Voorbeeld uitwerking reductie bewijs

1. Voorbeeld uitwerking reductie bewijs in3120 Cees Witteveen

2. Twee beslissingsproblemen • Vertex Cover (VC) • instantie:een graaf G = (V,E) enKZ+ • vraag:heeft G een vertex cover ter grootte van K? dwz.bestaat er een V’  V, |V’| = K, zodanig dat voor elke {v,w}  E geldt: v  V’ of w  V’? • Clique • instantie:een graaf G = (V,E) enKZ+ • vraag:bestaat er een clique ter grootte van K in G?dwz: bestaat er een V’  V, |V’| = K, zodanig dat voor elke v,w  V’ geldt {v,w}  E ?

3. Poly-tijd reductie • Constructie reductie vanVERTEX COVERnaar CLIQUE: Construuer f zodanig dat geldt: Als I = (G = ( V, E ), K) met K Z+ een instantie van VC is, dan is f(I ) = (G’ = ( V’, E’ ), K’) met V’ = V E’ = { { v,w } | v  w  V, {v,w} E } K’ = |V | - K ;

4. Hoe correctheid te bewijzen • ga na dat transformatie polynomiaalis. • ga na dat iedere yes-instantie van VCwordt getransformeerd naar een yes-instantie van CLIQUE; • ga na dat een getransformeerde yes-instantie inCLIQUE altijd afkomstig is van een oorspronkelijke yes-instantie van VC.

5. 1. polynomialiteit transf’tie • Laat I = (G =(V,E),K) een VC-instantie zijn. We tonen aan dat de geconstrueerde CLIQUE-instantie I’ = f(I) = (G’ = (V’, E’), K’)in een tijd polynomiaal in |I| (de lengte van I) kan worden geconstrueerd. • V’ wordt verkregen door V te copieren: kost O(|V|)  O(|I|)-tijd. • E’ wordt verkregen door voor alle paren v,w uit V na te gaan of (i) v  w en (ii) {v,w}  E; als aan beide condities voldaan is, wordt {v,w} opgenomen in E’; dit kost per paar v,w uit V, O(|E|)-tijd; dus totaal: O(|E|x|V|2)  O(|I|3)-tijd • Tenslotte moeten om K’ te berekenen |V| en K’ = |V| - K worden berekend: kost O(|V|) + O(max(log K, log |V |))  O(|I|)-tijd Totale tijd kosten transformatie:O(|I|) + O(|I|3)+O(|I|) = O(|I|3)

6. 2. Correctheid transformatie • a.yes-instanties I van VC worden afgebeeld op yes-instanties van f(I) van CLIQUE • Stel I = (G =(V,E),K) yes-instantie van VC; dan is er een VCW ter grootte van K in G. We tonen aan dat W’ = V - W een clique is in f(I) = (G’ = (V’,E’), K’) en derhalve dat f(I) een yes-instantie van CLIQUE is. • Neem twee willekeurige knopen uv in W’; stel {u,v}  E’; dan moet volgens de constructie gelden: {u,v}  E. Maar omdat W een vertex cover is, zou dan u  W of v  W. Er geldt echter:u en vbeide niet in W!. Dus kan de veronderstelling {u,v} E’ niet waar zijn, dwz. {u,v}  E’.Maar dan geldt W’ is een clique ter grootte van |V| - K = K’

7. 2. Correctheid (vervolg) • b.alsI’ een yes-instantie is van CLIQUE dan is iedere I waarvoor f(I) = I’ een yes-instantie van VC.Stel I’ = (G’ =(V’,E’),K’) is een yes-instantie van CLIQUE en voorI = (G =(V ,E),K ) geldt: I’ = f(I). We tonen aan, dat I een yes-instantie is van VC.Omdat I’ = (G’ =(V’,E’),K’) een yes-instantie is van CLIQUE , bestaat er een clique W’ met |W’| = K’ in G’.We laten nu zien dat W = V - W een vertex cover is van G. dwz I is een yes-instantie van VC. Neem een kant {u,v}  E. Dan geldt:{u,v}  E’ en derhalve u  W’ of v  W’. En dit betekent:u  V- W’ = W of v  V-W’ = W. M.a.w. W is een vertex cover ter grootte van |V| - K’ = K in G.

8. 2. Correctheid (anders) • Met behulp van een beetje logica kunnen we het bewijs veel korter opschrijven:I = (G =(V ,E),K ) is een yes-instantie van VC G heeft een vertex cover W ter grootte van KW  V [ |W| = K  u,vV [ {u,v}  E  (u  W  v  W )] W  V [ |W| = K  u,vV [ (u  W  v  W )  ({u,v}  E) ] W  V [ |W| = K  u,vV [( u  W  v  W )  {u,v}  E’ ] W  V [ |W| = K  u,vV [( u  V - W  v  V - W )  {u,v}  E’ ] W  V [ W’ = V - W  |W’| = |V| - K  u,vV [( u  W’  v  W’)  {u,v}  E’ ] G’ = (V, E’) heeft een clique W’ ter grootte vanK’ = |V| - KR(I) = (G’ =(V ,E’), K’ )is een yes-instantie vanCLIQUE

9. Een opgave om zelf te doen • W  V is een Dominating Set van G = (V,E) ter grootte van K als • |W| = K en • voor geen enkel tweetal knopen u,v in W geldt: {u,v}  E. • Opgave:Geef een reductie van het vertex cover probleem naar het Dominating Set probleem:Gegeven graaf G= (V,E) en pos. integer K, heeft G een dominating set ter grootte van K?