Cours 4-b Méthode des éléments finis 2D

1. Cours 4-bMéthode des éléments finis 2D • Notion d’élément de référence • Notion de patch-test • Notion de convergence • Application à la mécanique des fluides : • calcul d’un écoulement plan 2D par la fonction de Courant NF04 - Automne - UTC

2. Rappels • La forme intégrale associée à l’équation de la chaleur est décomposée : • Sur des éléments triangulaires • Sur des éléments barre pour Neumann et Cauchy Où l’intégrale élémentaire pour un élément T3 s’écrit : NF04 - Automne - UTC

3. Constats • Il y a autant de fonctions Ni à calculer que d’éléments T3 • Impossibilité de généraliser le calcul du vecteur sollicitation avec les Ni calculées sur l’élément réel (difficulté de définir les bornes d’intégration) Idée : utiliser un élément de référence unique avec des bornes d’intégrations simples NF04 - Automne - UTC

4. Illustration de l’élément de référence Coordonnées (réf°) Coordonnées réelles Elément de référence unique Eléments « réels » NF04 - Automne - UTC

5. Approche généralisable à d’autres topologies Elément barre : Elément quadrilatère : NF04 - Automne - UTC

6. Changement de variables • Le passage d’un élément « réel » vers un élément de « référence » implique un changement de variables pour les calculs d’intégrations. De manière générale, on a : • Les bornes d’intégrations sont : h 1-h NF04 - Automne - UTC

7. Définition du « jacobien » • Définition : |J | est appelé le jacobien de la transformation. Il correspond au déterminant de la matrice jacobienne [J ]. La matrice jacobienne est définie par la relation mathématique suivante : Cette matrice traduit les relations entre les dérivées partielles en espace entre (x,y) et (x,h). Pour la calculer, il est alors nécessaire de disposer d’une approximation pour les variables x et y ! NF04 - Automne - UTC

8. Calcul des Ni Le calcul des fonctions d’approximation consiste à : • Choisir une forme d’approximation pour les Ni • Poser les systèmes d’équations associés • Résoudre ! NF04 - Automne - UTC

9. Calcul de la matrice jacobienne [J ] • Rappel : la matrice jacobienne est définie par : • Les variables x et y sont approximées au sens des éléments finis : Soit : On définit aussi : NF04 - Automne - UTC

10. Calcul des intégrales élémentaires • Le changement de variables conduit à : • Les termes de gradient se discrétisent par : NF04 - Automne - UTC

11. Suite La forme élémentaire s’écrit donc : Soit : Avec : NF04 - Automne - UTC

12. Nombre d’inconnues Notion de convergence Illustration autour d’un problème de mécanique : Tracé de la courbe de convergence Objectif : Rechercher l’indépendance de la solution par rapport au maillage NF04 - Automne - UTC

13. Application T3 : écoulement plan 2D • Application valable dès que le fluide remplit les conditions suivantes : • Incompressible : • Eau • Air si Mach < 0.3 (vitesse < 300-400 km/h) • Non visqueux : aucun fluide n’est visqueux mais hypothèse réaliste si le domaine est grand et que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe précisément au voisinage des parois. • Stationnaire : constant en tout point du domaine dans le temps. NF04 - Automne - UTC

14. Frontières y x Modèle mathématique • Un écoulement incompressible se traduit par : où u et v sont les composantes de la vitesse du fluide • Un écoulement non visqueux est dit irrotationnel, soit : • On introduit la fonction de Courant définie par : … dans eq(2) pour aboutir à : Cette équation est identique à l’équation de la chaleur en 2D avec k =1 et en l’absence de terme de production ! NF04 - Automne - UTC

15. A A B B A H B Interprétation Une différence de la fonction j entre deux points A et B, traduit un débit perpendiculaire entre ces deux points : De manière générale, on a : NF04 - Automne - UTC

16. H Condition de frontière imperméable • Une frontière « imperméable » est donc définie par : • Il en résulte que pour tracer les lignes de courant (= trajectoires en stationnaire), il suffit de tracer les lignes d’isovaleurs de j. NF04 - Automne - UTC

17. Exemples d’application (mini-projet) Calcul du champ de vitesse stationnaire dans un lac Calcul de l’écoulement autour d’un profil porteur NF04 - Automne - UTC

18. Mise en œuvre informatique • Génération d’un maillage composé de T3 • Préparation du fichier de données : • Aucune propriété physique particulière : k = 1 • Annulation du terme source : f = 0 • Identification des nœuds associés aux conditions de Dirichlet : kcond, vcond • Assemblage du système et résolution : script Matlab « blin.m » Affichage des iso-valeurs : script Matlab « isoval.m » (Prochaine séance TP sous Matlab) NF04 - Automne - UTC