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1. 1 Freie Universität Berlin Seminar über Algorithmen „Potentialfunktion“ Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 2006

2. 2 Freie Universität Berlin • Wiederholung • Diskretes Load Balancing • Nash Equilibria • Potentialfunktion in Load Balancing • Potentialfunktion in Netzwerken • Ein kleines Beispiel aus der Biologie • Die „Tit for Tat“ Strategie Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

3. 3 Freie Universität Berlin • Wir betrachten das folgende Problem einer Lastverteilung von: • n Jobtypen und • auf m maschine • pj ist die gesamte Last des Typs j und Sj  {1,...,m} ist die Menge der Maschinen auf denen j verteilt werden darf. Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

4. 4 Freie Universität Berlin • die Jobs sind diskret (atomar). • xij ist der Job vom Typ ,j der auf der Maschine i verteilt wurdeDie mögliche Lösung des Problems wäre die Menge aller xij>=0für alle i,j • Lösung: Eine Lösung des Beispiels ist: x11, x12, x23 Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

5. 5 Freie Universität Berlin • ri(L) ist eine monoton wachsende Funktion, die die Antwortzeit • jeder Maschine unter der Last L gibt. • Nash Gleichgewicht beschreibt einen Zustand eines strategischen • Gleichgewichts, von dem ausgehend kein einzelner Spieler für sich • einen Vorteil erzielen kann, indem er allein seine Strategie verändert • Nash Gleichgewicht beim Load Balancing • Für alle xij > 0 und • k Sj  ri(Li)  rk(Lk + xij) • Beispiel: • Für den Job von Typ 2 • S2 ={1,2} wobei r2(L2)  r1(L1+x12) • für ri(Li) = i*Li und alle User haben Größe 1 Jobs/User Maschinen Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

6. 6 Freie Universität Berlin • Unser Ziel ist es, eine optimale Lösung (Verteilung) zu finden. • Eine Lastverteilung, die dem System eine gesamte minimale • Antwortzeit gibt. • Wir nehmen an, dass alle Jobs atomar und gleich groß sind. Also ist xij eine Ganzzahl, und die Summe pj von allen xij • ist auch eine Ganzzahl. • Die Potentialfunktion ist: Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

7. 7 Freie Universität Berlin • Wenn ein Job j von einer Maschine zu einer anderen geht, • dann spiegelt  die Änderung der Verarbeitungszeit des j, wider. •  erreicht dann,einen Minimumwert, wenn alle Jobs minimale • Verarbeitungszeit brauchen. Also ist die optimale Lösung alle • xij , die  minimieren. Die schattierte Fläche ist: Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

8. 8 Freie Universität Berlin Theorem 1: Wenn eine Jobeinheit xij von einer Maschine i zu einer Maschine k verschoben wird, dann ist die Reduzierung der Antwortzeit für den Job j gleich der Abfall der  Funktion. Beweis: Wenn eine Jobeinheit von der Maschine i auf die Maschine k verschoben wird, ist der Abfall der Antwortzeit des j Jobs : ri(Li) – rk(Lk +1) Die  Funktion wird genau gleich reduziert Beispiel: ri(Li) = Li 2 1 1-2 = 7 - 6 = 1 rj1 – rj2 = 3 –2 = 1 Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

9. 9 Freie Universität Berlin • Wir nennen Potentialspiel ein Spiel, das eine Potentialfunktion • besitzt, die die Änderungen der Spieler trägt. • Folgerung: Die Existenz einer Potentialfunktion  impliziert • Wenn wir mit einer beliebigen Verteilung der Jobsanfangen, erreichen wir ein Nash Gleichgewicht in endlicher Zeit. • Eine Lösung mit Minimum  ist ein Nash Gleichgewicht Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

10. 10 Freie Universität Berlin Verallgemeinerung: pj besteht aus sehr kleinen Jobeinheiten -> Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

11. 11 Freie Universität Berlin • Jetzt muss bewiesen werden, dass falls die Antwortzeit des Jobs j • sich ändert, indem ein sehr kleines Teil von dem j auf ein andere • Maschine verschoben wird, ändert sich auch der Wert der •  Funktion. • Theorem 2 • Wenn ein Job j ein xij >0 hat und k  Sj und die Nash Kondition • ( ri(Li) > rk(Lk)) noch nicht erfüllt ist, dann wird  abfallen, falls • eine sehr kleine Einheit von j xij nach xkj geschaltet wird. • Beweis Gleich gilt: Also  0,das von xij abgezogen und auf xkj addiert wird und  abfällt Aber es gilt ri(Li) > rk(Lk) => Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

12. 12 Freie Universität Berlin • Die Existenz einer Potentialfunktion  impliziert: • Eine Lösung mit Minimum -Wert ist ein Nash Gleichgewicht • Beweis: • Falls die Lösung mit -Wert kein Nash Gleichgewicht wäre, • könnte man (Theorem 2) den -Wert noch mehr • reduzieren. Aber -Wert hat schon einen Minimum Wert. Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

13. 13 Freie Universität Berlin • Die Existenz einer Potentialfunktion  impliziert: • 2. Es existiert ein Nash Gleichgewicht. • Beweis: • Die Funktion  ist stetig, und die Menge der möglichen • Lösungen ist begrenzt. D.h die Potentialfunktion erreicht • einen Minimumwert => existiert ein Nash Gleichgewicht Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

14. 14 Freie Universität Berlin • Die Existenz einer Potentialfunktion  impliziert: • Wir können in Polynomialzeit ein Nash Gleichgewicht finden • Beweis: • Wir können eine konvexe Funktion über eine konvexe Menge • in Polynomialzeit minimieren. • Für alle i, und ist eine streng • monoton wachsende Funktion. Eine differenzierbare Funktion • ist auf einem Intervall (streng) konvex dann und nur dann wenn • ihre Ableitung auf dem Intervall monoton wachsend ist. • Also , als Summe von konvexen Funktionen, ist auch konvex. Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

15. 15 Freie Universität Berlin • Die Menge aller möglichen Lasten L = {L1,...,Lm} ist auch konvex, • weil wenn L1 und L2 mögliche Lasten sind, dann soll • *L1 + (1-)*L2 für alle 0    1 auch eine mögliche Last sein. • Aber *x1 + (1- )*x2 erfüllt die folgende Gleichung: • Also *x1 + (1- )*x2 ist eine gültige Lösung -> *L1 + (1-)*L2 • ist auch eine gültige Lösung. • Also L ist konvex Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

16. 16 Freie Universität Berlin Wiederholung: Das Braess Paradox Mit der blauen Verbindung Verzögerung 2. Ohne UV Verbindung Verzögerung 1,5 Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

17. 17 Freie Universität Berlin • Ein Netzwerkfluss kann als ein gerichteter Graph dargestellt • werden, wie im Beispiel des Braess Paradox. • Definition eines egoistischen Netzwerkflusses. • Gerichteter Graph G = (V,E) • k Typen von User • User i hat Ausgangspunkt si und Ziel ti in V • Jeder User ist sehr klein • dem(i) ist das Volumen der User von Typ i • Jede Kante hat eine Latenz le(x), die eine Funktion ist des Flusses x (Anzahl der User) auf der Kante e • Wir nehmen an, dass le(x) eine stetig monoton wachsende Funktion ist • Note: i  j  si  sj oder ti  tj Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

18. 18 Freie Universität Berlin Für einem gültigen Fluss im Netz muss gelten: Der gesamte Fluss auf einer Kante ist: Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

19. 19 Freie Universität Berlin Die Verzögerung auf der Kante spiegelt den gesamten Fluss der User auf der Kante wieder: • Nash Gleichgewicht: Ein Fluss ist Nash Gleichgewicht, wenn die • folgende Aussage gilt: • Typ i, alle Wege P vom si -> ti mit fp  0 erfüllt ( Wege Q vom si -> ti, lP(f)  lQ(f)) Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

20. 20 Freie Universität Berlin Theorem 3. Eine Lösung ist ein Nash Gleichgewicht dann und nur dann wenn der Fluss die Potentialfunktion minimiert: Beispiel für le(x) = x  = 2 + 2 +2 +2 +2 = 10 Sti SV Vti titj Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

21. 21 Freie Universität Berlin Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

22. 22 Freie Universität Berlin Das Gefangenendilemma... ...und die Strategie der Fische Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

23. 23 Freie Universität Berlin • Strategien: • Kooperieren • Verrat • Wie du mir so ich dir (Tit for Tat) • Erster Zug selbständig, und bei allen folgenden Zügen macht • man das, was der Mitspieler beim letzen Zug gemacht hat. Wo finden wir diese Strategie wieder?? Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

24. 24 Freie Universität Berlin • Tit for Tat bei Stichlingen • Verhalten von Stichlingen in Anwesenheit anderer größerer • Fische, die entweder Räuber oder Friedfische sind. • Gewinn eine Annäherung: Informationsgewinn; je näher desto mehr • Informationen • Verlust einer Annäherung: Wenn Räuber dann je näher, desto größer • die Gefahr, gefressen zu werden Annäherung erfolgt schrittweise und abwechselnd. Das erinnert an Tit for Tat . Prinzipiell kooperativ, aber es gilt ilt auch das „Wie du mir, so ich dir“ Verhalten. Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

25. 25 Freie Universität Berlin Experimentelle Prüfung Ergebnis: Stärkere Annäherung bei Vorspiegelung von Kooperation Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06

26. 26 Freie Universität Berlin Quellen: http://www1.uni-hamburg.de/IWI/FolienThema10.doc http://www.uni-muenster.de/Biologie/Main/aktuell/LubjSkript%209.pdf http://www.muslim-markt.de/wissenschaft/gefangenendilemma.htm http://www.cs.cornell.edu/courses/cs684/2005fa/ http://de.wikipedia.org/wiki/Gefangenendilemma http://www.dbg.rt.bw.schule.de/lehrer/ritters/info/gedil/gedil.htm Ioannis Kyrykos „Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 06