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Pour en finir avec l’infini

Pour en finir avec l’infini. Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2) 6/6/6. Symbole 1 : cycle. Cycles familiers. Cycles naturels des astres (jours, mois, ans) Cycles mécaniques des horloges Cycles biologiques des générations

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Pour en finir avec l’infini

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Presentation Transcript

  1. Pour en finir avec l’infini Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2) 6/6/6

  2. Symbole 1 : cycle

  3. Cycles familiers • Cycles naturels des astres (jours, mois, ans) • Cycles mécaniques des horloges • Cycles biologiques des générations • Cycles scolaires ou universitaires • Cycles de conférences

  4. Cycles en mathématiques • Cinématique : rotation autour d’un point • Géométrie : paramétrage angulaire du cercle • Topologie : revêtement universel du cercle • Algèbre : générateur du groupe des entiers • Algorithmique : instruction de boucle

  5. Automate

  6. Symbole 2 : spirale

  7. Symbole 3 : point de fuite

  8. Fondements de l’analyse L’inverse 1/x échange 0 et l’infini : 1,2,3,…,n,… devient 1,1/2,1/3,…,1/n,… (infiniment petit = infiniment grand) Série infinie dont la somme est finie : 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2n + … = 1 (paradoxe de Zénon)

  9. Symbole 4 : abyme

  10. Dénombrements • Combien y a-t-il d’étoiles ? • Combien y a-t-il de livres ? • Combien y a-t-il de points ? • Combien y a-t-il de nombres ?

  11. L’hôtel de Hilbert L’hôtel est complet, mais il est infini. Arrive un client. Arrive un autocar infini. Arrive une infinité d’autocars infinis.

  12. Il faut passer partout :

  13. Mauvaise réponse :

  14. Bonne réponse :

  15. Autre bonne réponse :

  16. Arithmétique infinie Soit N un cardinal infini : N + 1 = N 2 x N = N + N = N N2 = N x N = N 2N > N (diagonalisation de Cantor)

  17. Représentation des réels Un nombre réel a une infinité de décimales. Exemple : 3,141592653589793238462… Idem en base 2 (arithmétique des ordinateurs). Exemple : 11,00100100001111110110… Donc il y a plus de nombres réels que d’entiers.

  18. Il faut écrire toutes les suites :

  19. Une proposition :

  20. Diagonalisation de Cantor :

  21. Cette suite n’apparaît pas :

  22. Autres diagonalisations Logique : énoncés vrais mais indémontrables Théorème d’incomplétude de Goedel Calcul : problèmes indécidables Machines de Turing Théorie de la complexité algorithmique

  23. La Bibliothèque de Babel (Borges) La Bibliothèque contient tous les livres. Les livres ont tous la même taille, mais : Comment les numéroter, les cataloguer ? La bibliothèque de Babel est-elle infinie ? A quoi sert une telle bibliothèque ?

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