Vertiefungskurs aus ABWL: Finanzwirtschaft

1. Vertiefungskurs aus ABWL:Finanzwirtschaft Wintersemester 2004 / 2005 400 026 / 6 Mag. Katarina Kocian

2. Summe künftiger CF‘s Anschaffungs-auszahlungen in t = 0 Restwert in t = T Motivation • Investitionsrechnung • Heutige Anschaffungszahlungen • Zukünftige Rückflüsse, deren Höhe heute nicht mit Sicherheit bekannt ist • Kapitalwertkriterium, mit Kapitalkostenk

3. Motivation • Berücksichtigung von Risiko • Risikoangepasster Kapitalkostensatz • Sicherheitsäquivalent

4. Möglichkeiten der Beantwortung durch: • Rendite, Risiko und die Risikoeinstellung von Investoren • Portefeuilletheorie • Moderne Kapitalmarkttheorie Fragestellungen: • Wie groß ist der erwartete Vermögenszuwachs bzw. welche Rendite kann erwartet werden? • Wie riskant ist die Veranlagung? • Wie groß ist die Chance, dass die erwartete Rendite tatsächlich erzielt wird? • Wieviel und in welche riskante Investitionsmöglichkeiten soll veranlagt werden? • Welche Prämien dürfen für die Übernahme von Risiko erwartet werden?

5. Inhalt und Gliederung • Portfoliotheorie und moderne Kapitalmarkttheorie1.1. Renditen, Risiko und Risikoeinstellung von Investoren1.2. Portfoliotheorie1.3. Capital Asset Pricing Model (CAPM) • Relevante Kalkulationszinsfüße in der Investitionsrechnung • Bewertung mittels Netto-, Brutto- und APV-Methode

6. Messung von Vermögensänderungen • Absolut: Wert des Vermögens am Ende des Veranlagungszeitraumes abzüglich dem Wert am Anfang des VeranlagungszeitraumesFrage: Zuwachs/Minderung in wie vielen Geldeinheiten?Vt ... Vermögen zum Zeitpunkt tΔVt > 0 .. Vermögenszuwachs; ΔVt < 0 .. Vermögensminderung • Relativ:Prozentueller Zuwachs des Vermögens im VeranlagungszeitraumFrage: Rendite? • oder

7. Oder Kurzschreibweise: Zusammenhang zw. Anfangs- und Endvermögen • Periodenspezifische Rendite rt • Anfangsvermögen Vo • Endvermögen VT

8. diskret stetig Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang: 1. 2. Diskrete und stetige Renditen I.

9. Renditen Diskrete und stetige Renditen II. • Diskrete Renditen sind Renditen über eine gewisse zeitlich abgegrenzte Periode • Stetige (=kontinuierliche) Renditen gehen von einer Verzinsung zu jedem Zeitpunkt aus • Anzahl der Zinsperioden   • Länge der Zinsperioden  0 • Beispiel 1: Berechnen Sie die diskreten und stetigen Renditen aus Sicht eines europäischen und US-amerikanischen Investors:Wechselkurs: 19.9.2003 18.9.2003EUR/USD 0,8790 0,8896

10. Fall 1:es erfolgen keine zwischenzeitigen Zahlungen:mit Pt,i ...Preis des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t mit rt,i ... Rendite des i-ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t(vor Steuern und Transaktionskosten) • Fall 2:es kommt zu zwischenzeitigen Zahlungen:Beispielsweise Dividendenzahlungen Divt,i -> Kursabschlag: exD ... Preis des i-ten Wertpapiers zu t exD: ... Preis des i-ten Wertpapiers zu t cumD:Rendite: ... Allgemein für Nebenrechte Wertpapierrenditen

11. Kursabschläge • exD ... Dividendenzahlungen • Üblicherweise Bardividenden • Dividendenaktien • exBR ... Bezugsrechte • Ordentl. Kapitalerhöhung gegen Bareinlagen • Trennung der Altaktie in Bezugsrecht und Altaktie exBR • exBA ... Berichtigungsaktien • Auch Aufstockungs- oder Zusatzaktien genannt • Umwandlung von Rücklagen in dividendenberechtigtes Grundkapital • Sinnvoll bei zu starker Rücklagenbildung, sodass der Aktienkurs zu teuer wirkt • Aktiensplitt

12. Beispiel 2: Zeit (in Jahren) Kurs t 400 t + 1 460 • Keine Nebenrechte • Dividendenzahlung in Höhe von 12 GE in [t,t+1] • In [t,t+1] notierte Bezugsrecht BR = 3 • In [t,t+1] wurden Berichtigungsaktien im Verhältnis 5:1 ausgegeben

13. Geometrische Durchschnittsrenditen Durchschnittliche Renditen I. • Wiederveranlagungsprämisse • Veränderlicher Kapitaleinsatz

14. Arithmetische Durchschnittsrenditen Durchschnittliche Renditen II. • Arithmetisches Mittel • Durchschnittlich entnommene bzw. eingezahlte Rendite • Konstanter Kapitaleinsatz

15. Durchschnittliche Renditen III. • Arithmetisch vs. Geometrisch • Geometrisches Mittel < Arithmetisches Mittel • Identisch NUR bei konstanten periodischen Renditen • Beispiel 3:Zeit (in Jahren) Kurst = 0 100t = 1 50t = 2 100

16. Durchschnittliche Renditen IV. • Arithmetisch vs. Geometrisch / Diskret vs. Stetig Beispiel 4: Zeit (in Jahren) Kurst = 0 100t = 1 120t = 2 125 t = 3 115t = 4 119 • Diskrete Renditen • Summe 4 Jahre • Arithmetisch • Geometrisch • Stetige Renditen • Summe 4 Jahre • Arithmetisch • Geometrisch

17. Durchschnittliche Renditen IV. Annualisierung durchschnittlicher Renditen • Fall 1: Arithmetische Durchschnittsrendite ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite) • Fall 2: Arithmetische und geometrische Durchschnittsrendite mit Berücksichtigung von Zinseszinsen (z.B. Tägliche Rendite) Beispiel 5: Zeit (in Halbjahren) Kurst = 0 100t = 1 120t = 2 126 Diskrete Durchschnittsrenditen? Geometrisch/Arithmetisch? Annualisiert?

18. Ex-ante vs. ex-post Betrachtung • Ex-post Betrachtung: • Vergangenheitsorientiert • Historische Renditen • Performance-Messung • Ex-ante Betrachtung: • Zukunftsorientiert • Szenariotechnik • Prognose von Renditen • Ausgangspunkt: Investor kennt folgende Informationen: • Umweltzustände zi (i = 1,2,...,n) • Zustandsabhängige Renditen r(zi) • Eintrittswahrscheinlichkeiten für alle Zustände zi, p(zi) -> Risikosituation

19. Erwarteter Kurs Ex-ante Betrachtung • Erwartete Rendite • Renditen werden als Zufallsvariable interpretiert • Erwartungswert der zustandsabhängigen Renditen • Berechnung der Aktie j: Beispiel 6: zir(zi)p(zi)Boom 30% 20%Normal 12% 60%Rezession -5% 20% P0 = 100

20. Ex-post Betrachtung • Risiko • Anlageentscheidungen basieren idR nicht nur auf erwarteten Renditen • Risikomaß: wünschenswerte Eigenschaften • größere Abweichungen müssen stärker ins Gewicht fallen • Positive und negative Abweichungen dürfen sich nicht aufheben • Varianz σ(rj)²: Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate • Streuungsmaß, Schwankungsbreite der Renditen • Standardabweichung σ(rj): Volatilität, Gesamtrisiko • Historisch: ex-post Betrachtung: • Heteroskedastizität: Varianz ist im Zeitablauf nicht konstant Beispiel 7: Monat 0 1 2 3 4 5 Kurs 100 120 125 120 130 128 Varianz? Volatilität?

21. Ex-ante Betrachtung • Risiko • Varianz σ(rj)²: Arithmetisches Mittel der Abweichungsquadrate • ex-ante Betrachtung: mit und Beispiel 8: Zustand,zir(zi)p(zi)Boom 30% 20%Normal 12% 60%Rezession -5% 20% a) Varianz? b) Volatilität?

22. Renditen und ihre Verteilungen I. • Annahme, das (stetige) Aktienrenditen normalverteilt sind: Wiederholung Normalverteilung: • Symmetrisch um den Erwartungswert μ • Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz (Schwankungsbreite) • Erwartungswert und Standardabweichung σbeschreiben die Normalverteilung vollständig • Die Fläche unter der Kurve ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit (in Tabellen festgehalten) • Empirisch nicht exakt erfüllt, aber für Aktien eine brauchbare Approximation

23. Renditen und ihre Verteilungen II. • StandardisierungIst r N(μ, σ) verteilt, so ist die (standardisierte) Zufallsvariable: Dichtefunktion Verteilungsfunktion

24. Anwendungsbereich • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite kleiner ist als rx • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite größer ist als ry • Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Rendite zwischen rx und ry liegt?

25. Wichtige Kennzahlen und Begriffe in der Praxis • Value-at-Risk = Geldbetrag, der mit bestimmter Wahrscheinlichkeit maximal verloren wird • Shortfall-Risk = Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse Rendite unterschritten wird • Tests:

26. Anwendung • Beispiel 9:Die Rendite einer Aktie sei normalverteilt mit N (0,15;0,22).Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Rendite • über 10% p.a. • unter 10% p.a. • zwischen 5 und 10% p.a. liegt? oder • Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% mindestens erzielt? • Welche Rendite wird mit Wahrscheinlichkeit von 60% nicht überschritten?

27. Portfoliotheorie • Bisher: Ein Wertpapier • Veranlagung in Aktie 1 • Erwartete Rendite von E(r1) bei Risiko von σ(r1) • Veranlagung in Aktie 2 • Erwartete Rendite von E(r2) bei Risiko von σ(r2) • Jetzt: Veranlagung in Aktie 1 und 2 • Erwartete Portfoliorendite von E(rp) • bei einem Portfoliorisiko von σ(rp) Frage: Welche Portfoliorendite kann ein Investor erwarten? bzw. Welches Risiko geht er ein?

28. Der Vater der modernen Portfoliotheorie

29. Aufgezinst mit 1 + E(r1) V0,1Vermögen investiert in Aktie 1 zu t=0 Erwartetes Endvermögen VT zu t=T V0 Aufgezinst mit 1 + E(r2) V0,2Vermögen investiert in Aktie 2 zu t=0 Erwartete Portfoliorendite I. • Ausgangspunkt • Aktuelle Preise der Aktien: P0,1 und P0,2 • Vermögen, das in Aktie 1 investiert wird: V0,1 • Vermögen, das in Aktie 2 investiert wird: V0,2 • Gesamtvermögen, das in Aktien investiert wird: V0 = V0,1 +V0,2 • Erwartete Rendite der Aktien E(r1) und E(r2) • Annahme der beliebigen Teilbarkeit der Titel

30. Erwartete Portfoliorendite E(rp) mit Aufgezinst mit 1 + E(r1) V0,1Vermögen investiert in Aktie 1 zu t=0 Erwartetes Endvermögen VT zu t=T V0 Aufgezinst mit 1 + E(r2) V0,2Vermögen investiert in Aktie 2 zu t=0 Erwartete Portfoliorendite II. Beispiel 10: E(r1) = 10 % p.a., E(r2) = 20 % p.a. und E(rP) = 17 % p.a. Wie groß sind die Anteile x1 und x2 ?

31. Portfoliorisiko • Aktienrenditen können sich • tendenziell gleichläufig • tendenziell gegenläufig • relativ unabhängig voneinander entwickeln • gebräuchliches Beispiel

32. Korrelation: Standardisierung der Kovarianz, sodass die relative Abhängigkeit der Renditen voneinander nur Werte zwischen –1 bis +1 erreichen kann Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt I. • Wichtige Kennzahlen in diesem Zusammenhang • Kovarianz • Interpretation • Korrelation = +1 • Korrelation = 0 • Korrelation = -1

33. Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt II. • Ermittlung des Portfoliorisikos • Beispiel 11: Aktie σ(rj) xj A 15% p.a. 40% B 20% p.a. 60% ρ(rA,rB) = 0,25

34. Portfoliorisiko: Diversifikationseffekt III. • Beispiel 12: Gemeinsame Betrachtung vonE(rj), σ(rj) Aktie E(rj) σ(rj) A 8% p.a. 15% p.a. B 14% p.a. 20% p.a. • Stellen Sie den Zusammenhang zwischen erwarteter Rendite und Risiko graphisch dar, falls ρ(rA,rB) = 0,25. Beginnen Sie dabei bei einem Portfolio mit xA = 100% und reduzieren Sie schrittweise den Anteil von Aktie A im Portfolio bis eine 100%-ige Veranlagung in Aktie B erreicht ist. • Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit ρ(rA,rB) = 1 • Wiederholen Sie vorangegangene Beispiel mit immer kleineren Korrelationskoeffizienten bis ρ(rA,rB) = -1

35. Anteilsbestimmung bei gegebenem Portfoliorisiko mit xB = 1 – xA erhält man die quadratische Gleichung Beispiel 13: Aktie A ... σ(rA) = 15% p.a. Aktie B ... σ(rB) = 20% p.a. Wie groß sind die jeweiligen Anteile der Aktien am Gesamtportfolio, wenn die Portfoliovarianz 0,0208 beträgt und die Aktien eine Korrelation von 0,5 aufweisen?

36. Zusammenfassend: • Konsequenzen • Portfolio-Möglichkeitskurve • Jede Portfoliorendite in [......] erreichbar • Jedes Portfoliorisiko in [......] erreichbar • zusätzlich sind Portfolios mit geringerem Risiko als .... erreichbar • Minimum-Varianz-Portfolio • Mehrere Kombinationen implizieren gleiches Portfoliorisiko • Effiziente Portfolios, Effizienzkurve

37. Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) I. • Portfolio mit kleinstmöglichen Risiko • für spezielle Werte von ρ ist σ(rMVP) bekannt: • bei ρ(rA,rB) = +1 • bei ρ(rA,rB) = -1

38. Extremwert = MVP Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II. • Anteilsbestimmung, bei min Var(rP):Aufgrund von xB = 1 – xA können die Anteile des MVP durch Bildung der ersten Ableitung nach x1 und anschließendes Nullsetzen bestimmt werden.

39. Beispiel 14:Aktie A B E(rj) 8% p.a. 15% p.a. σ(rj) 15% p.a. 25% p.a. Die Renditen der beiden Aktien korrelieren im Ausmaß von +0,3. Bestimmen Sie die Zusammensetzung , Rendite und Risiko des MVP‘s. Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) II. • Als Lösung erhält man: • Erwartete Rendite: • Volatilität:

40. Modell - Annahmen • Einperiodiges Kapitalanlagenmodell • Annahmen zum Kapitalmarkt: • Weder Steuern noch Transaktionskosten • Wertpapiere sind beliebig teilbar • Renditen sind normalverteilt • Annahmen über den Investor • Vollständige Konkurrenz • Investoren sind risikoavers und entscheiden rational • Investoren maximieren den erwarteten Nutzen des Endvermögens • Subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilungen

41. Erwartete Portfoliorendite • 2 Wertpapiere • 3 Wertpapiere • n Wertpapiere

42. Portfoliorisiko • 2 Wertpapiere • 3 Wertpapiere • n Wertpapiere

43. Modelle • Modell 1: Risikoaversion  Minimierung des Portfoliorisikos bei gegebener erwarteter Portfoliorendite Nebenbedingungen:

44. Modelle • Modell 2: Rationalität  Maximierung der erwarteten Portfoliorendite bei gegebenem Portfoliorisiko Nebenbedingungen:

45. Portfoliorisiko Anzahl der WP Begriff Risiko • Naive Diversifikation: • Anteilsmäßig gleiches Investment in alle Titel (z.B. 50:50) • Gesamtrisiko σ wird aufgeteilt in: • systematisches Risiko (nicht diversifizierbar) • unsystematisches Risiko (diversifizierbar) • Diversifikations-effekt:

46. Beispiel 15 mit 3 WP jA B C E(rj)p.a. 8% 15% 12% Der Investor verfügt über ein Vermögen von 25 Mio. EUR. Er investiert in Aktie A und B jeweils 10 Mio., den Rest in C. • Wie hoch ist seine erwartete Rendite? • Welches Risiko geht er ein?

47. Portfoliotheorie nach Black (1972) • Annahmen wie bei Markowitz • Aber: Leerverkäufe sind möglich, d.h. ohne Nicht-Negativitätsbedingung • xi dürfen negativ werden! • Short-selling • Konsequenzen:

48. Portfeuilletheorie nach Tobin (1958) • Annahmen wie bei Markowitz / Black • Zusätzlich besteht die Möglichkeit • Kapital risikolos zu veranlagen • Kapital risikolos zu borgen • Vereinfachende Annahmen Sollzinssatz = r = Habenzinssatz • Anteil α wird risikolos veranlagt und Anteil 1 - α wird riskant veranlagt

49. Portfoliorendite / -risiko • Portfoliorendite: bei riskanter Veranlagung in ein Portfolio X • Portfoliorisiko: • Varianz und Kovarianz des risikolosen FinanzierungstitelsVar(rj) = ? ; Cov(r,rj) = ? • Volatilität des Portfolios X:

50. Marktpreis je Risikoeinheit Zusammenhang zw. Rendite und Risiko • ?? In welches Portfolio X soll investiert werden ??