Te ria tatistick ho odhadu to
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 22

Teória štatistického odhadu (TO) PowerPoint PPT Presentation


  • 72 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Teória štatistického odhadu (TO). Podstatou teórie odhadu je neznáme parametre základného súboru odhadovať pomocou výberových charakteristík. Rozlišujeme: 1. Bodový odhad 2. Intervalový odhad. Bodový odhad

Download Presentation

Teória štatistického odhadu (TO)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Te ria tatistick ho odhadu to

Teória štatistického odhadu (TO)

Podstatou teórie odhadu je neznámeparametre základného súboru odhadovať pomocou výberových charakteristík

Rozlišujeme:

1. Bodový odhad

2. Intervalový odhad


Te ria tatistick ho odhadu to

Bodový odhad

Základom bodového odhadu je odhadnúť parameter G základného súboru pomocou údajov z výberového súboru, tj. pomocou výberovej charakteristiky un . Parameter pritom odhadujeme jedným číslom, (jedným bodom) odtiaľ názov bodový odhad tj.:

un = G resp.

čo čítame : estimátorom (odhadom ) parametra Gje un .

Výberová charakteristika je náhodná premenná, ktorej hodnoty sa menia v závislosti od toho, ktoré jednotky základného súboru tvoria výberový súbor. Rozdiel medzi G a un definuje chybu odhadu tj.:

Prirodzenou požiadavkou je, aby chyba odhadu bola čo najmenšia. To dosiahneme vtedy ak výberová charakteristika spĺňa základné vlastnosti bodových odhadov.


Te ria tatistick ho odhadu to

K odhadu charakteristiky G základného súboru nevolíme teda akúkoľvek štatistiku, ale takú štatistiku, ktorá spĺňa určité kritéria – vlastnosti . Uvedieme tie najdôležitejšie:

  • Neskreslenosť

  • Konzistentnosť

  • Výdatnosť

  • Postačujúcnosť


Te ria tatistick ho odhadu to

  • neskreslenosť

  • Najdôležitejšou vlastnosťou je aby zvolená štatistika neviedla k systematickému nadhodnocovaniu či podhodnocovaniu, tj. aby neviedla k systematickým chybám. Požadujeme teda, aby stredná hodnota výberovej štatistiky bola rovná odhadovanej charakteristike. Ak platí:

  • nazývame výberovú štatistiku neskresleným (nevychýleným, nestranným) odhadom charakteristiky základného súboru. Rozdiel:

  • nazývame skreslením (vychýlením). Ak pri rastúcich rozsahoch výberu sa skreslenie stráca tj.:

  • hovoríme o asymptoticky neskreslenom odhade.


Te ria tatistick ho odhadu to

2. konzistencia

tj výberová charakteristika un je konzistentným odhadom parametra G základného súboru, ak sa so zväčšovaním rozsahu výberového súboru výberová charakteristika blíži parametru G.

Podmienka konzistencie teda vyjadruje požiadavku, aby s rastúcim rozsahom výberu rástla aj pravdepodobnosť toho, že použitá štatistika un sa bude líšiť od skutočnej hodnoty parametra základného súboru G len veľmi málo ε > 0. tj.:


Te ria tatistick ho odhadu to

3. výdatnosť

tj. výdatným odhadom parametra G základného súboru nazývame takú charakteristiku un , ktorej rozptyl je zo všetkých výberových charakteristík poskytujúcich neskreslený odhad parametra G najmenší.

4. postačujúcnosť

Výberová štatistika je postačujúcou, ak okrem nej neexistuje žiadna iná štatistika, ktorá by poskytovala ďalšie doplňujúce informácie o odhadovanej charakteristike základného súboru


Te ria tatistick ho odhadu to

  • K bodovému odhadu parametrov základného súboru najčastejšie využívame tieto metódy:

  • - metóda momentov

    • - metóda maximálnej vierohodnosti

    • - metóda najmenších štvorcov.


Te ria tatistick ho odhadu to

Na základe vlastností, ktoré musí spĺňať výberová charakteristika, platí, že výberový priemer , je, neskresleným konzistentným a výdatným odhadom strednej hodnoty základného súboru , čozapíšeme:

a čítame: estimátorom (bodovým odhadom) strednej hodnoty základného súboru je výberový priemer . Ak odhadujeme priemer základného súboru výberovým priemerom dopúšťame sa chyby odhadu, ktorú definujeme:

pričom jej veľkosť nevieme presne určiť. Ale môžeme odhadnúť tzv. štandardnú chybu odhadu,ktorá predstavuje priemernú veľkosť chýb odhadov pri mnohokrát opakovaných výberoch daného rozsahu. Štandardnú chybu pri známej štandardnej odchýlke základného súboru a rozsahu výberového súboru vypočítame


Te ria tatistick ho odhadu to

Avšak štandardnú odchýlku základného súboru často nepoznáme, preto nemôžeme štandardnú chybu výberového priemeru určiť presne, a tak ju odhadujeme pomocou výberovej štandardnej chyby odhadu výberového priemeru , ktorú definujeme


Te ria tatistick ho odhadu to

Pre rozptyl základného súboru platí, že jeho bodovým odhadom

(neskresleným konzistentným a výdatným), je výberový rozptyl tj.:

čo čítame: estimátorom (bodovým odhadom) rozptylu základného súboru je výberový rozptyl , ktorý vypočítame podľa vzťahu

Pre štandardnú odchýlku základného súboru platí, že jej bodovým odhadom, (neskresleným konzistentným a výdatným), je výberová štandardná odchýlka

čo čítame: estimátorom, (bodovým odhadom) štandardnej odchýlky základného súboru je výberová štandardná odchýlka , ktorú vypočítame ako odmocninu s výberového rozptylu

Skutočnosť, že pri bodových odhadoch dochádza k výberovým chybám, veľkosť ktorých nie je možné presne určiť, vedie k tomu, že sa bodové odhady dopĺňajú o intervalové odhady


Te ria tatistick ho odhadu to

Intervalové odhady

Intervalovým odhadom parametra G základného súboru sa nazýva taký odhad, kedy sa odhadovaný parameter nachádza s pravdepodobnosťou v intervale , tj.:

Interval sa nazýva interval spoľahlivosti. Hranice g1 a g2 sú funkcie výberovej charakteristiky un . Ak sú hranice intervalu spoľahlivosti konečné čísla definujeme pravdepodobnosť

tj. pravdepodobnosť, že parameter základného súboru G je menší ako g1 sa rovná a pravdepodobnosť, že prekročí hodnotu g2 sa rovná . Súčet pravdepodobností označuje pravdepodobnosť, že parameter

základného súboru G nie je z intervalu spoľahlivosti a nazýva sa riziko odhadu

( riziko podhodnotenia, riziko nadhodnotenia)


Te ria tatistick ho odhadu to

Riziko odhadu a interval spoľahlivosti

1-

2

1

g2

g1


Te ria tatistick ho odhadu to

Pravdepodobnosť sa nazýva koeficient spoľahlivosti alebo jednoducho spoľahlivosť odhadu, a je hladina významnosti. Za predpokladu, že koeficient spoľahlivosti je číslo blízke jednej, možno s určitosťou tvrdiť, že parameter základného súboru je z intervalu spoľahlivosti.

Zvyšovaním spoľahlivosti sa však súčasne interval spoľahlivosti rozširuje, čím sa znižuje presnosť odhadu - a naopak, so znižovaním spoľahlivosti sa interval spoľahlivosti zužuje, čím sa zvyšuje presnosť odhadu. Bodový odhad potom môžeme považovať za extrémny prípad intervalového odhadu s nulovou šírkou intervalu ( odhad je síce presný ale stráca na spoľahlivosti ).

Pri praktických výpočtoch najčastejšie zostavujeme intervaly spoľahlivosti obojstranné, ak je parameter základného súboru ohraničený zdola aj zhora, kedy aj sú rôzne od nuly. O symetrickom intervale hovoríme vtedy ak riziko nadhodnotenia aj podhodnotenia je rovnaké (v ďalšom texte sa budeme zaoberať len symetrickými intervalmi),


Te ria tatistick ho odhadu to

Intervalový odhad strednej hodnoty

je kvantil normovaného normálneho rozdelenia / normsinv (1-α/2)


Te ria tatistick ho odhadu to

Intervalový odhad je možné zapísať v tvare

prípustná chyba odhadu predstavujúca polovicu šírky symetrického intervalu spoľahlivosti a je daná výrazom:

b.) ak nepoznáme rozptyl základného súboru a n >30 má veličina u tvar


Te ria tatistick ho odhadu to

c.) ak nepoznáme rozptyl základného súboru

a n je menší ako 30 má veličina tvar

alebo

Kvantil studentovho rozdelenia / tinv(α,n – 1)


Od oho z vis ve kos pr pustnej chyby

Od čoho závisí veľkosť prípustnej chyby ??

  • 1. od zvolenej spoľahlivosti odhadu (1- )

  • 2. strednej - štandardnej chyby priemeru, ktorá je ovplyvnená:

- variabilitou znaku – nevieme ju ovplyvniť

- veľkosťou výberového súboru, ktorý ovplyvniť môžme!

Potrebný rozsah súboru pri vopred zvolenej spoľahlivostia požadovanej presnosti môžme určiť nasledovne:


Te ria tatistick ho odhadu to

Intervalový odhad rozptylu a štandardnej odchýlky

Pri konštrukcii intervalu spoľahlivosti z veličiny:

je dolný kvantil / chiinv(α/2, n – 1)

je horný kvantil /chiinv(1-α/2, n – 1) rozdelenia z (n-1) stupňami voľnosti


  • Login