Download
1 / 24
240 likes | 335 Views
Student : Danijel Rujević 223 /06. Teorija izr ačunljivosti. Profesor : Zoran Ognjanovi ć. Svojstva regularnih jezika. Teorema 1. Klasa regularnih jezika je zatvorena za: uniju , presek , nadovezivanje , zatvorenje ( Klinijevu zvezdicu ) i komplementiranje. Dokaz. Unija
E N D
Student: Danijel Rujević 223/06 Teorijaizračunljivosti Profesor: Zoran Ognjanović
Teorema 1 • Klasa regularnih jezika je zatvorena za: • uniju, • presek, • nadovezivanje, • zatvorenje (Klinijevuzvezdicu) i • komplementiranje.
Dokaz • Unija • Akoimamodvaregularnajezikai • I odgovarajuće nedeterminističke automate i • tada posmatramo kon. autom. takav da važi i • automat M nedeterministički bira da li da pređe u stanje ili pa oponaša rad ili • odatle je jasno da akko
Dokaz • Nadovezivanje • identično kao malopre definiše se novi kon. aut. M na osnovu i • ali ovde će iz završnog stanja preći u početno stanje . To će izvesti čitanjem prazne reči.
Dokaz • Zatvorenje • neka je za novi automat izgleda ovako • f-ja prelaza se definiše tako što se iz čitanjem prazne reči prelazi u pošto je stanje ujedno i završno možemo pročitati praznu reč.
Dokaz • Komplementiranje • neka je za , tada komplement jezika se prihvata automatom
Dokaz • Presek • Zatvorenost za presek je posledica zatvorenosti za uniju i komplement, odnosno:
Teorema 2 • Svakiregularanjezik se može dobitikonačnimbrojemprimenaoperacijaunije, nadovezivanjaiKlinijevezvezdicenakonačne jezike.
Dokaz • Neka je regularan jezik i i konačni automat tako da je . Uvodimo skupove svih reči , tako da se iz stanjaučitavanjem rečiprelazi u stanje, a da se pri tom ne nađe u stanju za • tačnije i • Kako važi , važi i polazno tvrđenje.
Teorema 3 (pumping lemma) • Neka je beskonačan regularan jezik. Tada postoje reči x, y i ztako da važi i za svaki . • Pošto regularnihjezikaimaprebrojivomnogo, a svihjezikaneprebrojivo, jasno jeda postoje jezici koji nisu regularni. Ova teorema nam daje kriterijum za utvrđivanje da jezik nije regularan.
Dokaz • Neka je determinističkikonačni automat san stanja za koji je • Pošto je L beskonačan, postoji reč da je • Najduži put u konačnom automatu u kome se svakičvorjavljanajviše jednomsadržinajviše n−1 ivicu, pa se prilikomprihvatanjaautomatmora naći bar dva puta u istom stanju. • Označimo to stanje sa . Značidapostojipodrečy rečikoja kad se čita od stanja dolazi u nekom trenutku ponovo do njega.
Dokaz • odatle možemo predstavitikao tako da • Takođe je očigledno da isti automatprihvatai reči bez prolaženja kroz petlju (q) za k=0, a proizvoljan broj puta za k>0.
Primer • Imamo jezik koji je beskonačan. Kada bi ovaj jezik bio regularan važilo bi za i proizvoljne • uzmimo da je , onda mora biti i • očigledno bi smo naduvavanjem ove reči dobili reč sa više 0 nego 1, koj ne pripada jeziku. • slično je i sa , a sa dobija se reč u kojoj se neke 1 nalaze levo od 0, tako ad ni ona ne pripada jeziku L
Definicija • Regularni izrazi nad alfabetom A se definišu na sledeći način: • praznareč, prazanskupisviznacialfabetaAsuregularniizrazi, • akosuiregularniizrazi, regularniizrazisu • regularniizrazi se dobijajusamokonačnomprimenomprethodnadvakoraka
Regularniizrazipredstavljaju jedan vid za opis regularnih jezka, odnosno predstavljaju generatotre odgovarajućeg jezika. • Prvila koja važe za pridruživanje regularnog izraza jeziku su:
Primer • Izraz predstavlja generator reči koje počinju na 0, iza čega ide k znakova 0 ili l z nakova 1 za • za njega važi:
Teorema 4 • Za svaki konačan jezik L postoji regularan izraz tako da je .
Teorema 5 • Jezik L je regularan ako i samo ako postoji regularan izraztakodavaˇzi L = L().
Primer • Regularniizrazpredstavljajezik • Izrazu se konačni automat pridružujenasledećinačin:
Primer • Početnostanje jes, doksuzavršnastanjas, i Takođe je zbogdokazanihekvivalentnostimoguće izvestiiobrnutopridruživanje,tj. zasvakikonačan automat postojiekvivalentanregularniizraz.
