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MATEMÁTICAS II. Tema XIII Aplicaciones de derivadas. APLICACIONES. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Problemas de optimización. Curvatura y puntos de inflexión de una función.
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MATEMÁTICAS II Tema XIII Aplicaciones de derivadas Apuntes 2º Bachillerato C.T.
APLICACIONES • Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. • Extremos relativos. • Problemas de optimización. • Curvatura y puntos de inflexión de una función. • Estudio del dominio, de los puntos de corte, de las regiones de existencia, de la simetría, periodicidad y asíntotas de una función. • Representación gráfica de algunos tipos de funciones. • EJERCICIOS DEL LIBRO • PROBLEMAS DEL LIBRO Apuntes 2º Bachillerato C.T.
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS TEMA 8.1 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.T.
DOMINIO Y RECORRIDO • DOMINIO de f(x): • Todos los valores de x para los que existe la función. • Se denota por Dom f(x) = ... • En las funciones polinómicas el dominio es R. • En las funciones racionales el dominio es R – [a, b, c, ...], siendo a, b, c, .. los puntos de asíntotas verticales. • RECORRIDO de f(x): • Todos los valores que puede tomar f(x). • Se denota por Img f(x) = ... • En las funciones lineales el recorrido es R. • En las funciones cuadráticas el recorrido es (-oo, yv] ó (yv , oo), según sea convexa o cóncava. • En las funciones cúbicas el recorrido es R. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
CORTES CON LOS EJES • Corte con el eje OY: • x = 0 y = f (0) Pc ( 0, f(0) ) • Corte con el eje OX: • f(x) = 0 xi = Raíces de la función f(x) • Si una función presenta cortes con el eje OX en los puntos x=a, x=b, x= c, etc , se establecen zonas o regiones donde el signo de la función es el mismo: • (- oo, a) , (a, b) , (b, c) , (c, ...) , …, ( k, +oo) • Si una función es positiva / negativa en un punto xo c (a, b) , siendo a y b puntos de corte con el eje OX, la función será positiva / negativa en todos los puntos del intervalo ( a, b ). Apuntes 2º Bachillerato C.T.
SIMETRÍAS • Una función f es simétrica respecto al eje OY si se cumple: • f(x) = f( - x) • Diremos entonces que presenta una simetría PAR. • Una función f es simétrica respecto al origen (0, 0) si se cumple: • f(x) = - f( - x) • Diremos entonces que presenta una simetría IMPAR. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
PERIODICIDAD • Una función f se dice que es periódica y de periodo P si cumple estas tres condiciones: • * Si x ε Dom f(x) (x+P) ε Dom f(x) • * f(x) = f(x+P) • * P es el menor número real que cumple las anteriores condiciones. P P Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MONOTONÍA • Una función f es CRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) < f(x2) • Una función f es DECRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) > f(x2) • Una función f es CRECIENTE / DECRECIENTE en un punto xo c (a, b) si y sólo so existe un entorno simétrico de xo en el cual la función es CRECIENTE / DECRECIENTE. • TEOREMA • Sea f una función definida en ( a, b) y xo c (a, b). • Entonces: • Si f ‘ (xo) > 0 la función es estrictamente CRECIENTE en xo. • Si f ‘ (xo) < 0 la función es estrictamente DECRECIENTE en xo. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS • Una función f tiene un máximo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) < f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno. • Una función f tiene un mínimo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) > f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno. • TEOREMA • Si f tiene un extremo relativo en x=xo y existe f ‘(x), entonces f ‘ (x) = 0 • Sea f una función definida en (a, b) y con derivada segunda en este intervalo y sea xo c (a, b) tal que f ‘ (xo) = 0 • Si f ”(xo) > 0, entonces f tiene en xo un MÍNIMO RELATIVO. • Si f ”(xo) < 0, entonces f tiene en xo un MÁXIMO RELATIVO. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
CURVATURA • Sea f una función que tiene al menos segunda derivada. En ese caso: • Si f “ (x) < 0, para todo x c ( a, b) f es CONVEXA en (a, b) • Si f “ (x) > 0, para todo x c ( a, b) f es CÓNCAVA en (a, b) • Si una función f presenta en x=xo una segunda derivada nula, f “ (xo) = 0, entonces en dicho punto la función no es ni cóncava ni convexa. Cóncava Cóncava PI Convexa Apuntes 2º Bachillerato C.T.
PUNTOS DE INFLEXIÓN • Una función continua f tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x= xo , si en ese punto la función cambia su curvatura, es decir si pasa de cóncava a convexa o viceversa. • Si f presenta un punto de inflexión en x=xo f “ (xo) = 0 • Pero si se cumple que f “(xo) = 0, no siempre en x= xo hay un P.I. • TEOREMA • Dada una función f y un punto xo perteneciente a su dominio, si se verifica que f “(xo) = 0 y f ‘’‘ (xo) <> 0 , entonces f posee en x=xo un PUNTO DE INFLEXIÓN. Apuntes 2º Bachillerato C.T.
ASÍNTOTAS • La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: • Lím f(x) = ± oo • x a • La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si: • Lím f(x) = b • x ± oo • La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: • f(x) • Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n • x ± oo x x± oo Apuntes 2º Bachillerato C.T.
