FOURIER-Transformation ein hilfreiches Werkzeug in der digitalen Messtechnik

1. FOURIER-Transformationein hilfreiches Werkzeugin der digitalen Messtechnik Zeit- und Frequenzraum mathematische Grundlagen Anwendungsbeispiele Beitrag zur Lehrveranstaltung 856-150 „PCs zur Messwerterfassung und Messdatenverarbeitung“24. November 2000, J. Theiner

2. EinführungCharakterisierung periodischer Signale Periodisches Signal: Sinus/Cosinus-Funktion = harmonische Welle Amplitude BIAS Periodendauer FOURIER-Transformation und Spektren

3. Periodenlänge  Uo Io Io FOURIER-Transformation und Spektren

4. EinführungDarstellung von Wechselstromgrößen AC = ao.cos(.t + ) AC = ao. ei (.t + )  t Imaginärteil t Realteil FOURIER-Transformation und Spektren

5. EinführungWie kommt man vom Zeigerdiagramm zur Winkelfunktion? FOURIER-Transformation und Spektren

6. AC- Schaltkreis V WechselströmeStrom und Spannung im Wechselstromkreis Amplituden- verhältnis A t  Periodenlänge Periodenlänge FOURIER-Transformation und Spektren

7. Wechselströme der Wechselstromwiderstand - die Impedanz In Wechselstromkreisen gilt für die Beziehung von Spannung UAC und Strom IAC das Ohm‘sche Gesetz, wobei der Widerstand durch eine frequenzabhängige Größe, die Impedanz ZAC, dargestellt wird. Die Impedanz Z bestimmt das Amplitudenverhältnis von Strom und Spannung in einem Messkreis. Die Impedanz Z bewirkt meist auch eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. In der Wechselstromtechnik wird der Leitwert Y, der „Kehrwert“ der Impedanz, fast ebenso häufig verwendet, um die Eigenschaften von Systemen zu beschreiben. FOURIER-Transformation und Spektren

8. Wechselströme komplexe Darstellung von AC-Größen Durch die Darstellung von periodische Signalen UAC und IAC im Frequenzraum können viele Beziehungen vereinfacht modelliert werden. Besonders lassen sich die Impedanz und der Leitwert eines Messkreises durch komplexe Frequenzfunktionen Z() oder Y() beschreiben. In dieser Darstellung zeigt der Realteil den physikalisch messbaren Anteil des Signals zu jeder Zeit t, der Imaginärteil (Blindanteil) hat physikalisch keine Bedeutung. FOURIER-Transformation und Spektren

9. FrequenzdarstellungZeit  Frequenz Periodische Signale können innerhalb ihrer Periodendauer teinen beliebigen Verlauf x(t) haben. Es muss aber immer gelten x(t) = x(t + i.t). Grundsätzlich lässt sich diese Betrachtung auch auf ein unendlich langes Zeitintervall t erweitern. Jede periodische Funktion lässt sich auch durch ein Frequenzspektrumgleichwertig und vollständig darstellen. Theoretisch lässt sich ein Frequenzspektrum durch einen Funktionensatz fi(t) (i=0..n, n  ) erhalten, die dem Sturm-Liouville-Theorem genügen. Aufgrund der besonderen mathematisch-physikalischen Bedeutung betrachten wir immer die Spektren der harmonischen Funktionen Sinus und Cosinus, die gemeinsam einen vollständigen, orthogonalen Funktionensatz bilden: FOURIER-Transformation und Spektren

10. Frequenzdarstellung x(t) y(f) - die Fourier-Transformation In einer endlichen Periode t, in der n Messwerte in Intervallen  aufgezeichnet sind, kann dieses Signal durch eine Fourier-Reihe der folgenden Form exakt dargestellt werden. ai und bi sind die sogenannten Fourier-Koeffizienten, die sich als Frequenz-spektrum interpretieren lassen. Betrachtet man eine einzelne Wechselstromgröße, so ist die Phasenlage im Frequenzraum meist unbedeutend. Betrachtet man das Verhältnis zweier oder mehrerer AC-Größen, so bekommt die relative Phasenlage Bedeutung. FOURIER-Transformation und Spektren

11. Frequenzdarstellung x(t) y(f) - die Fourier-Transformation FT oder FFT Signalspektrum Signalverlauf Zeit Frequenz FOURIER-Transformation und Spektren

12. Frequenzdarstellung Darstellung von Impedanzspektren Da Impedanzen als komplexe Funktionen zwei Funktionswerte für jede Frequenz haben, kann der Funktionsverlauf nicht vollständig in einem x/y-Diagramm erfasst werden. Spektrale Darstellungen werden im allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse aufgetragen. Die Darstellung von zwei Amplitudenspektren, die den Real- und den Imaginärteil der Impedanz abbilden, wird eher selten genutzt. Große Bedeutung hat die Darstellung im sogenannten BODE-Diagramm, einer Kombination des Spektrums der Magnitude und des Phasenwinkels über einer logarithmischen Frequenzachse. Am häufigsten wird das NYQUIST-Diagramm (Ortskurve) gezeigt. Dabei ist die Spur der Impedanzfunktion in der komplexen Zahlenebene abgebildet, die meist durch Frequenzangaben zu einzelnen Messpunkten ergänzt wird. Für spezielle Auswertungen sind noch andere graphische Darstellungen gebräuchlich. FOURIER-Transformation und Spektren

13. Impedanzverhalteneinfache elektronische Bauelemente Ohm‘scher Widerstand: ein Widerstand R hat nur einen Realteil und führt zu keiner Phasenverschiebung. Kondensator: Eine Kapazität C hat als Impedanz keinen Realteil. Für die Kombination von Impedanzen und Leitwerten gelten dieselben Gesetze wie für Widerstände im Gleichstromkreis. Mehrere Baugruppen mit Einzelimpedanzen Zi in Serienschaltung summieren sich zu einer Gesamtimpedanz Z. Mehrere Elemente mit Leitwerten Yi in Parallelschaltung summieren sich zu einem Gesamtadmittanz Y. FOURIER-Transformation und Spektren

14. Realteil von Z -Imaginärteil von Z Impedanzverhalten ... und daraus aufgebauter SchaltgruppenSerienschaltung von R und C Bei niedrigen Frequenzen geht der Betrag der Impedanz gegen unendlich. Für hohe Frequenzen geht der Beitrag der Kapazität gegen Null. Die Impedanz nähert sich dem Verhalten eines Ohm‘schen Widerstandes. Diese Schaltung eignet sich als Ersatzschaltbild für die Anordnung bei einer Leitfähigkeitsmessung. R stellt dabei den Elektrolytwiderstand dar. Die dabei eingesetzten Frequenzen sind so zu wählen, dass der Betrag 1/.C gegenüber der Messgröße R vernachlässigbar ist typische Messfrequenzen: 1 bis 10 kHz FOURIER-Transformation und Spektren

15. Impedanzverhalten ... und daraus aufgebauter SchaltgruppenParallelschaltung von R und C Das Frequenzverhalten der Parallelschaltung ist deutlich komplizierter. FOURIER-Transformation und Spektren

16. FOURIER-Transformation und Spektren

17. Uo Io IB UB FOURIER-Transformation und Spektren

18. Messtechnik • Zweielektrodentechnikwird gern verwendet, um Beiträge und Störungen durch elektronische Schaltungzu vermeiden. • Dreielektrodentechnikmit schnellen und phasentreuen Potentiostaten • direkte Aufzeichnung von U vs. t und I vs. t oder • Auswertung der LISSAJOU-Darstellungenvor allem für niedrige Frequenzen bis zu einigen Hz, mit Oszilloskop oder schneller Messwerterfassung auch für höhere Frequenzen möglich • Widerstandsmessbrücken • Phasensensitive Detektoren (Lockin-Amplifier) • Digitale Messanlagen auf Basis von FOURIER-Transformations-Methoden FOURIER-Transformation und Spektren

19. Messtechnischer Ansatz Messzelle/ Potentiostat Sollsignal Usoll oderIsoll Systemantwort IAC oder UAC Ermittlung der Impedanz oder des Leitwertes analoge Schaltung digitale Verarbeitung FOURIER-Transformation und Spektren

20. Störfrequenz ca. 1/10 der Signalfrequenz und 1/5 der Amplitude (ein ähnliches Bild ergibt sich auch für eine DC-Drift) FOURIER-Transformation und Spektren

21. Störfrequenz ca. 10-fache Signalfrequenz und 1/10 der Amplitude FOURIER-Transformation und Spektren

22. Störsignale in Form von „weißem Rauschen“ ca. 2 % der Spannungsamplitude,ca. 20 % der Stromamplitude FOURIER-Transformation und Spektren

23. doppelt logarithmisches FFT-Spektren des Stromsignales mit niedriger Störfrequenz, höherer Störfrequenz und weißem Rauschen FOURIER-Transformation und Spektren

24. komplexe Funktionensätze Eine Beziehung zwischen komplexen Funktionen A und B kann durch eine sogenannte Transferfunktio HAB beschrieben werden. Die Transferfunktion ist mathematisch identisch mit der Impedanz oder dem Leitwert. Die Ergebnisse der FOURIER-Transformation können daher direkt in Form der Transferfunktion zur Darstellung der Impedanz herangezogen werden. FOURIER-Transformation und Spektren

25. Häufige Darstellungen in der Messtechnik In der Akustik und Wechselstrommesstechnik sind logarithmische Darstellungen weit verbreitet. Für die Frequenzachse wird der Begriff Oktave für die Verdoppelung der Frequenz verwendet (wie auch im Sprachgebrauch der Musik). Die Amplitudenachse (Magnitude, Real- oder Imaginärteil oder einer AC-Größe) wird eine Angabe in dB (Dezibel) verwendet. Dezibel skaliert das Verhältnis einer Leistung in Relation zu einem Bezugszustand. OHM´sches Gesetz: FOURIER-Transformation und Spektren

26. Messung ganzer Spektren Mit Hilfe der FOURIER-Transformation (im Allgemeinen FFT) können ganze Impedanzspektren innerhalb eines Messzyklus erfasst werden. Voraussetzung ist ein Funktionsgeneratorsignal, das im untersuchten Frequenzbereich für jeden Messpunkt eine definierte Signalamplitude liefert (Breitbandsignal). Es ist zu beachten, dass die FFT-Messpunkte in einer linearen Skala als Vielfache der niedrigsten erfassten Frequenz f0 erhalten werden. Da die Impedanzspektren im Allgemeinen über einer logarithmischen Frequenzachse ausgewertet werden, ergibt sich eine sehr ungleiche Verteilung der Messpunkte Beispiel: • Messung von N=1.024 Punkten in 400 msec • f0=2,5 Hz und fmax=N/2*f0 = 1.280 Hz • wegen eines analogen Tiefpassfilters (Anti Aliasing Filter) am Messeingang kann das Spektrum nur über 400 Frequenzpunkte ausgewertet werden: • erste Dekade bis 10 Hz: 4 Messwertezweite Dekade bis 100 Hz: 36 Messwertedritte Dekade bis 1000 Hz: 360 Messwerte FOURIER-Transformation und Spektren

27. Messung ganzer Spektren Um ein FFT-Messgerät anzusteuern, ist eine Funktion sinnvoll, bei der das Sinus-Signal für jeden registrierten Frequenzpunkt mit der gewünschten Amplitude generiert. Eine solche Funktion kann nur digital generiert werden, steht aber fallweise auf ein Messgerät abgestimmt zur Verfügung. Bei quasi-zufälliger Gleichverteilung der Signalamplituden im Frequenzspektrum spricht man von „weißem Rauschen“ (white noise, random noise). Ein solches Signal lässt sich rein rechnerisch erzeugen, indem die Signalamplituden zu jedem diskreten Zeitpunkt durch einen Zufallszahlengenerator im gewünschten Amplitudenintervall erzeugt werden. Auch analoge Rauschgeneratoren sind nach Stand der Technik verfügbar. Auch ein „Gerätebrumm“ hat oft die Charakteristik eines Rauschens, doch werden dabei durch spezifische Trägheiten des Gerätes „Färbungen“, das heißt starke Frequenzabhängigkeiten der Amplitude erzeugt. FOURIER-Transformation und Spektren

28. Signalspektren Aus der Spektroskopie kennen wir die Beziehung zwischen Frequenz und Energie, die allgemein gültig ist. Neben „monochromatischen“ sind „weiße“ Signale von Bedeutung, die aus vielen Einzelfrequenzen etwa gleicher Amplitude zusammengesetzt sind. Aus der Akustik kommt in die Wechselstrommesstechnik die Bezeichnung einer rosa (pink) Frequenzverteilung bei Breitbandsignalen. Die dabei gewählte Amplitudenverteilung im Frequenzspektrum gewährleistet, dass bei jeder Frequenz die gleiche Leistungsdichte „angeboten“ wird. Die Signalamplitude nimmt dabei um 3 dB pro Oktave ab. FOURIER-Transformation und Spektren

29. FFT-Spektrum von „white noise“ Amplitudenverlauf von „pink noise“ mit -3 dB pro Oktave FOURIER-Transformation und Spektren

30. Andere Breitbandfunktionen Eine gängige Methode, eine definierte Frequenzverteilung mit Hilfe eines Sinus-Generators zu erzeugen, ist eine Frequenzmodulation. Eine „rosa“ (pink) Amplitudenverteilung ist auch hier möglich und kann gut demonstriert werden: FOURIER-Transformation und Spektren