1 / 13

A polinomalgebra elemei

A polinomalgebra elemei. Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged. Az egyhatározatlanú polinom. A továbbiakban az R jelentse a , míg K a halmazok valamelyikét.

shasta
Download Presentation

A polinomalgebra elemei

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. A polinomalgebra elemei Ábrahám Gábor Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium Szeged

  2. Az egyhatározatlanú polinom • A továbbiakban az R jelentse a , míg K a halmazok valamelyikét. Definíció:Az R fölötti egyhatározatlanú polinomok az alakú formális kifejezések, azzal a megállapodással, hogy esetén akkor és csak akkor, ha Ha p(x)-ben , akkor az n számot a p fokszámának nevezzük. Az -et a p főegyütthatójának. Ha =1, akkor pfőpolinom.

  3. Az R fölötti polinomok halmazát a továbbiakban R[x]-szel jelöljük. • Az R[x] halmazon definiálható az összeadás és a szorzás az ismert módon. • Nyilván R[x] additív egységeleme a 0 konstans polinom, a additív inverze a polinom. • A polinomra legyen • Definíció: A pR[x]-beli polinom osztója a q R[x]-beli polinomnak, ha létezik rR[x]-beli polinom, hogy q=rp. Jel.: p|q

  4. Az R[x]-beli polinomokra fennállnak az egész számok köréből jól ismert oszthatósági tulajdonságok. • Az R[x]-ben az egységelem osztóit egységeknek nevezzük, melyek K[x]-ben a 0 polinomtól különböző konstanspolinomok, -ben az 1, -1 konstanspolinomok. • Ha a p és q polinom elem R[x]-nek, valamint teljesül rájuk, hogy p|q és q|p, akkor p és q polinomok asszociáltak. Jel.: pq. • A q polinomot, mely elem R[x]-nekirreducibilis polinomnak nevezzük, ha nem a 0 polinom és nem egység, valamint q-nak a saját asszociáltjain ill. az egységeken kívül nincs más osztója. • Maradékos osztás tétele: Ha f és g polinom eleme K[x]-nek és g nem a 0 polinom, akkor egyértelműen létezik olyan q és rK[x]-beli polinom, hogy f=gq+r, ahol r*<g*.

  5. Polinom helyettesítési értéke, gyöke • Definíció: Legyen polinom eleme az R[x]-nekés c eleme R-nek. Ekkor a p polinom c helyen vett helyettesítési értéke az R-beli elem. Ha p(c)=0, akkor c a polinom gyöke. • A közismert felhasználásával könnyen bizonyítható az alábbi tétel: • 1. Tétel: Tetszőleges R[x]-belip polinom és R-beli c szám esetén létezik olyan R[x]-beliq polinom, hogy p(x)=(x-c)q(x)+p(c). • Következmény: Ha a és b két egész szám és p egész együtthatós polinom, akkor a-b|p(a)-p(b).

  6. Bézout-tétel és következményei • Bezout-tétel: • Legyen a p polinom eleme R[x]-nek. Az R-beli c elem akkor és csak akkor gyöke p-nek, ha x-c|p(x). • Következmények: • 1. Legyen a p polinom eleme R[x]-nek és a elemek páronként különbözők. A akkor és csak akkor gyöke a p polinomnak, ha osztója p-nek. • 2. Ha p eleme R[x]-nek, nem a nullapolinom és fokszáma n, akkor p-nek legfeljebb n db gyöke van R-ben. • 3. Ha az R[x]-beli p és q legfeljebb n-edfokú polinom helyettesítési értéke legalább n+1 R-beli helyen megegyezik, akkor a két polinom egyenlő.

  7. A klasszikus algebra alaptétele és következményei • Alaptétel: • Minden legalább elsőfokú komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke. • Következmények: 1. A -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú. 2. Bármely legalább első fokú -belip polinom felírható a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen (1) alakban, ahol aa polinom főegyütthatója, a gyökei. (Az (1) a p polinom gyöktényezős alakja.) 3. Az -ben egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy olyan másodfokú, melynek nincs valós gyöke.

  8. Viѐte képletei • Legyen valós együtthatós n-edfokú (n>0) polinom, gyöktényezős alakja . Ekkor

  9. Szimmetrikus polinomok • A többhatározatlanú polinomok közül kitűnnek azok, melyek a határozatlanok semmiféle permutációjával sem változnak. Az ilyen polinomokban valamennyi határozatlan szimmetrikusan szerepel, ezért ezeket szimmetrikus polinomoknak nevezzük. • Pl: • Könnyen látható, hogy két szimmetrikus polinom összege, különbsége, szorzata is szimmetrikus polinom. • Az n-határozatlanú szimmetrikus polinomok tartalmazzák mind az n határozatlant.

  10. A határozatlanok elemi szimmetrikus polinomjai

  11. A szimmetrikus polinomok alaptétele • Tétel: • Bármely szimmetrikus polinom kifejezhető elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként. • Unicitástétel: • Minden szimmetrikus polinom csak egyféleképpen fejezhető ki elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként.

  12. A hatványösszegek felírása elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként, Newton képletei • Az előző egyenlőségek alternáló összege adja az alábbi összefüggést:

More Related