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Il caso delle misure di eventi rari

Il caso delle misure di eventi rari. Caterina Bloise Incontri di Fisica LNF-INFN, 2 ottobre 2007. Scelta degli argomenti. I risultati delle misure Determinazione del livello di confidenza di un risultato Il caso (molto comune) della ricerca di eventi rari

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Il caso delle misure di eventi rari

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  1. Il caso delle misuredi eventi rari Caterina Bloise Incontri di Fisica LNF-INFN, 2 ottobre 2007

  2. Scelta degli argomenti • I risultati delle misure • Determinazione del livello di confidenza di un risultato • Il caso (molto comune) della ricerca di eventi rari • Estrazione del segnale in presenza di fondo • Trattamento delle fluttuazioni statistiche • Trattamento delle sistematiche Tutti esemplificati Motivazioni • Sono tutte questioni ampiamente dibattute • Facilmente esemplificabili • Di interesse generale C. Bloise- 2 ottobre 2007

  3. I risultati delle misure • Il risultato si vuole che contenga l’informazione del processo di misura che lo determina, un processo complesso in cui sono coinvolti la strumentazione e la capacità sperimentale di controllo, i criteri per la selezione degli eventi di interesse, le fluttuazioni statistiche del campione. • Possiamo esemplificare bene la procedura che porta alla determinazione del risultato focalizzando le argomentazioni al caso della ricerca di eventi rari. • Questa presuppone, schematicamente, • una procedura di selezione • la valutazione della composizione del campione selezionato • la determinazione del numero di eventi di cercati (segnale), estratta dal conteggio del campione selezionato (s+b) • la valutazione degli intervalli di confidenza del risultato in connessione alle fluttuazioni statistiche e alle sistematiche C. Bloise- 2 ottobre 2007

  4. Selezione degli eventi • Bisogna definire un set di variabili discriminanti in grado di separare il segnale dal fondo e un set di loro valori (tagli) in base ai quali effettuare la selezione • Il campione selezionato sarà composto di un numero di eventi n n = s + b = es S + eb B s= P ( accept | s ), b= P ( accept | b ) C. Bloise- 2 ottobre 2007

  5. Un esempio di procedura selettiva “Ke2”a KLOE • Le predizioni del Modello Standard sono confermate oggi con incredibile precisione dagli esperimenti • L’aspetto insoddisfacente è l’incapacità di motivare il numero e la massa di quark e leptoni • La ricerca di fenomeni di nuova fisica comprende una serie di processi soppressi e calcolabili con precisione nell’ambito del Modello Standard. Un risultato diverso indicherebbe effetti nuovi nel settore indagato • La ricerca di decadimenti K en(Ke2) ricade in questa classe, in questo caso la frequenza aspettata è 1.4/105 C. Bloise- 2 ottobre 2007

  6. Calorimeter E5 Cluster depth E2 E1 e m Ricerca di nuova fisica: “Ke2”a KLOE • Sperimentalmente bisogna identificare questi eventi, isolandoli dal canale 40,000 volte più frequente K mn (Km2) • Gli eventi sono caratterizzati a KLOE da impulsi diversi dei secondari carichi. L’ottima ma comunque finita precisione della misura dell’impulso impone l’introduzione di ulteriori variabili discriminanti T.Spadaro, Pechino 07 MC Km2 MC Ke2 per Km2 ~1.1 104 M2lep= (EK-Plep)2 – (Plep)2 per Ke2 ~0.2 M2lep (MeV2)

  7. Emax(MeV) Af 2 4 1 2 MC Ke2 0 0 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 0 100 200 300 ERMS(MeV) 3 MC Ke2 MC Km2 2 MC Km2 1 0 0 40 80 120 Variabili discriminanti “Ke2”a KLOE T.Spadaro, Pechino 07

  8. MC Km2 w/o PID Data w/o PID MC Km2 w PID Data w PID MC Ke2 w/o PID MC Ke2 w PID M2lep (MeV2) M2lep (MeV2) Risultati della selezione “Ke2”a KLOE • La procedura è in grado di selezionare il segnale con = 0.6, riducendo il fondo allo 0.2% del valore iniziale • L’analisi di un ulteriore campione, K p e n, permette di controllare le incertezze dovute alla simulazione. T.Spadaro, Pechino 07

  9. · Data ° MC Fit  MC bkg Data ERMS (MeV) 1200 800 400 ERMS (MeV) 0 40 80 120 800 Fit region 400 M2lep (MeV2) 0 M2lep (MeV2) -4000 -2000 0 2000 4000 Conteggio del segnale “Ke2”a KLOE • Una procedura di fit del likelihood nel piano ERMS vs M2lep permette, conosciute le p.d.f. di segnale e background, di ottenere il conteggio di b e s (s = 8090±160) T.Spadaro, Pechino 07 C. Bloise- 2 ottobre 2007

  10. Determinazione del livello di confidenza • Data la distribuzione P(x|m) si individuano i valori di x più improbabili fino ad ottenere una somma di probabilità leggermente minore o uguale a g: tali valori sono intesi come utili a rigettare l’ipotesi che il risultato della misura sia m • L’operazione si ripete per ogni m C. Bloise- 2 ottobre 2007

  11. m + m 68% 16% 16% m - n Intervalli di confidenza • P(n|m) = e-mmn/n! • Per ogni m la probabilità che n sia compreso nell’intervallo centrale è del 68% o appena superiore per costruzione • Per ogni n, m è compreso tra [m-,,m+] con livello di confidenza del 68% • n = 3  [2.16, 3.38] m = 3-0.84+0.38 • La tecnica è la stessa per ogni C.L., sia esso centrale, sia un limite superiore [0, m+], o inferiore [m-, ∞] • Se la determinazione sperimentale di x è n, siamo in grado di selezionare tra tutti i valori di m quelli “compatibili” con n, per cui n non è compreso tra i valori individuati nell’operazione precedente • L’intervallo di m ottenuto conterrà il valore del parametro misurato con probabilità ≥ 1 - g. C. Bloise- 2 ottobre 2007

  12. Estrazione del segnale in presenza di fondo • P(n|s) = e-(s+b)(s+b)n/n! • Un’analoga regione, traslata di b, si ottiene quando si vuole misurare un segnale in presenza di fondo b • La costruzione indica zone scoperte, con risultati nella regione di s non fisica,in caso di sottofluttuazione nel background • La costruzione degli intervalli per i limiti superiori rimane indipendente e diversa da quella degli intervalli centrali • Questi aspetti sono inerenti la costruzione degli intervalli di confidenza che è indipendente dalla prossimità della regione non fisica dei valori dei parametri G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873 intervalli centrali, di 90% C.L. con fondo b = 3 C. Bloise- 2 ottobre 2007

  13. Sottofluttuazioni del fondo • P(n|s) = e-(s+b)(s+b)n/n! • n = 5, b = 0.9  s = 4.1-2.16+3.38 • n = 5, b = 4.9  s = 0.1-2.16+3.38 ? • n = 5, b = 6.9  s =-1.9-2.16+3.38 ? • n = 5, b = 10.9  s = -5.9-2.16+3.38 ? • Corretto se si ricorda l’intera procedura e che ci si aspetta per costruzione di rigettare l’ipotesi giusta sul parametro con probabilità del 32% • Un risultato che tenga conto della regione fisica del parametro sarebbe comunque di più facile lettura C. Bloise- 2 ottobre 2007

  14. Ordinamento della p.d.f. • P(n|s) = e-(s+b)(s+b)n/n! • Feldman e Cousins hanno proposto un diverso principio di ordinamento per la costruzione degli intervalli di confidenza • Ad ogni n viene assegnato un rango in base al rapporto P(n|s) / P(n|sbest) • sbest nel caso della poissoniana è max{0, n-b} • Per costruire gli intervalli [n-(s), n+(s)] si utilizzano gli n in ordine decrescente di rango fino ad integrare una probabilità pari al C.L. G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873 intervalli centrali, di 90% C.L. con fondo b = 3 C. Bloise- 2 ottobre 2007

  15. Limiti superiori sul segnale • P(n|s) = e-(s+b)(s+b)n/n! • n = 5, b = 0.9  s = 4.1-2.35+2.71 • n = 5, b = 4.9  s < 2.81 (5.0) • n = 5, b = 6.9  s < 1.23 (3.2) • n = 5, b = 10.9  s < 0.35 (1.7) G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873 • Limiti sul segnale più stringenti per sottofluttuazioni del background più improbabili • Situazione attesa. Quando la sottofluttuazione è estremamente improbabile la valutazione del background diventa sospetta C. Bloise- 2 ottobre 2007

  16. Evidenza di segnale • Per n> 6 si passa da limiti superiori a intervalli di confidenza per s • Per ottenere un livello di falsi segnali inferiore all’1% con b = 3 è richiesto n ≥ 9 FC: Intervalli @90% C.L., b = 3 s n C. Bloise- 2 ottobre 2007

  17. Dal Report su Chernobyl • n = 19  [15,24] 68% C.L. ; [12.5,27.5] 90% C.L.; [11,29] 95% C.L. indicativo della precisione del numero atteso o sovrafluttuazione di 2s ? • Intervalli di confidenza, C.L. a = 0.68, limiti superiori per a = 0.90 • n = 22 b = 6.78 [10.6, 20.5] b= 11.7-2.5+3.1 [5.7, 15.6] • n = 7 b = 4.87 < 7.6 b= 8.4< 4.2 • n = 0 b = 2.59 < 0.1 b= 4.5 --- C. Bloise- 2 ottobre 2007

  18. Trattamento Bayesiano • L’approccio alternativo proposto dagli statisti è quello di considerare le grandezze da determinare variabili, alla stregua delle quantità misurate • Assunzione insoddisfacente per molti • Il processo di misura è quindi schematizzabile in termini di estrazione della p.d.f. delle grandezze da determinare a partire dalla p.d.f. delle variabili misurate • L’operazione presuppone l’introduzione a priori della p.d.f. delle grandezze P(m) • Anche la necessità di introdurre P(m) sembra insoddisfacente per l’arbitrarietà della scelta • Da un altro punto di vista questo sembra praticamente inevitabile • La dipendenza del risultato dalla p.d.f. introdotta a priori va comunque studiata e presentata C. Bloise- 2 ottobre 2007

  19. Intervalli credibili • Seguendo l’approccio bayesiano si arriva a definire gli intervalli di credibilità [m-,,m+] per le grandezze misurate, corrispondenti ad un livello di confidenza a, invertendo l’equazione rn costante di normalizzazione • P(m) uniforme: tutti i valori di m hanno la stessa credibilità a priori • P(ln(m)) uniforme  P(m)1/m : tutti i valori di m hanno la stessa credibilità a priori se sono della stessa scala, all’aumentare della scala diventano proporzionalmente più improbabili C. Bloise- 2 ottobre 2007

  20. Intervalli credibili – prior uniforme Se n=0 = x m m m Posterior P(m) P(0 events|m) (Likelihood) Prior: uniform • 3P(m ) dm= 0.95 Stesso limite superiore del caso frequentista 0 C. Bloise- 2 ottobre 2007

  21. Intervalli credibili, dipendenza da b • Se n=0 il limite superiore non dipende da b • 1.-s+ = a  s+ = -ln( 1.- a ) • s+ = 2.3 @ 90% C.L. • s+ = 3.0 @ 95% C.L. • s+ = 4.6 @ 99% C.L. • Riflette il fatto che in questo caso sappiamo precisamente che il valore ottenuto nb = 0 Prior: uniform C. Bloise- 2 ottobre 2007

  22. Intervalli credibili – prior  1/m Se n=0 = x m m m Posterior P(m) P(0 events|m) (Likelihood) Prior: uniform in ln m • 3P(m ) dm» 0.95 0 C. Bloise- 2 ottobre 2007

  23. m Intervalli di confidenza usando le likelihood • Si utilizzano i valori della grandezza da misurare corrispondenti a log(L) = log(LMAX) – ½ : 68% C.L. log(L) = log(LMAX) – 1.35 : 95% C.L. • Se n = 5  m = 5.0-1.9+2.6 @ 68% C.L. C. Bloise- 2 ottobre 2007

  24. Il caso di più parametri • Si fissa un parametro, b, e si trova l’intervallo per a usando ln L=-½ • Si fissa a, e si trova l’intervallo per b usando ln L=-½ • Il rettangolo individuato è relativo a un C.L. 0.682=46% • L’ellisse tangente è relativa a un C.L. a = 39% L(a,b) • In generale le curve di uguale likelihood L circoscrivono una regione nello spazio dei parametri relativa ad un C.L. a dato da P(2 ,N) = a, con 2= 2ln L e N numero di parametri b a C. Bloise- 2 ottobre 2007

  25. Trattamento delle sistematiche • Si ripete la costruzione degli intervalli utilizzando la poissoniana o la funzione di verosimiglianza, likelihood, convoluta con il prodotto delle gaussiane che tengono conto delle incertezze sul valore del fondo e delle sistematiche sull’efficienza nella selezione del segnale C. Bloise- 2 ottobre 2007

  26. Effetto degli errori sistematici C. Bloise- 2 ottobre 2007

  27. Ricerca di eventi Ksp0p0p0 • n = 4 b = 3.2±1.5 • Db = 0 m < 5.3, 90% C.L. • Db/b = 0.4 m < 5.8, 90% C.L. • Previsto nel Modello Standard con frequenza 2/109 in quanto può avvenire solo attraverso processi che violano CP • Il fondo è costituito da Ksp0p0 che è150 milioni di volte più frequente C. Bloise- 2 ottobre 2007

  28. Ricerca di eventi tmg a Belle • b = 13.9-4.8+6.0n=10 • Db = 0 m < 3.3, 90% C.L. • Db/b = 0.4 m < 3.6, 90% C.L. • Usando la funzione di verosimiglianza Belle ha pubblicato un limite leggermente migliore, corrispondente a m < 2.2, 90% C.L. • Decadimento vietato nel Modello Standard ma possibile in Modelli Supersimmetrici, che prevedono la violazione del numero leptonico C. Bloise- 2 ottobre 2007

  29. Il fenomeno delle oscillazioni di particella • Fenomeno quanto-meccanico governato da massa e vita medie delle particelle coinvolte • Analisi che utilizza la funzione di likelihood, L= 1 -(+) A cos(Dms t) C. Bloise- 2 ottobre 2007

  30. Conclusioni • I risultati si vorrebbe compendiassero molteplici aspetti della misura per garantire un confronto semplice e affidabile con altri esperimenti e con le previsioni teoriche • La costruzione degli intervalli di confidenza è cruciale da questo punto di vista. • Diverse procedure sono utilizzate per la definizione degli intervalli di confidenza. Per essere accettabili devono garantire la copertura dei valori compatibili con le variabili misurate al livello di confidenza dichiarato. • Le procedure più comunemente utilizzate vincolano i risultati nella regione fisica • La definizione degli intervalli attraverso le likelihood è ampiamente utilizzata perché permette di includere direttamente dettagli sperimentali e vincoli fisici C. Bloise- 2 ottobre 2007

  31. C. Bloise- 2 ottobre 2007

  32. Χ2 approximation Profile likelihood function 2 log L(b_max …) ≈ Χ2 Chi2 = 2.71 Constant for n given sl su C. Bloise- 2 ottobre 2007

  33. C. Bloise- 2 ottobre 2007

  34. G.Feldman e R.Cousins,Phys.Rev.D,57(1998),3873 • kkkk C. Bloise- 2 ottobre 2007

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