Теорема Пика

1. Решение заданий В5площади многоугольниковпо материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года

2. Теорема Пика • Пусть L− число целочисленных точек внутри многоугольника,B− количество целочисленных точек на его границе, S− его площадь. Тогда справедлива формула Пика: • S = L +B/2 – 1 Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13(красные точки), B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15квадратных единиц. 1см

3. Теорема Пика Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтому S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц. 1см

4. Площадь прямоугольного треугольника Пусть аи b− катеты прямоугольного треугольника, c– гипотенуза, h – высота,проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S− его площадь. Тогда справедливы формулы: 1 1 S = ab S = ch 2 2 a b h c

5. Площадь произвольного треугольника Пусть а− сторона треугольника, hа– высота,проведенная к этой стороне, S− его площадь. Тогда справедлива формула: 1 S = aha 2 ha ha a a

6. Площадь параллелограмма Пусть а− сторона параллелограмма, hа– высота,проведенная к этой стороне, S− его площадь. Тогда справедлива формула: S = aha ha ha a a

7. Площадь трапеции Пусть а и b− основания трапеции, h – высота, S− площадь трапеции. Тогда справедлива формула: a + b S = h 2 a a h h b b

8. Площадь четырехугольника Пусть d1иd2 диагонали произвольного четырехугольника, α– угол между ними, S− его площадь. Тогда справедлива формула: 1 S = d1d2 sinα 2 d1 α α d1 d2 d2

9. Задания открытого банка задач • 1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 3 • Решение: 7 1см • Ответ: 10,5.

10. Задания открытого банка задач • 2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 4 ha 8 1см • Ответ: 16.

11. Задания открытого банка задач • 3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: ha 3 8 1см • Ответ: 12.

12. Задания открытого банка задач • 4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 4 ha 6 1см • Ответ: 12.

13. Задания открытого банка задач • 5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 3 ha 8 1см • Ответ: 12.

14. Задания открытого банка задач • 6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 1 9 8 1см 2 6 • Ответ: 33. 8

15. Задания открытого банка задач • 7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 1 7 • Решение: 4 9 5 1см • Ответ: 15,5. 8

16. Задания открытого банка задач • 8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 7 • Решение: 1 по теореме Пифагора: а 1см а • Ответ: 50.

17. Задания открытого банка задач • 9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 6 по теореме Пифагора: 2 b 3 а 1 1см • Ответ: 20.

18. Задания открытого банка задач • 10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 4 8 1см • Ответ: 16.

19. Задания открытого банка задач • 11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 4 5 3 1см • Ответ: 17,5.

20. Задания открытого банка задач • 12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 4 6 1см • Ответ: 8.

21. Задания открытого банка задач • 13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 5 4 1см • Ответ: 30.

22. Задания открытого банка задач • 14. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 2 7 1см • Ответ: 36.

23. Задания открытого банка задач • 15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 7 1см 4 • Ответ: 28.

24. Задания открытого банка задач • 17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 3 5 • Решение: 2 9 7 1см • Ответ: 25,5. 8

25. Задания открытого банка задач • 18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение:(1 способ) 7 3 1см 2 • Ответ: 13,5.

26. Задания открытого банка задач • 18. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: (2 способ) 9 S2 4 7 S3 2 1 1см S4 2 • Ответ: 13,5.

27. Задания открытого банка задач • 19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 6 9 1см 3 • Ответ: 51. 2 6

28. Задания открытого банка задач • 20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 2 • Решение: 5 9 1см • Ответ: 31. 8

29. Задания открытого банка задач • 21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 8 2 7 5 1см 2 3 • Ответ: 33,5.

30. Задания открытого банка задач • 22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 3 8 5 1см 5 3 • Ответ: 24.

31. Задания открытого банка задач • 23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 8 • Решение: 4 7 3 1см 5 3 • Ответ: 14,5.

32. Задания открытого банка задач • 24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: 7 3 2 1см 8 • Ответ: 18.

33. Задания открытого банка задач • 25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение:(1 способ) • Площадь четырехугольника • (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. • Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4√2, а синус угла между ними равен 1. • Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16. 4 4√2 4√2 4 4 1см 4 • Ответ: 16.

34. Задания открытого банка задач • 25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение:(2 способ) L = 15 (красные точки), B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика • S = L +B/2 – 1 S = 15 + 4/2 – 1 = 16 1см • Ответ: 16.

35. Задания открытого банка задач • 26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: (1 способ) 6 3 4 5 5 9 5 4 1см • Ответ: 19,5. 9

36. Задания открытого банка задач • 26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. • Решение: (2 способ) L = 16 (красные точки), B = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика • S = L +B/2 – 1 S = 16 + 9/2 – 1 = 19,5 1см • Ответ: 19,5.