1 / 23

Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: bivanov@bas.bg Institute of Chemical Engineering-BAS

Приложно математично програмиране ЛЕКЦИЯ 7 Методи за булева и дискретна оптимизация. Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: bivanov@bas.bg Institute of Chemical Engineering-BAS. Лекции. Лекция 1 Въведение в математичното програмиране

salene
Download Presentation

Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: bivanov@bas.bg Institute of Chemical Engineering-BAS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Приложно математично програмиране ЛЕКЦИЯ7 Методи за булева и дискретна оптимизация Prof. Boyan Bonev Ivanov, Ph.D. Email: bivanov@bas.bg Institute of Chemical Engineering-BAS

  2. Лекции Лекция 1 Въведение в математичното програмиране Лекция 2 Оптимизация при целеви функции с един управляващ параметър Лекция 3 Нелинейно програмиране – Градиентни методиЛекция 4 Нелинейно програмиране – Директни методи Лекция 5 Нелинейно програмиране – Методи с ограничения Лекция 6 Линейно програмиране Лекция 7Методи за булева и дискретна оптимизация Лекция 8 Методи за глобална оптимизация Лекция 9 Методи за многоцелева оптимизация

  3. План на лекцията 1. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи 1.1. Линейни целочислени задачи 1.2. Линейни задачи с булеви променливи 1.3. Линейни задачи със смесен тип променливи 1.4. Нелинейни задачи със смесен тип променливи 2. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи 2.1. Метод на локалното търсене 2.2. Метод на случайното търсене 2.3. Симплексен метод

  4. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Линейни целочислени задачи – обща постановка Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Subject to (s.t.) a11x1 + a12x2 + … + a1nxnb1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxnb2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxnbm x1 0, x2 0, …, xn 0 x1 0, x2 0, …, xn 0 - са цели числа

  5. x2 3 2 1 x1 1 2 Пример на задача LIP Оптимално LP решение x1 = 8/3 x2 = 4/3 ZLP* = 104 Оптимално LIP решение x1 = 2 x2 = 3 ZIP* = 102 Max Z = 33x1 + 12x2 s.t. –x1 + 2x2 4 5x1 + 2x2  16 2x1– x2 4 x1, x2  0 са цели числа Възможно и оптимално Приблизително LP решение x1 = 2 x2 = 1 ZRLP* = 78 НЕвъзможно, субоптимално Възможно, НЕоптимално

  6. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Линейни задачи с булеви променливи – обща постановка Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Subject to (s.t.) a11x1 + a12x2 + … + a1nxnb1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxnb2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxnbm x1 0, x2 0, …, xn 0 x1 0, x2 0, …, xn 0 - са булеви

  7. x2 3 2 1 x1 1 2 Пример на задача LIP Оптимално LP решение x1 = 8/3 x2 = 4/3 ZLP* = 104 Max Z = 33x1 + 12x2 s.t. –x1 + 2x2 4 5x1 + 2x2  16 2x1– x2 4 x1, x2  0 са булеви Оптимално LIP решение x1 = 1 x2 = 1 ZIP* = 45 Приблизително LP решение x1 = 1 x2 = 0 ZRLP* = 33

  8. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Линейни задачи със смесен тип променливи – обща постановка Max Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Subject to (s.t.) a11x1 + a12x2 + … + a1nxnb1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxnb2 … am1x1 + am2x2 + … + amnxnbm x1 0, x2 0, …, xn 0

  9. x2 3 2 1 x1 1 2 Пример на задача LIP Оптимално LP решение x1 = 8/3 x2 = 4/3 ZLP* = 104 Max Z = 33x1 + 12x2 s.t. –x1 + 2x2 4 5x1 + 2x2  16 2x1– x2 4 x1,  0 е двоично x2  0 е целочислено Оптимално LIP решение x1 = 1 x2 = 2 ZIP* = 57 Приблизително LP решение x1 = 1 x2 = 1 ZRLP* = 45

  10. Обща постановка на задачите с дискретни и булеви променливи Вектор на независимите променливи Целева функция -нелинейна; Областни ограничения - нелинейни; Функционални ограничения- нелинейни; Нелинейни задачи със смесен тип променливи – обща постановка Целева функция Допустима област

  11. x2 3 2 1 x1 1 2 Пример на задача MINLP Оптимално NLP решение x1 = 2.1 x2 = 3.2 ZLP* = 6.75 Max Z = x1x2 s.t. –x1 + 2x2 4 5x1 + 2x2  16 2x1– x2 4 x10 е двоично x20 е целочислено Оптимално MINLP решение x1 = 1 x2 = 2 ZIP* = 2

  12. x2 3 2 1 x1 1 2 Пример на задача MINLP Оптимално NLP решение x1 = 2.1 x2 = 3.2 ZNLP* = 6.75 Оптимално MINLP решение x1 = 2 x2 = 3 ZNLP* = 6 Max Z = x1x2 s.t. –x1 + 2x2 4 5x1 + 2x2  16 2x1– x2 4 x10 е целочислено x20 е непрекъснато

  13. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Метод на локалното търсене Алгоритъм на метода 1. Избира се начална дискретна точка в допустимото пространство 2. Прави се сканиране в областта около началната точка и се изчислява Ц.Ф. За точките в допустимото пространство 3. Дискретната точка с най-добър резултат се приема за начална и алгоритъма се повтаря в т.2 4. Критерия за спиране на търсенето е достигане на точка, от която не може да се намери по-добър резултат

  14. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи x2 3 2 1 x1 1 2 Оптимално NLP решение x1 = 2.1 x2 = 3.2 ZNLP* = 6.75 Метод на локалното търсене - графическа интерпретация Оптимално MINLP решение x1 = 2 x2 = 3 ZIP* = 6 Max Z = x1x2 s.t. –x1 + 2x2 4 5x1 + 2x2  16 2x1– x2 4 x10, x20 и целочислени

  15. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи 2. С прекратяване на търсенето координатите на най-добрата точка се трансформират в най-близката дискретна точка Метод на случайното търсене Алгоритъм на метода: 1. От зададена начална дискретна точка в допустимото пространство се изпълнява случайно търсене като променливите се приемат за непрекъснати 3. Около трансформираната дискретна точка се извършва сканиране по близките дискретни точки. Точката с най-добър резултат се приема за решение на задачата

  16. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Метод на случайното търсене-графическа интерпретация x2 x2max x2min x1min x1max x1

  17. Методи за оптимизация при задачи със дискретни и булеви променливи Симплексен метод - графическа интерпретация x2 x1

  18. Solving Integer Programs

  19. IP Branch and Bound • Successively solve relaxed IP problems • Determine upper and lower bounds for relaxed problems • Eliminate branches that exceed bounds • When only one “node” remains, optimal solution has been found

  20. B&B Formulation Max Z = 1,000x1 + 1,500x2 s.t. 80,000x1 + 40,000x2 400,000 15x1 + 30x2  200 x1, x2  0 and integer Relaxed LP Solution x1 = 2.22 x2 = 5.56 ZLP* = 10,557 Optimal IP Solution x1 = 1 x2 = 6 ZIP* = 10,000 Rounded LP Solution x1 = 2 x2 = 5 ZRLP* = 9,500

  21. B&B Solution 1 10,055 (2.22, 5.56) 9,500 (2, 5) x2  5 x2  6 Z*= - 2 10,000 (2.5, 5) 9,500 (2, 5) 5 10,033 (1.33, 6) 10,000 (1,6) x1  1 x1  2 x1  2 x1  3 3 9,500 (2, 5)Fathomed 4 9,000 (3, 4) Fathomed 6 10,026 (1, 6.17) 10,000 (1,6) 7 InfeasibleFathomed Z*= 9,500 x2  6 x2  7 8 10,000 (1,6) Fathomed 9 InfeasibleFathomed Z*= 10,000

More Related