נוסחת ה – Black & Scholes והיווניות

נוסחת ה – Black & Scholesוהיווניות נוסחת ה – B & S היווניות לגדר עם יווניות

1.נוסחת ה – Black & Scholes מדידת הסיכון, הנה הכרחית על מנת לאמוד בכמה שיותר מדויק את מחירם של נכסים פיננסים בכלל ואופציות בפרט. נוסחת ה – Black and Scholes (1973) הנה נוסחה לתמחור אופציות אשר כוללת באופן אקספליציטי את הסיכון של נכס הבסיס הבא לידי ביטוי בתנודתיות המחיר. נוסחת ה- B&S הנה למעשה הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית החלקית (PDE) הבאה:

1.נוסחת ה – Black & Scholes • כאשר: • V – מחיר החוזה (אופציה) • σ – סטיית תקן (סיכון) • S – מחיר נכס הבסיס • r – ריבית חסרת סיכון

1.נוסחת ה – Black & Scholes תזכורת: הנוסחה הזאת נגזרת (בשלב ראשון) מיישום Ito lemma על המשוואה הסטוכסטית המתארת את הדינמיקה של מחיר נכס הבסיס. בשלב השני, מייצרת תיק "אדיש לסיכון". משוואת ה – SDE מחיר החוזה

Ito’s lemma ניישם את הרחבת Taylor על f(x,t)

1.נוסחת ה – Black & Scholes • החלק הראנדומלי "מנוטרל" ע"י יצירה של התיק הבא: • מכירה של החוזה (אופציה) • רכישה של δ יח' נכס בסיס. • התיק אדיש לסיכון, כלומר התשואה על התיק שווה להשקעה בנכס חסר סיכון: • ולכן:

1.נוסחת ה – Black & Scholes נמשיך: אדישות לסיכון (בנינו תי חסר סיכון)

1.נוסחת ה – Black & Scholes • בשורה התחתונה אנחנו מקבלים את ה- PDE • התנאים לפתרון: • נקודה חשובה:במקרה של B&S, קיים פתרון אנאליטי למשוואה מעל. אולם, תחת הנחות מסובכות יותר, יש צורך לפתור את משוואת ה-PDE ע"י שיטות נומריות.

1.נוסחת ה – Black & Scholes • נסכם: • הפתרון של ה – PDE הנו נוסחת ה - B&S. • נוסחת ה – B&S מבוססת על ההנחה של "אדישות לסיכון" (Risk Neutrality). מבחינה הסתברותית, "אדישות לסיכון" משפיעה על מיקומה של ההתפלגות מחיר נכס הבסיס בזמן T. אולם, אינה משפיעה על הסיכון המגולם בהתפלגות זו! • משוואת ה – PDE מגלמת למעשה את כל הגורמים המשפיעים על מחיר של אופציה. עבור Put

2. היווניות • משוואת ה – PDE מגלמת למעשה את כמעט כל הגורמים המשפיעים על מחיר של אופציה. • נגדיר: • נכתוב את משוואת ה – PDE איזה עוד גורם חסר?

2. היווניות נוסחת ה – B&S מאפשרת לנו לחשב את האותיות היווניות. למעשה: לבית : לחשב את היווניות עבור Put

2. היווניות הגורם אחד שלא נכלל (אך לא פחות חשוב) הוא התנודתיות של נכס הבסיס. שכן ה – B&S תלוי ישירות במתנודתיות זו. ולכן נגדיר את היווניה הבאה: גורם נוסף הוא הריבית: לסיכום, האותיות היווניות מאפיינות את הגורמים המשפיעים על מחירם של אופציות. קרי: זמן,מחירנכס הבסיס, תנודתיותוריביתחסרתסיכון.

3. לגדר עם יווניות - דלתא • הדלתא של אופציה • אומדת את רגישות מחיר האופציה לשינויים במחיר נכס הבסיס. • אומדת כמה יחידות של נכס בסיס עלי להחזיק על מנת לגדר את המכירה של אופציה. • אומדת את ההסתברות שהאופציה תפקע בתוך הכסף. • עבור Callהדלתא הנה בין 0 ל-1. עבור Put הדלתא הנה בין 0 ל - -1. • הערך של אופציה לא משתנה יותר מהר משווי נכס הבסיס. • עבור call, שווי האופציה עולה או יורד בהתאמה למחיר נכס הבסיס. • עבור Call, הדלתא קרובה ל - 0.5 לאופציות שבכסף (ATM), 1 לתוך הכסף (ITM), ו-0 לאופ' שמחוץ לכסף (OTM).

3. לגדר עם יווניות - דלתא

3. לגדר עם יווניות - דלתא • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality) • Delta Neutrality (DN), משמעה שהדלתא הכוללת של תיק עם אופציות ונכס הבסיס, שווה לאפס. • הדלתא חשובה למוסדיים אשר מנהלים תיקי אופציות עם מגוון רחב של אסטרטגיות. דוגמא: • אסטרטגיה: • רכישה של Call בשער מימוש K1 • רכישה של Put בשער מימוש K2. • K2<K1 • נתונים: • מחיר נכס הבסיס: 44$ • σ =15% • r =6% • K1=50$ ו-K2=40$ K2 K1

3. לגדר עם יווניות - דלתא • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality) דוגמא: • נחשב את הדלתא עבור call: • עבור Put:

3. לגדר עם יווניות - דלתא • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality) דוגמא: • היחס בין הדלתאות:-0.11/0.19=-0.58 • כלומר, הפוזיציה הנה DN אם עבור כל 100 אופציות Put נכתבים (נמכרים) כ-58 כתבי אופציות Call.

3. לגדר עם יווניות - דלתא • פוזיציית דלתא ניטרלית (Delta Neutrality) • אסטרטגיות DN הנן: • אדישות לכיוון התנודה של נכס הבסיס. • תלויות בנודתיות הכוללת של מחיר נכס הבסיס. • כדי להשאר DN יש צורך לעדכן את הרכב התיק. איך מודדים את תכיפות עדכון התיק?

3. לגדר עם יווניות - גמא • הגמא של אופציה • הנגזרת השניה של מחיר האופציה ביחס למחיר נכס הבסיס. • הנגזרת הראשונה של הדלתא ביחס למחיר נכס הבסיס. • הגמא נקראת גם "הקמירות" ( curvature) של אופציה. • גמא מודד את התכיפות בא תיק האופציות מתעדכן על מנת לשמר על פוזיציית DN. • עבור K נתון, הגמא של Put = לגמא של Call.

3. לגדר עם יווניות - גמא • הגמא של אופציה • דוגמא: • אסטרטגיה: • למכור כ-10 אלף אופ' call • נתונים: • מחיר של מניה עומד על 50$. • סטיית התקן = 38% • ריבית חסרת סיכון = 5% • מחיר של call ל – 5 שבועות עד הפקיעה הנו 2.47$ • הדלתא של האופציה הנה 0.5625.

3. לגדר עם יווניות - גמא • הגמא של אופציה • דוגמא: • כדי להיות DN, מוכר האופ' קונה 10000*0.5626=5625 מניות. • אחרי שבוע (לאחר שנותרו 4 שבועות), מחיר המניה עלה ב-50 סנטים, והדלתא עלתה ב - 0.0103. • כלומר, צריך לרכוש כ-103 מניות על מנת להשאר DN.

3. לגדר עם יווניות - גמא • הגמא של אופציה • ככלל: • אם הדלתא של אופציה שווה ל – x% והגמה שווה ל – y%. אז עבור 1$ עליה במחיר נכס הבסיס, הדלתא תגדל ב – y%. כלומר הדלתא המעודכנת הנה (x%+y%). • ככל שהאופציה מתקרבת לפקיעה הגמא נהיית גבוהה יותר עבור אופציות ATM ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ITM ו-OTM. • ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס נמוכה יותר, הגמא נהיית גבוהה יותר עבור אופציות ATM ונמוכה יותר עבור אופציות שהנן ITM ו-OTM.

3. לגדר עם יווניות - גמא http://www.theoptionsguide.com/gamma.aspx

3. לגדר עם יווניות - תטא • התטא של אופציה • הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לזמן. • מודדת את השחיקה לאורך זמן של מחיר האופציה. • לאופציות call התטא הנה שלילית. עבור אופ' Put, התטא שלילית למעט עבור אופציות שהנן עמוק בתוך הכסף. • ממשוואת ה – put call parity , הערך של אופציית callמורכב מ – 3 חלקים: • ערך פנימי (S-K) • ערך הריבית (K-Ke-rT) • ערך ביטוח P(K)

3. לגדר עם יווניות - וגה • הוגה של אופציה • הוגה של אופציה הנה הנגזרת של מחיר האופציה ביחס לסטיית התקן. • הוגה חיובית עבור אופציות בלונג (Call ו – Put). • ככל שהתנודתיות של נכס הבסיס גבוהה יותר, מחיר נכס הבסיס גבוה יותר. למשל: אופציה עם וגה של 0.3 תעלה בערכה ב-0.3% עבור כל עליה של 1% בתנודתיות של נכס הבסיס.

3. לגדר עם יווניות - רו הנגזרת הראשונה של מחיר האופציה ביחס לריבית. אינה משמעותית עבור רוב האופציות למעט אופציות בעלות לטווח לפידיון ארוך במיוחד.

נוסחת ה – Black & Scholes והיווניות