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Erros e sua propagação

Erros e sua propagação. Pontos mais importantes:. -fontes dos erros numéricos (arredondamento e truncatura) -definição dos erros -erros de representação digital -erros de operações aritméticas (directo) -expansão de Taylor -propagação de erros (indirecto). 1. Fontes dos erros numéricos.

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Erros e sua propagação

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Presentation Transcript

  1. Erros e sua propagação Pontos mais importantes: -fontes dos erros numéricos (arredondamento e truncatura) -definição dos erros -erros de representação digital -erros de operações aritméticas (directo) -expansão de Taylor -propagação de erros (indirecto) 1

  2. Fontes dos erros numéricos Erros de arredondamento: -representação dos números -algarismos significativos Erros de truncatura: -aproximação de procedimentos matemáticos Propagação dos erros: -operações matemáticos com números não exactos podem aumentar ou diminuir os erros numéricos 2

  3. Definição dos erros (quantificação) erro absoluto: Et=x-x* (verd.-aprox.) erro relativo: erro aproximado: erro máximo: |ea|<es=(0,5*102-n)% 3

  4. Erros de arredondamento Problemas: -números com muitos algarismos (p, e, 71/2, etc.) -ponto (virgula) flutuante -o número de números representáveis é finito -o intervalo entre números aumenta com o número Exemplo FP(2,3,2): 1, 0,0625 2, 0,078125 3, 0,093750 4, 0,109375 5, 0,125 5, 0,125 6, 0,156250 7, 0,187500 8, 0,218750 Dx=0,015625 Dx=0,03125 4

  5. Tipos de arredondamento “chopping”: -dígitos da mantisa além dos p primeiros desprezados -exemplo: 0,654126546-------> 0,65412 -es= b1-p “rounding”: -o número mais próximo -exemplo: 0,654126546-------> 0,65413 -es= 0,5*b1-p -regras: base b e base 10 5

  6. Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) x1= m1bt1 x2= m2bt2 Soma e subtracção numa máquina digital: x1 ± x2 = (m1 ± m2b-(t1-t2))bt1 ; t1>t2 exemplo: 0,53104 + 0,30103 = ? t1 = 4 ; t2 = 3; -(t1-t2)= -(4-3) = -1 0,53104 + 0,30103 = (0,53 + 0,3  10-1)  104 = (0,53 + 0,03)  104 = 0,56  104 6

  7. Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) Multiplicação numa máquina digital: x1  x2 = (m1  m2)bt1+t2 exemplo: 0,53104 * 0,30103 = ? 0,53104 * 0,30103 = (0,53 * 0,3)  104+3 = 0,159  107 = 0,16  107 Divisão numa máquina digital: x1 / x2 = (m1 / m2)bt1-t2 exemplo: 0,53104 / 0,30103 = ? 7 0,53104 / 0,30103 = (0,53 / 0,3)  104 - 3 = 1,766…  101 = 0,18  102

  8. Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) Soma: x*1=(1+e1)x1 x*2=(1+e2)x2 y=x1+x2 y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1+(1+e2)x2](1+e3)= =(1+e1)(1+e3)x1+(1+e2)(1+e3)x2 s*0=0 s*1=(s0+x1)(1+e1)=x1(1+e1) s*2=(s1+x2)(1+e2)=x1(1+e1)(1+e2)+x2(1+e2) …… s*n=x1(1+h1)+ x2(1+h2)+……..+ xn(1+hn) onde: 8

  9. Erros nas operações aritméticas simples (prop. de erros, análise directo) -para minimizar hixi o somatório começando nos números mais pequenos 9

  10. Erros nas operações aritméticas (prop. de erros, análise directo) Subtracção: -a prop. de erros é igual de soma -”cancelamento subtractivo”: a subtracção de números muito próximos pode resultar erros muito grandes Multiplicação (divisão): y=x1*x2 y*=(1+e3)y=[(1+e1)x1*(1+e2)x2](1+e3) -caso geral: 10

  11. Propagação de erros, análise indirecta Série de Taylor: -estimação de valor de “f” num ponto (x) a partir do valor de “f” num ponto diferente (a) e das suas derivadas -definição: -onde: -condição: n+1 derivadas são contínuas no intervalo a e x. 11

  12. Propagação de erros, análise indirecta Características de série de Taylor: -aplicação dos primeiros termos resulta uma aproximação satisfatória para funções com “bom comportamento” -aproximação exacta: - n termos para polinómios de grau n - inf. termos para outras func. -x é desconhecido (estimação de propagação de erros numéricos, localização de raízes de funções não-lineares, etc.) -”f” é desconhecido (estimação de derivadas, controlo de erro de truncatura, etc.) 12

  13. Propagação de erros, análise indirecta -função univariável (f(x)) relativamente complexa: x; Ex -exemplo 13

  14. -função multivariável : xi ; Ei -exemplo 14

  15. Erros de truncatura - utilizando métodos numéricos as operações matemáticos são aproximados (depende do método) -e.g. derivação: onde h - ti+1-ti (t finito) erro - 15

  16. Estabilidade dos cálculos (número de condição) • cond > 1, a função é mal condicionada. Um erro relativo na variável independente (ex) resulta um erro relativo (ef(x)) amplificado no valor da função no fim dos cálculos. • cond < 1, a função é bem condicionada. Um erro relativo na variável independente (ex) resulta um erro relativo (ef(x)) mais baixo no valor da função no fim dos cálculos 16

  17. Bibliografia: Pina, H. 1995. "Métodos Numéricos". Capítulo 1.4, 1.6. Chapra & Canale 1989. "Numerical Methods for Engineers”. Capítulo 3 17

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