ATURAN :

    • setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.

    • tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

A

B


Ilustrasi fungsi
ILUSTRASI FUNGSI

A

f

B

Kotak hitam

Input

Output

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,

B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f(a) ∈ B dise-

but bayangan(image) dari a.

Himpunan Rf:= { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah

jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan

f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.


Ilustrasi fungsi lanj
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)

B

A

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang

mempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang

tidak mempunyai kawan.


Grafik fungsi
GRAFIK FUNGSI

  • Misalkan f: A  B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a∈ A}

  • Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

B

A


Contoh fungsi
CONTOH FUNGSI

1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1.

2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana

fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.

3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua

kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x.Bila x = Malaysia

maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.

4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan

perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b

tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada

pada buku x.

5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif

Fungsi f : A  B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.

Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.

6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?


  • CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.

    PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte.

  • CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.

    PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar

    500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu

    ⌊300,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.


Operasi aljabar fungsi
OPERASI ALJABAR FUNGSI dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.

  • Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh :

    (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).

  • Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 dan

    g(x):= x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x,

    (fg)(x) = x3-x4.

  • Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya.

  • Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?


Fungsi satu satu injektif
FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF) dinayatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.

  • Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila

    [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x  y → f(x)  f(y)].

    Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:

    ∀x ∀y [f(x) = f(y)  x = y] atau ∀x ∀y [x  y → f(x)  f(y)]

    maka fungsi f disimpulkan satu-satu.

    Namun, bila ada x dan y dengan x  y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu.

A

B

A

B

satu-satu

tidak satu-satu


  • CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

    PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.

  • CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x2 satu-satu ?

    PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

  • CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

    PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh

    x + 5 ≠ y + 5  g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.


Fungsi kepada surjektif
FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

  • Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ Bterdapat x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:

    ∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x)

    maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ Bsehingga setiap x∈A, f(x)≠ y

    maka f tidak surjektif.

A

B

A

B

kepada

tidak kepada


  • CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?2 dari R ke R surjektif ?

    PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.

  • CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?

    PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka

    y = x-3  x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.


Fungsi bijektif
FUNGSI BIJEKTIF 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

  • Fungsif : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

  • CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.

    PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

B

A

fungsi bijektif


Invers fungsi
INVERS FUNGSI 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

  • Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana

    f -1 : B → A. DKL,

    y = f(x) ↔ x = f -1 (y)

  • Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

f(a)

b=f(a)

f-1(b)=a

A

B

f-1(b)


  • CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

    PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel

    dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

  • CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.

    PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif

    maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.


Komposisi fungsi
KOMPOSISI FUNGSI aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

  • Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)).

  • Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi

    f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.

g

f

A

B

C

f◦g


ad