Black scholes
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 26

נוסחת ה – Black & Scholes והיווניות PowerPoint PPT Presentation


  • 112 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

נוסחת ה – Black & Scholes והיווניות. נוסחת ה – B & S היווניות לגדר עם יווניות. 1.נוסחת ה – Black & Scholes. מדידת הסיכון, הנה הכרחית על מנת לאמוד בכמה שיותר מדויק את מחירם של נכסים פיננסים בכלל ואופציות בפרט.

Download Presentation

נוסחת ה – Black & Scholes והיווניות

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Black scholes

נוסחת ה – Black & Scholesוהיווניות

נוסחת ה – B & S

היווניות

לגדר עם יווניות


1 black scholes

1.נוסחת ה – Black & Scholes

מדידת הסיכון, הנה הכרחית על מנת לאמוד בכמה שיותר מדויק את מחירם של נכסים פיננסים בכלל ואופציות בפרט.

נוסחת ה – Black and Scholes (1973) הנה נוסחה לתמחור אופציות אשר כוללת באופן אקספליציטי את הסיכון של נכס הבסיס הבא לידי ביטוי בתנודתיות המחיר.

נוסחת ה- B&S הנה למעשה הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית החלקית (PDE) הבאה:


1 black scholes1

1.נוסחת ה – Black & Scholes

  • כאשר:

    • V – מחיר החוזה (אופציה)

    • σ – סטיית תקן (סיכון)

    • S – מחיר נכס הבסיס

    • r – ריבית חסרת סיכון


1 black scholes2

1.נוסחת ה – Black & Scholes

תזכורת: הנוסחה הזאת נגזרת (בשלב ראשון) מיישום Ito lemma על המשוואה הסטוכסטית המתארת את הדינמיקה של מחיר נכס הבסיס. בשלב השני, מייצרת תיק "אדיש לסיכון".

משוואת ה – SDE

מחיר החוזה


Ito s lemma

Ito’s lemma

ניישם את הרחבת Taylor על f(x,t)


1 black scholes3

1.נוסחת ה – Black & Scholes

  • החלק הראנדומלי "מנוטרל" ע"י יצירה של התיק הבא:

    • מכירה של החוזה (אופציה)

    • רכישה של δ יח' נכס בסיס.

    • התיק אדיש לסיכון, כלומר התשואה על התיק שווה להשקעה בנכס חסר סיכון:

    • ולכן:


1 black scholes4

1.נוסחת ה – Black & Scholes

נמשיך:

אדישות לסיכון (בנינו תי חסר סיכון)


1 black scholes5

1.נוסחת ה – Black & Scholes

  • בשורה התחתונה אנחנו מקבלים את ה- PDE

  • התנאים לפתרון:

  • נקודה חשובה:במקרה של B&S, קיים פתרון אנאליטי למשוואה מעל. אולם, תחת הנחות מסובכות יותר, יש צורך לפתור את משוואת ה-PDE ע"י שיטות נומריות.


1 black scholes6

1.נוסחת ה – Black & Scholes

  • נסכם:

    • הפתרון של ה – PDE הנו נוסחת ה - B&S.

    • נוסחת ה – B&S מבוססת על ההנחה של "אדישות לסיכון" (Risk Neutrality). מבחינה הסתברותית, "אדישות לסיכון" משפיעה על מיקומה של ההתפלגות מחיר נכס הבסיס בזמן T. אולם, אינה משפיעה על הסיכון המגולם בהתפלגות זו!

    • משוואת ה – PDE מגלמת למעשה את כל הגורמים המשפיעים על מחיר של אופציה.

עבור Put


Black scholes

2. היווניות

  • משוואת ה – PDE מגלמת למעשה את כמעט כל הגורמים המשפיעים על מחיר של אופציה.

  • נגדיר:

  • נכתוב את משוואת ה – PDE

    איזה עוד גורם חסר?


Black scholes

2. היווניות

נוסחת ה – B&S מאפשרת לנו לחשב את האותיות היווניות. למעשה:

לבית : לחשב את היווניות עבור Put


Black scholes

2. היווניות

הגורם אחד שלא נכלל (אך לא פחות חשוב) הוא התנודתיות של נכס הבסיס. שכן ה – B&S תלוי ישירות במתנודתיות זו. ולכן נגדיר את היווניה הבאה:

גורם נוסף הוא הריבית:

לסיכום, האותיות היווניות מאפיינות את הגורמים המשפיעים על מחירם של אופציות. קרי: זמן,מחירנכס הבסיס, תנודתיותוריביתחסרתסיכון.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - דלתא

  • הדלתא של אופציה

    • אומדת את רגישות מחיר האופציה לשינויים במחיר נכס הבסיס.

    • אומדת כמה יחידות של נכס בסיס עלי להחזיק על מנת לגדר את המכירה של אופציה.

    • אומדת את ההסתברות שהאופציה תפקע בתוך הכסף.

    • עבור Callהדלתא הנה בין 0 ל-1. עבור Put הדלתא הנה בין 0 ל - -1.

      • הערך של אופציה לא משתנה יותר מהר משווי נכס הבסיס.

      • עבור call, שווי האופציה עולה או יורד בהתאמה למחיר נכס הבסיס.

    • עבור Call, הדלתא קרובה ל - 0.5 לאופציות שבכסף (ATM), 1 לתוך הכסף (ITM), ו-0 לאופ' שמחוץ לכסף (OTM).


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - דלתא


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - דלתא

  • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality)

    • Delta Neutrality (DN), משמעה שהדלתא הכוללת של תיק עם אופציות ונכס הבסיס, שווה לאפס.

    • הדלתא חשובה למוסדיים אשר מנהלים תיקי אופציות עם מגוון רחב של אסטרטגיות.

      דוגמא:

      • אסטרטגיה:

        • רכישה של Call בשער מימוש K1

        • רכישה של Put בשער מימוש K2.

        • K2<K1

      • נתונים:

        • מחיר נכס הבסיס: 44$

        • σ =15%

        • r =6%

        • K1=50$ ו-K2=40$

K2

K1


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - דלתא

  • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality)

    דוגמא:

    • נחשב את הדלתא עבור call:

    • עבור Put:


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - דלתא

  • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality)

    דוגמא:

    • היחס בין הדלתאות:-0.11/0.19=-0.58

    • כלומר, הפוזיציה הנה DN אם עבור כל 100 אופציות Put נכתבים (נמכרים) כ-58 כתבי אופציות Call.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - דלתא

  • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality)

    • אסטרטגיות DN הנן:

      • אדישות לכיוון התנודה של נכס הבסיס.

      • תלויות בנודתיות הכוללת של מחיר נכס הבסיס.

      • כדי להשאר DN יש צורך לעדכן את הרכב התיק.

        איך מודדים את תכיפות עדכון התיק?


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - גמא

  • הגמא של אופציה

    • הנגזרת השניה של מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס.

    • הנגזרת הראשונה של הדלתא ביחס למחיר נכס הבסיס.

    • הגמא נקראת גם "הקמירות" ( curvature) של אופציה.

    • גמא מודד את התכיפות בא תיק האופציות מתעדכן על מנת לשמר על פוזיציית DN.

    • עבור K נתון, הגמא של Put = לגמא של Call.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - גמא

  • הגמא של אופציה

    • דוגמא:

      • אסטרטגיה:

        • למכור כ-10 אלף אופ' call

      • נתונים:

        • מחיר של מניה עומד על 50$.

        • סטיית התקן = 38%

        • ריבית חסרת סיכון = 5%

        • מחיר של call ל – 5 שבועות עד הפקיעה הנו 2.47$

        • הדלתא של האופציה הנה 0.5625.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - גמא

  • הגמא של אופציה

    • דוגמא:

      • כדי להיות DN, מוכר האופ' קונה 10000*0.5626=5625 מניות.

      • אחרי שבוע (לאחר שנותרו 4 שבועות), מחיר המניה עלה ב-50 סנטים, והדלתא עלתה ב - 0.0103.

        • כלומר, צריך לרכוש כ-103 מניות על מנת להשאר DN.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - גמא

  • הגמא של אופציה

    • ככלל:

      • אם הדלתא של אופציה שווה ל – x% והגמה שווה ל – y%. אז עבור 1$ עליה במחיר נכס הבסיס, הדלתא תגדל ב – y%. כלומר הדלתא המעודכנת הנה (x%+y%).

      • ככל שהאופציה מתקרבת לפקיעה הגמא נהיית גבוהה יותר עבור אופציות ATM ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ITM ו-OTM.

      • ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס נמוכה יותר, הגמא נהיית גבוהה יותר עבור אופציות ATM ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ITM ו-OTM.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - גמא

http://www.theoptionsguide.com/gamma.aspx


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - תטא

  • התטא של אופציה

    • הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לזמן.

    • מודדת את השחיקה לאורך זמן של מחיר האופציה.

    • לאופציות call התטא הנה שלילית. עבור אופ' Put, התטא שלילית למעט עבור אופציות שהנן עמוק בתוך הכסף.

    • ממשוואת ה – put call parity , הערך של אופציית callמורכב מ – 3 חלקים:

      • ערך פנימי (S-K)

      • ערך הריבית (K-Ke-rT)

      • ערך ביטוח P(K)


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - וגה

  • הוגה של אופציה

    • הוגה של אופציה הנה הנגזרת של מחיר האופציה ביחס לסטיית התקן.

    • הוגה חיובית עבור אופציות בלונג (Call ו – Put).

    • ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס גבוהה יותר, מחיר נכס הבסיס גבוה יותר. למשל: אופציה עם וגה של 0.3 תעלה בערכה ב-0.3% עבור כל עליה של 1% בתנודתיות של נכס הבסיס.


Black scholes

3. לגדר עם יווניות - רו

הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לריבית.

אינה משמעותית עבור רוב האופציות למעט אופציות בעלות לטווח לפידיון ארוך במיוחד.


  • Login