Miscarea Oscilatorie Armonica

1. Miscarea Oscilatorie Armonica Sabou Paula Chiribisan Diana Dragos Rafael Hosu Catalin Cls a XI-a C

2. Miscarea oscilatorie armonica def • Def : Miscarea oscilatorie armonica este miscarea oscilatorie cu amplitudine liniara si constanta in care acceleratia este proportionala cu elongatia si de semn contrar ei.

3. Ecuatiile miscarii oscilatorie armonice • Consideram ca punctul material porneste din A.  = Δα / Δt => Δα = Δt α = t R = A sin α = y / A => y = A sin t Conditia de maxim : y  ymax = A sin (t + φ0) = +-1 t +φ0 = π/2 => t = π/2 – φ0 t = (π/2 – φ0) /  Generalizare : t = [(2k+1)π/2 – φ0] / 

4. ­­v = ve cos α Masa circulara = Δα / Δt (relatie de definitie) = v / R (modul) => v = R R = A v = A cos (t + φ0) Conditia de maxim v --> vmax =t pt.cos (wt + φ0) = 1 t+φ0 = 2kπ => t = (2kπ – φ0) Ecuatia vitezei

5. sau => Conditia maxima : pentru sin(t + φ) = 1 Asin (t + φ0) = y Ecuatia acceleratiei

6. Perioada miscarii oscilatorii armonice • Def : Miscarea oscilatorie armonica este o miscare periodica care se repeta identic la intervale egale de timp.Ea este reprezentata printr-o functie periodica. • T = 2π / 

7. Perioada pentru un resort elastic Fe = - Ky ; - Ky = ma ;  = √ K / m ; 2π / t = √ K / m  = 2π / T ; T = 2π • √ m/K Legi :• perioada depinde direct proportional de √ m • perioada depinde invers proportional de √ K Observatie : • perioada resortului nu depinde de marimi variabile si nu poate fi influentata.

8. Grupari resorturi : y = y1 + y2 ; Constanta echivalenta : 1/Ks = 1/K1 + 1/K2 Ks =K1K2 / (K1 + K2) Ts = 2π √ m/Ks • a) Serie b) Paralel Kp =K1 + K2 Tp = 2π √m /Kp

9. Perioada pentru pendul matematic Unghiul care corespunde elongatiei : α = elongatie unghiulara α  y a0= amplitudine unghiulara α0A Gn = G cos α ; Gt = G sin α Gn – la pozitia de extrem este anulata de tensiunea in fir. Gt = mg sin α ; ma=mg • y / l m2y = - mg • y /l 2 = g /l ; = √g / l ; T = 2π √ l / g

10. Energia in miscarea oscilatorie armonica • Et = Ec + Ep • Obs : In miscarea oscilatorie armonica energia se conserva. • Et = Epmax ( V = 0 ) • Et = Ecmax ( y = 0 ) • Scop Et = ? • ; y = A sin t ; v = A cos t =>

11. Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru resort elastic • ; ; ; Obs. Daca nu se cunoaste viteza si se da in ipoteza valoarea lui A respectiv y se aplica conservarea energiei. • Ec = Et + Ep ; ; • Energia in miscarea oscilatorie armonica pentru pendul matematic • H = l • l cos α ; H = l (1- cos α) ; Ep = mgh ; • Ep = mgl (1- cos α)

12. ( ) + + = m s h s ks F t Oscilaţiile unui sitem cu un singur grad de libertate • Cazul cel mai simplu de mişcare oscilatorie este acela al unui sistem cu un singur grad de libertate, adică al unui sitem a cărui mişcare este descrisă complet dacă se cunoaşte modul în care variază, în funcţie de timp, o singură mărime de stare, liniară. • Ecuaţia mişcării este • Unde: • -m masa punctului material, • -s elongaţia mişcării • -ks forţa elastică • -hs’ forţa de rezistenţă a mediului vâscos.

13. + = m S+ h s ks 0 d + w = s 2 s s 0 • Oscilaţii amortizate • Dacă în ecuaţia de mişcare h0 mişcarea oscilatorie este amortizată, adică • sau • unde şi şi integrala acestei ecuaţii este • unde r1 şi r2 fiind rădăcinile ecuaţiei caracteristice • iar C1 şi C2 două constante. • Se deosebesc următoarele cazuri:

14. 1. Forţa de frânare are intensitate mică, deci. În acest caz r1 şi r2 suntimaginare conjugate şi integrala ecuaţiei devine • unde • Sm şi  fiind două constante ale căror valori se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării. Pseudoperioada de mişcare este în acest caz • Relaţia lui T ne arată că perioada mişcării • amortizate este mai mare decât cea a unei • mişcări neamortizate. • Două amplitudini care se succed la intervale • de o perioadă au valori care sunt în raportul • al cărui logaritm • se numeşte decrementul • logaritmic al mişcării oscilatorii amortizate • graficul variaţiei lui S în funcţie de timp • fiind de tipul celei din figură.

15. 1.Forţa de frecare are intensitatea mare, deci în acest caz r1 şi r2 sunt reale şi se poate scrie Când timpul creşte, elongaţia tinde către zero fără ca mişcarea să aibă un caracter oscilator. Mobilul tinde asimptotic către poziţia de repaus, care corespunde lui S=0. Graficul variaţiei lui S în funcţie de timp, are o formă care depinde devaloarea vitezei iniţiale v0.

16. 1.Cazul intermediar =. În acest caz ecuaţia caracteristică are o rădăcină dublă şi deci unde C1 şi C2 sunt două constante ale căror valori se deduc din condiţiile iniţiale ale mişcării. Mişcarea este aperiodică şi S tinde spre zero când timpul creşte fără ca mobilul să oscileze.

17. Fenomenul de bătăi Fie două mişcări oscilatorii de aceeaşi amplitudine şi frecvenţe foarte apropiate 1 şi 2 şi Oscilaţia rezultantă se va efecua după o lege care se obţine scriind că în orice moment elongaţia rezultantă este suma elongaţiilor componente, deci Sau Ralaţia arată că oscilaţia rezultantă are o amplitudine Care variază în timp, intervalul între două maxime sau două minime fiind , iar pulsaţia mişcării rezultante fiind 0Acest fenomen poartă numele de bătăi.

18. Probleme rezolvate • . De un resort elastic , a cărui constantă elastică este de k = 103 N•m-1, este suspendat un corp de masă m = 0,1 kg. Pendulul elastic astfel format oscilează . Impulsul pendulului la distanţa y1 = 3 cm de poziţia de echilibru este p1 = 0,3 √3 kg•m•s-1. Se cer : • legea de mişcare (faza iniţială este nulă) ; • energia cinetică şi potenţială în momentul în care y2 = 2 cm. • Rezolvare : • a) Pulsaţia se află din relaţia k = mω2 => ω=k / m =102 rad/s. • Pentru a calcula amplitudinea , folosim condiţiile date : • elongaţia y1=A sin ωt1 (I) • şi impulsul p1 , când elongaţia este y1 ; • p1= mv1 = mA ω cos ωt1 sau p1 / mω=A cos ωt1. (II)

19. Ridicând (I) şi (II) la pătrat şi adunându-le se obţine : • A = y12 + p12 / m2ω2 = 6 • 10-2 m. • Legea de mişcare se scrie : • y = 6 • 10-2 • sin 102t. • Când y2= 2 cm energia potenţială este : • Ep = ky22 / 2 = 103 • 4 • 10-4 / 2 = 0,2 J. • Energia cinetică poate fi aflată fie prin calcularea în prealabil a pătratului vitezei v22 când y2 = 2 cm , fie prin scăderea energiei potenţiale din energia totală , ceea ce este mai simplu. Vom proceda în ambele feluri . • I. Pătratul vitezei este : • v22 = A2ω2cos2ωt , • dar sin ωt = y2 / A şi înlocuind în relaţia precedentă obţinem : • v22 = A2ω2(1 – y22 / A2) = 36 • 10-4 • 104 •((36 • 10-4 – 4 • 10-4) / 36 • 10-4 ) = 32 m2 / s2. • Deci Ec = ½ • mv22 = 1,6 J. • II. Folosind legea conservării energiei, • Ec = E – Ep = ½ kA2 – ½ ky2 = ½ k(A2 – y2) = 1,6 J.

20. Biblografie • http://images.google.ro/imgres?imgurl=http://www.fizica.ro/textbooks/fizica11/html/img/1a5_4.jpg&imgrefurl=http://www.fizica.ro/textbooks/fizica11/html/1a5.html&usg=__gMS8TJqy9jjtuLeTE_6QaPnBQa0=&h=400&w=401&sz=12&hl=ro&start=12&um=1&tbnid=ZsOCi1zquxcCtM:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images%3Fq%3Dmiscarea%2Boscilatorie%2Barmonica%26hl%3Dro%26lr%3Dlang_ro%26sa%3DN%26um%3D1 • http://www.referatele.com/referate/fizica/online5/Miscarea-oscilatorie---perioada-miscarii-oscilatorie-armonica-referatele-com.php • http://referat.clopotel.ro/Miscarea_oscilatorie_armonica-6860.html • http://www.calificativ.ro/referate/referat-Fizica___Miscare_oscilatorie-rid4304.html • http://www.referatele.com/referate/fizica/online7/Miscarea-oscilatorie---Ecuatiile-miscarii-oscilatorie-armonice-Ecuatia-vitezei-Ecuatia-acceleratiei-.php

21. Componenta • Sabou Paula • Dragos Rafael • Hosu Catalin • Chiribisan Diana • cls a-XI-a C