La notation scientifique

1. La notation scientifique Écriture et opérations

2. Écriture

3. a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits. Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.

4. La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens. Exemples: 2 500 $ 2,5 kg 75 ans 8 frères et soeurs 2 automobiles 45,7 cm Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.

5. ∞ + ∞ - La caractéristique principale de la notation décimale est que:  chaque position des chiffres représente un multiple de 10. Vers: G : giga : Unité de milliard: 1 000 000 000 M : Unité de million: 1 000 000 méga : Centaine de mille: 100 000 10 000 Dizaine de mille: 1 000 Unité de mille: K : kilo : 100 Centaine: h : hecto : 10 da : déca : Dizaine: 1 L’unité 0,1 déci : d : Dixième: centi : c : 0,01 Centième: Millième: 0, 001 m : milli :  : micro : Millionième: 0, 000 001 Milliardième: 0, 000 000 001 n : nano : Vers:

6. 1 000 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0, 001 0, 000 1 0, 000 001 0, 000 000 001 Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10. = 109 G : giga M : méga = 106 = 105 = 104 k : kilo = 103 h : hecto = 102 da : déca = 101 = 100 d : déci = 10-1 c : centi = 10-2 m : milli = 10-3 = 10-4  : micro = 10-6 n : nano = 10-9 Remarque: Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.

7. a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10. Dans la définition mathématique de la notation scientifique: le 10 signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10; l’exposant étant pris dans la famille des entiers, soit Z; L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.

8. soit le nombre de positions traversées par la virgule. Exemple 1: Écrire 23 643 en notation scientifique. Dans 23 643 la virgule est à la fin: 23 643,0 Étape 1: Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0 , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions, 1 ≤ 2,364 3 < 10 mais il n’est pas égal à 23 643 Étape 2: Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000. c’est-à-dire 104. 23 643 = 2,364 3 X 10 000 23 643 = 2,364 3 X 104

9. soit le nombre de positions traversées par la virgule. Exemple 2: Écrire 0,000 034 en notation scientifique. Étape 1: Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; 0 000 03 4 , Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions. 1 ≤ 3,4 < 10 mais il n’est pas égal à 0,000 034. Étape 2: Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01. c’est-à-dire 10-5 0,000 034 = 3,4 X 0,000 01 0,000 034 = 3,4 X 10-5

10. Remarque: Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10. 2 3 6 4 3 0 , 23 643,0 X 100 2,364 3 X 104 Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10. 0 000 03 4 , 0,000 03 4 X 100 3,4 X 10-5

11. Exercices Transforme les nombres suivants en notation scientifique: 16 765 000 000 000: 1,676 5 X 1013 Remarque: La calculatrice écrira 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10. 1,56 X 105 156 000: 2,34 X 1014 234 000 000 000 000: 946 080 000 000 000 000: 9,460 8 X 1017 0,0456: 4,56 X 10-2 la calculatrice écrira 4,56 E -2 0,000 000 12: 1,2 X 10-7 0,000 000 000 000 000 000 160 218: 1,602 18 X 10-19 4,56 X 10-10 0, 000 000 000 456:

12. Notation décimale Notation scientifique 230 000,0 2,3 X 105 Notation décimale Notation scientifique 2,3 X 105 230 000,0 À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement: 2,3 X 105 = 2,3 X 100 000 = 230 000 Remarque: 2 3 0 0 0 0 0 , 2 3 0 0 0 0 0 ,

13. Notation décimale Notation scientifique 0,001 5 1,5 X 10-3 Notation décimale Notation scientifique 1,5 X 10-3 0,001 5 À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement: 1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5 Remarque: 0 001 5 , 0 001 5 ,

14. Exercices Transforme les nombres suivants en notation décimale: 1,27 X 106 : 1 270 000 4,5869 X 103 : 4 586,9 12 000 000 000 1,2 X 1010 : 347 500 000 000 000 000 000 3,475 X 1020 : 2,5 X 10-3 : 0, 002 5 1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7 2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73

15. Quelques symboles G : giga : unité de milliard: 1 000 000 000 = 1 X 109 M : méga : unité de million: 1 000 000 = 1 X 106 = 1 X 103 K : kilo : unité de mille: 1 000  : millionième: 0, 000 001 = 1 X 10-6 micro : n : nano : milliardième: 0, 000 000 001 = 1 X 10-9

16. Quelques symboles La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW. 1 528 000 000 watts 1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW. 16 000 000 000 watts 16 X 1 000 000 000 = 16 GW = La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$. 13 700 000 000,00 $ 13,7 X 1 000 000 000 = 13,7G$ =

17. 1 m

18. 1 km

19. 1 Mm

20. 1 Gm

21. 1 mètre

22. 1 mm

23. 1 m

24. 1 nm

25. La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au m ( micromètre ). 1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm

28. La technologie évolue très rapidement. Observe des réalisations faites au nm ( nanomètre ). 1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm

32. Les opérations

33. Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories: 1) la multiplication et la division; 2) l’addition et la soustraction. Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.

34. La multiplication Exemple: 2 X 102 X 3 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: 200 X 3 000 Calculer: 600 000 Reconvertir en notation scientifique: 6 X 105 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

35. Multiplier les nombres accompagnant les bases 10. Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants. 2 X 102 X 3 X 103 Étape 1: 2 X 3 = 6 Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables: - on récupère la base; - on additionne les exposants; 102 X 103 = 102+3 = 105 Étape 3: On regroupe le tout: 6 X 105 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple: 2 X 108 X 4 X 106 = 8 X 1014

36. Exercices Calcule les quantités suivantes: 1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011 4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040 2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109 Attention: 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108 mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture: 1,25 X 109 12,5 X 108 =

37. La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Calcule les quantités suivantes: 2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010 1,635 X 1012 4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109 Attention: -3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010 9,03 X 107 -2,1 X 105 X - 4,3 X 102 =

38. 106 X 10-4 = Calcule les quantités suivantes: 2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102 2 X 106 X 3 X 10-4 Attention: 106+ -4 = 106 - 4 = 102 7,2 X 106 2,4 X 1010 X 3 X 10 -4 = 3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105

39. La division Exemple: 4 X 105÷ 2 X 102 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: 400 000 ÷ 200 Calculer: 2 000 Reconvertir en notation scientifique: 2 X 103 Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.

40. Diviser les nombres accompagnant les bases 10. Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants. 4 X 105÷ 2 X 102 Étape 1: 4 ÷ 2 = 2 Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables: - on récupère la base; - on soustrait les exposants; 105÷ 102 = 105-2 = 103 Étape 3: On regroupe le tout: 2 X 103 Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide. Exemple: 9 X 1014÷ 3 X 106 = 3 X 108

41. Exercices Calcule les quantités suivantes: 3 X 106÷ 1,5 X 104 = 2 X 102 4 X 1034÷ 2 X 106 = 2 X 1028 2,5 X 108÷ 5 X 103 = 5 X 104 Attention: 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108÷ 103 = 105 mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10. Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10 On doit donc terminer l’écriture: 5 X 104 0,5 X 105 =

42. 106÷ 10-4 = Calcule les quantités suivantes: 2,8 X 107÷ 5 X 102 = 5,6 X 104 3 X 104 1,02 X 108÷ 3,4 X 103 = 1,5 X 106÷ 2 X 102 = 7,5 X 103 8 X 106÷ 2 X 10 -4 = 4 X 1010 8 X 106÷ 2 X 10 -4 Attention: 106- -4 = 106 + 4 = 1010 8 X 1011 2,4 X 1010÷ 3 X 10-2 = 1,2 X 10-6÷ 4 X 10-3 = 3 X 10-4

43. 400 000 + 2 000 402 000 L’addition et la soustraction Exemple: 4 X 105+ 2 X 103 On pourrait transformer ces quantités en notation décimale: 400 000 + 2000 Calculer: Reconvertir en notation scientifique: 4,02 X 105

44. 400 X 103 + 2 X 103 On regroupe le tout: 402 X 103 Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente. Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas. Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10. Exemple: 4 X 105+ 2 X 103 400 X 103 + 2 X 103 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10; 400 + 2 = 402 On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 103 On termine l’écriture: 4,02 X 105

45. 105 4 X 105 + 0,02 X 105 Remarque : On pourrait aussi procéder ainsi: 4 X 105+ 2 X 103 Transformer le plus petit des nombres: 4 X 105 + 0,02 X 105 On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10; 4 + 0,02 = 4,02 On récupère la puissance de 10 sans la modifier: On regroupe le tout: 4,02 X 105

46. La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique. Exercices 3 X 106+ 1,5 X 104 = 3,015 X 106 2,5 X 106+ 5 X 103 = 2,505 X 106 8,4 X 105 - 2,3 X 104 = 8,17 X 105 1,6 X 104 - 5,2 X 106 = - 5,184 X 106 Attention: