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Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES

Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES. A quelles conditions ?. Les enjeux vus par le socle. Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul .

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Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES

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Presentation Transcript

  1. Apprendre à partir de la RESOLUTION DE PROBLEMES A quelles conditions ? Roland Charnay

  2. Les enjeux vus par le socle • Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul. • Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser. • La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. Roland Charnay

  3. la Résolution DE PROBLEMESDes faiblesses reconnues (enquête PISA) • "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". • Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006 Roland Charnay

  4. Un problème classiqueEvaluation Sixième Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay

  5. DE nombreuses procédures possibles 50 photos 6 photos par page • Division par 6 • Division (étudiée depuis le CE2) • Encadrement par deux multiples de 6 • Table de multiplication (étudiée depuis le CE2) • Addition ou soustraction de 6 en 6 • Addition ou soustraction (étudiée depuis le CE1) • Schématisation des pages et des photos • Dénombrement (étudiée depuis le CP) Roland Charnay

  6. Le constat et la QUESTION • Réussite par division ou multiplication • Très peu de solutions originales • Beaucoup de calculs sans signification • Pourquoi les élèves ne pensent pas, n’osent pas ou ne se croient pas autorisés à mobiliser des solutions originales ? Roland Charnay

  7. PISTES D’EXPLICATION • Connaissances • en lecture • sur le contexte • mathématiques • sens des notions • raisonnement • calcul • Connaissances • sur ce qui est attendu • sur ce qui est permis • sur ce qui marche souvent • sur "l'accueil" des erreurs Roland Charnay

  8. A la bonne place Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 Roland Charnay

  9. Apprendre à chercherChercher pour apprendre Deux pistes de travail Roland Charnay

  10. APPRENDRE A CHERCHER Roland Charnay

  11. Les deux sens du mot chercher Deux exemples • 150 personnes se répartissent en équipes de 6 personnes. Combien y a-t-il d’équipes ? • 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ? Roland Charnay

  12. Les deux sens du mot chercher • Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées • Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Roland Charnay

  13. CHERCHER POUR APPRENDRE Roland Charnay

  14. Les nombres pour garder la mémoire des quantités Un exemple de la PS au CP… Roland Charnay

  15. Une situation de référence Préparer juste ce qu'il faut de bouchons pour en avoir un pour chaque bouteille. Roland Charnay

  16. Collections assez nombreuses et prochesPlacer les bouchons : respect de la contrainte • Activité pratique (possibilité de placer un bouchon à côté de chaque bouteille) • Pas d’activité mathématique Roland Charnay

  17. Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons prochesPréparer les bouchons sur un plateau avant de les placerVérifier ensuite par un placement effectif • Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités • Procédures • Correspondance un à un ou par paquets • Utilisation du nombre (globalement pour 3 bouteilles, par comptage pour plus de 4 ou 5 bouteilles) • Variable : bouteilles déplaçables ou pas Roland Charnay

  18. Collections éloignéesAller chercher les bouchons en plusieurs, puis en une seule foisVérifier ensuite par un placement effectif • Activité mathématique : assurer l’égalité des quantités • Procédures • Utilisation d’une quantité intermédiaire (dessin, doigts…) • Utilisation du nombre (cf. précédemment) • Variable : nombre d’essais autorisés Roland Charnay

  19. Juste ce qu'il faut de gommettes pour réparer le robotUn problème de référence à l’articulation GS-CP (D’après Cap maths CP) • Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes pour réparer le robot (allers-retours possibles) • Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste assez de gommettes pour réparer le robot • Les demander oralement • Les commander par écrit Roland Charnay

  20. ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Réel Il favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Il Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Roland Charnay

  21. Complément et Soustraction Un exemple au CE1-CE2 Roland Charnay

  22. Des problèmes de difficulté différente Un problème réussi précocement Pierre a 23images. Il en donne 14 à Jacques. Combien en a-t-il maintenant ? Deux problèmes réussis plus tardivement Pierre a 23 images. 14 sont des images de foot, les autres sont des images de tennis. Combien a-t-il d’images de tennis ? Pierre a reçu 14 images de Jacques. Il en en a maintenant 23. Combien en avait-il avant ? Roland Charnay

  23. Un problème mal réussi, même tardivement Pierre a joué deux fois aux billes, aujourd'hui. Ce matin, il a gagné 14 billes. Il a joué à nouveau cet après-midi. Maintenant, il a 23 billes de plus qu'en arrivant à l'école ? Que s'est-il passé cet après-midi ? Roland Charnay

  24. La délicate question du « sens » des opérations(exemple de la soustraction) Roland Charnay

  25. Le passage à la 2e catégorie de sens se heurte à un obstacle • La soustraction est d’abord pensée comme donnant la valeur d’un reste après une diminution. • Une situation de type « complément » est d’abord reliée à une addition « à trou ». • Comment aider les élèves à accepter et comprendre qu’un problème de type « recherche d’un complément » peut se résoudre à l’aide d’une soustraction ? Roland Charnay

  26. Le problème choisiCombien de points cachés ? MATERIEL DE L'ENSEIGNANT une feuille de points (nombre de points connu des élèves) une feuille cache Roland Charnay

  27. La question 34 points sur la feuille Combien de points sont cachés ? Roland Charnay

  28. Débat et conflit éventuel entre élèves • A propos de réponses et de procédures différentes, par exemple : • 40, obtenu par addition (34 + 6) • 28, obtenu par complément (dessin, surcomptage, addition à trou) • 28, obtenu par soustraction • Autres réponses, à cause d’erreurs de calcul • A propos d’arguments • 40 c’est impossible : il ne peut pas y en avoir plus de 34 ! • Pourquoi tu soustrais, on en a pas enlevé 6… Roland Charnay

  29. Contradiction et conflit avec la réalité • Si on compte les jetons cachés après avoir enlevé le cache, on trouve 28 jetons, pas 40 ! • La réponse par addition ne convient donc pas. • Mais pourquoi, la soustraction fournit-elle la bonne réponse ? Roland Charnay

  30. Pourquoi la soustraction ? Nouveau problème : Feuille avec 34 points. 11 points visibles. • Une question avant comptage des points cachés : Comment faire pour n’avoir sur la feuille que les points cachés ? Roland Charnay

  31. D’une question a une autre • Suggestions : • Il faut cacher ceux qu’on voit • Il faut couper la partie visible… • Question : • Il y avait 34 points sur la feuille. Pour savoir combien sont cachés, on supprime ceux qui sont visibles. Quel calcul permet de connaître ce nombre de points ? • Réponse : • On a enlevé 11 points. • Il faut calculé 34 -11…. Roland Charnay

  32. Une synthèse Nécessaire • On cherche • ce qui manque à 11 pour avoir 34. • ce qu’il faut ajouter à 11 pour avoir 34 • ce qui conduit à calculer 11 + … = 34 • On peut remplacer la question initiale par une autre question • Pour savoir combien il y a de points cachés, on peut imaginer qu’on enlève ceux qui sont visibles • ce qui conduit à calculer 34 – 11 = • La situation des points cachés pourra être utilisée comme situation de référence pour d’autres problèmes de recherche de complément. Roland Charnay

  33. CARACTERISTIQUES DE L’APPRENTISSAGE à partir de problèmes Un apprentissage marqué par 4 interactions Roland Charnay

  34. Confrontation Elève Problème • Un problème qui permet à l’élève d’investir ses connaissances anciennes. • Un problème qui résiste à ces connaissances, car insuffisantes ou partielles. • Une situation qui est « répondante » : l’élève peut vérifier la validité de ses procédures ou de ses réponses. • Une situation qui est « explicative » : l’élève peut s’appuyer sur la situation pour comprendre la nouvelle connaissance. • Une situation qui est « exemplaire » : elle peut être utilisée comme référence pour traiter d’autres problèmes. Roland Charnay

  35. Confrontation Elève ELEVES • La mise en œuvre permet la coopération des élèves pour élaborer une réponse. • La mise en œuvre permet la confrontation, le débat, l’argumentation entre élèves à propos des réponses et des procédures. Roland Charnay

  36. Confrontation Elève ENSEIGNANT • L’enseignant intervient peu pendant la phase de résolution. • L’enseignant gère les échanges, les focalise sur les points essentiels. • L’enseignant synthétise les nouvelles connaissances, les reformule, les exemplifie, apporte des éléments de langage (vocabulaire, schémas…). • L’enseignant met en évidence ce qui peut être généralisé, utile pour résoudre d’autres problèmes. Roland Charnay

  37. Confrontation Elève autres situations • Exercices d’entraînement, de consolidation. • Autres problèmes pour conforter le recours à la nouvelle connaissance. • Evaluation. Roland Charnay

  38. Exemples d’entraînement et de consolidation Roland Charnay

  39. RENFORCEMENT PAR LE CALCUL MENTALEquivalence complément-soustraction • 2 pour aller à 47  plutôt soustraction • 36 pour aller à 40  plutôt complément • 20 pour aller à 50  plutôt ? • 52 – 4  plutôt soustraction • 61 – 58  plutôt complément • 60 – 35  plutôt ? Roland Charnay

  40. Un exemple au cM1-CM2 Les nombres décimaux Roland Charnay

  41. Un apprentissage difficile(exemples d’erreurs) • Comparaison, intercalation • 2,7 < 2,17 • Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6 • Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… • Dans 234,57  3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes • Calcul • 2,3 x 10 = 20,3 ou 2,30 ou 20,30 entrée en Sixième : 64% de réussite • 35,2 x 100 = 3500,2 ou 3500,200 ou 352 entrée en Sixième : 47%de réussite Roland Charnay

  42. Difficultés, obstacles • La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" • Symétrie due à une mauvaise interprétation de la virgule • Elle est destinée à signaler l’unité (pas à séparer le nombre en 2 parties) • Une notation comme 234567 assurerait la symétrie de dizaine (10 unités) et dixième (1/10 d’unité), ce que la virgule masque 234,567 234567 234,567 • Idée de "nombre" suivant valide pour les entiers ne l’est pas pour les décimaux • Lecture : 3 virgule 25plutôt que 3 et 25 centièmesou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes • Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c Roland Charnay

  43. Le cas de la multiplication par 10, 100… Les élèves cherchent les réponses par deux. Éventuellement, un groupe témoin doit réaliser la réponse avec le matériel. Roland Charnay

  44. Recensement des réponses et débat 0,4 x 10 • Réponses erronées utilisant la « règle des 0 » • 0,40 argument : c’est 0,4 ! • 00,4 argument : les 0 à gauche ne comptent pas. c’est 0,4 ! • 0,04 argument : c’est plus petit que 0,4, ce n’est donc pas 0,4 pris 10 fois ! • 00,40 argument : c’est 0,4 ! • Réponses correctes obtenues par addition répétée de 0,4 (dix fois) • Réponses correctes obtenues par raisonnement • 0,4 c’est 4 dixièmes • 0,4 x 10, c’est 10 fois 4 dixièmes, donc 40 dixièmes • 10 dixièmes, c’est 1 donc 40 dixièmes c’est 4 Roland Charnay

  45. Vers l’apprentissage(mise en commun) 0,4 x 10 • Inventaire des réponses et procédures. • Les réponses erronées sont démenties • par des arguments • par une procédure reconnue comme imparable : l’addition répétée (mais longue à mettre en oeuvre, donc il faut en trouver une autre) • Par la réponse obtenue à l’aide du matériel qui illustre la procédure « par raisonnement » Un dixième pris 10 fois 0,4 ou 4 dixièmes Roland Charnay

  46. En synthèse • Premier élément de synthèse • La « règle des 0 » ne s’applique pas avec les nombres décimaux. • Deuxième élément de synthèse • Quand on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande. (ce qui est vrai aussi pour les nombres entiers !) • Illustration du raisonnement à l’aide du matériel (pour la multiplication par 100, le matériel ne pourra être qu’évoqué) • Troisième élément de synthèse • Le raisonnement traduit dans le tableau de numération. , La virgule ne change pas de place !!! Roland Charnay

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