PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

1. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

2. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? • Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • Co si o tom myslel • Aristoteles • Descartes • Newton • Poincaré • Mandelbrot • Kdo ví . . .

3. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • Který prostor máme na mysli? • náš přirozený prostor, ve kterém žijeme • od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie • prostor ve fysice • … vlastně prostoročas je 3 + 1 • … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice • … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole

4. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • A je vůbec trojrozměrný ? • Nebo je 3 + X? • Možnosti: • vnoření do vyšší dimense • "svinuté dimense" • opravdu jiná kartézská dimense • Který prostor máme na mysli? • náš přirozený prostor, ve kterém žijeme • od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie • prostor ve fysice • … vlastně prostoročas je 3 + 1 • … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice • … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole

5. ve fysice otázka nejtěžší, špatně definovaná PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? Jak je ve fysice definována dimense prostoru ? • Který prostor máme na mysli? • náš přirozený prostor, ve kterém žijeme • od toho odvozený prostor jako filosofická kategorie • prostor ve fysice • … vlastně prostoročas je 3 + 1 • … nesmí nás omýlit formální přístup k prostorům všeho druhu v analyt. mechanice, statistice, kvantové fysice • … prostorové souřadnice jsou privilegované i v kvantovém kontextu: tvar Lagrangiánu, pozorovatelných; kalibrační pole • A je vůbec trojrozměrný ? • Nebo je 3 + X? • Možnosti: • vnoření do vyšší dimense • "svinuté dimense" • opravdu jiná kartézská dimense

6. PROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

7. CO KDYBY NEBYLPROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ?

8. CO KDYBY NEBYLPROČ JE PROSTOR TROJROZMĚRNÝ? NEWTONŮV

9. ČÁST I.VYMEZENÍ NAŠÍ OTÁZKY • Přirozený pojem prostorové dimense • Různé geometrické definice dimense používané ve fysice • Newtonův prostor jako limita v (c G) schématu • Newtonův prostor jako strukturní rámec meso světa • Kaluza – Klein a dál • Vnoření do vícerozměrného prostoru • Flatlandy všeho druhu

10. Přirozený pojem prostorové dimense • Přirozený svět je trojrozměrný • Žijeme na Zemi: jdu na čtyři světové strany, nad sebou mám zenit, pod nohama nadir. • Tak i v knize Genese: Původní chaos se rozdělí na Zemi a Nebe. Abelův dým stoupá vzhůru, Kainův se rozlévá při zemi. • Jak se Dasein vztahuje ke světu: Od sebe postupuje k horizontu (radiálně), přitom volí směr vpravo-vlevo a nahoru-dolů. • Rozumíme čarám a plochám: uzavřená plocha má vnitřek a vnějšek, jako měchy na víno. • Tělesným smyslem ovládáme tři rotační osy: Valentovy vruty na snowboardu. • Vestavitelství: prostor k prodlévání vymezen rovinami stěn průčelních a bočních, stropů a podlah. Jejich průnik vytváří kouty … předobraz Descartova trojhranu . • Co do přirozeného světa nepatří • Homogenita prostoru, která znamená nekonečnost – opak prostoru k pobývání. • Isotropie prostoru: náš přirozený prostor má privilegovaný směr – vertikálu. • Tomu nás naučil až Newton

11. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

12. } ve čtverci DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense • Běžná představa o fysice i mezi fysiky: • úsečka x interval [0,1] • čtverec [x,y] kartézský součin • [0,1][0,1] • Škoda, že to tak není • [0,1] [0,1]  [0,1]Cantor • POSTUP NA PŘÍKLADU • x = 0.7391564428… • y = 0.1564873921… • x1= 0.71359614586743492281… na úsečce Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

13. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense • Běžná představa o fysice i mezi fysiky: • úsečka x interval [0,1] • čtverec [x,y] kartézský součin • [0,1][0,1] • Škoda, že to tak není • [0,1] [0,1]  [0,1]Cantor • Spojitá křivka vyplní čtverec Peano Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

14. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] jeden vektor base jedna dimense čtverec [x,y] kartézský součin [0,1][0,1] dva vektory base dimense = 2 e xe Menger – Urysohn metrické prostory xe + ye' EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE e' Fraktální dimense e

15. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Běžná představa o fysice i mezi fysiky: úsečka x interval [0,1] jeden vektor base jedna dimense čtverec [x,y] kartézský součin [0,1][0,1] dva vektory base dimense = 2 e xe Menger – Urysohn metrické prostory xe + ye' EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE … toto funguje e' Fraktální dimense e

16. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

17. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Různé cesty k definici dimense Bohužel nemáme na ni čas Ta je z přirozeného světa Používané pojmy: sousedství, překryv a pokrytí oddělení, hranice souvislost, spojitost, cesta Menger – Urysohn metrické prostory EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

18. DIMENSE parametrická definice algebraická dimense moduly (vektor. prostory) topologická dimense topologické prostory Menger – Urysohn metrické prostory Různé cesty k definici dimense se sejdou Eukleidovská dimense n n ineárně nezávislých vektorů (vektorový prostor) n ortogonálních směrů (definován skalární součin) n kartézských složek + Pythagorova věta (Eukleidova metrika indukov. skalár. souč.) n (+ 1) nadkoulí se protíná v bodě ("methoda GPS") EUKLEIDOVSKÁ DIMENSE Fraktální dimense

19. Newtonův prostor jako limita Otázku o úloze dimense pojímám ve smyslu ANTROPICKÉHO PRINCIPU Ptáme se, zdaby n-rozměrný svět byl pro nás obyvatelný. Proto stačí pohled na svět přístupný naší zkušenosti. G TOE OTR STR c-1 QMQFT  3 + 1 prostoro-čas v (cG )schématuse jedná o nerelativistickou limitu

20. Newtonův mesosvět • NEWTONOVA KOSMOLOGIE (sekularisovaná varianta) • Vykročení do kosmu: universální gravitační zákon jablko • Most mezi "nebem" a Zemí - jeden ze svorníků novověké vědy • Ptačí perspektiva vede k Newtonově koncepci prostoru • Aplikována na Solární systém (empirická oblast astronauti ) • Vnější horizont Newtonova kosmu • "Oblast vzdálených hvězd" … ty fixují absolutní prostor • Vnitřní horizont Newtonova kosmu • Struktura a nemechanické vlastnosti hmoty • Jemný dech pronikající částicemi látek • … et hypotheses non fingo. Newton alchymista • Pro dnešního člověka je to součást přirozeného světa

21. Jak přidávat prostorové dimense • JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ • Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) • Přidané dimense jsou skryté, svinuté • Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy • Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? • Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) • Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty •  za horizontem Newtonova kosmu

22. Jak přidávat prostorové dimense • JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ • Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) • Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty • Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) • Přidané dimense jsou skryté, svinuté • Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy • Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? • Vnoření do vícerozměrného prostoru (mesosvět) • Čtvrtá dimense velmi populární kolem r. 1900 (Hinton) • Náš prostor je 3D nadrovinou, kterou nemůžeme opustit. • Zato nadpřirozené bytosti snadno intervenují "zvenku". • Jejich lidští spřeženci triviálně vykrádají 3D tresory. • Prosté přidání Eukleidovské dimense V "lidských" měřítcích Newtonova kosmu

23. Jak přidávat prostorové dimense • JE NĚKOLIK MOŽNOSTÍ • Kaluza – Klein a dál (submikrosvět) • Přidané dimense jsou skryté, svinuté • Od Kaluzy přes Rumera po dnešní superstringy • Otázka: proč se na rozlehlé chtějí rozvinout zrovna 3? • Vnoření do vícerozměrného prostoru (megasvět) • Zakřivené prostory, červí díry a jiné exoty • Vnoření do vícerozměrného prostoru (mesosvět) • Čtvrtá dimense velmi populární kolem r. 1900 (Hinton) • Náš prostor je 3D nadrovinou, kterou nemůžeme opustit. • Zato nadpřirozené bytosti snadno intervenují "zvenku". • Jejich lidští spřeženci triviálně vykrádají 3D tresory. • Prosté přidání Eukleidovské dimense •  naše cesta

24. ČÁST II.FYSIKA V PROSTORU En Rn • Geometrie Rn. Tvar fysikálních zákonů v Rn. • Gravitační zákon • Pohyby planet – Keplerova úloha • Coulombův zákon. Fundamentální konstanty c G e' , rozměrová analysa • Vodíkupodobný atom – Bohrova teorie • Vodíkupodobný atom – nerelativistická kvantová teorie • Vlnové šíření a Huyghensův princip Rekapitulace. Privilegované postavení dimense 3.

25. Geometrická struktura Rn toto budeme zkoumat • malé celočíselné dimense • homogenní a isotropní: dvě odlišné vlastnosti • homogenita  translační invariance • translační grupa … • isotropie  rotační invariance • rotační grupa … • objem a povrch koule • parita vůči prostorové inversi Flatlandy jednotlivé 1D směry, komutativní, jednorozměrné representace } Rozdílnost sudých a lichých dimensí

26. Geometrická struktura Rn Rozdílnost sudých a lichých dimensí • objem a povrch koule • parita vůči prostorové inversi Jen pro n lichá mění orientaci prostoru

27. Od prázdného Rnk prostoru fysikálnímu PODSTATA CELÉHO POSTUPU: • Sama geometrie nemůže rozhodnout • Do prostoru vneseme hmotu a necháme ji „žít“ • Konstruujeme universum rozšířením dimense z 3 na n • Fysikální jevy se řídí zákonitostmi, které jsou obecné, tj. • společné všem dimensím • Jejich tvar někdy na dimensi nezávisí, někdy ano • Pro každou dimensi tak předpovíme konkrétní podobu jevů, ovlivněnou geometrickou strukturou Rn • To porovnáme s empirií a s obecnými antropickými kriterii

28. Fysikální zákony v Rn VYBEREME KLÍČOVÉ FYSIKÁLNÍ PROCESY A JEVY • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

29. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

30. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Silové pole vyvěrá z "nábojů", v prázdnu se počet siločar nemění • (Faraday); Laplaceova a Poissonova rovnice • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti

31. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti Monochrom. rovinná vlna má vlnový vektor a frekvenci. Předpokládáme bezdispersní vlny Připojíme princip superposice a dostáváme vlnovou rovnici

32. Fysikální zákony v Rn • Galileiho relativita • Newtonův zákon: dif. rovnice 2. řádu … kvůli počáteč. podmínkám • Konservativní síly: ZZE v potenciálním poli • Pole a zdroje • Rovinné vlny pro skalární bezdispersní pole, vlnová rovnice • Kanonické kvantování pro složky souřadnice a hybnosti • Kvantování po složkách nezávisí na dimensi. • Buď z homogenity prostoru rovnou • Nebo předepíšeme kanonické komutační relace Odtud Hamiltonián

33. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

34. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

35. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

36. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

37. Gravitační zákon v Rn • Tento problém je • výchozí pro ostatní úlohy • historicky nejstarší (I. Kant, pak H. Poincaré a P. Ehrenfest) • Převezmeme z 3D: • Náboje jsou hmotnosti • Setrvačné a těžké hmotnosti jsou si rovny (…princip ekvivalence) • Síla mezi dvěma hmotnými body je párová centrální universální • Silové pole vyvěrá z nábojů, platí Poissonova rovnice. • Přepíšu do integrálního tvaru Gaussovy věty: • Pro hmotný bod v počátku dostáváme

38. Gravitační zákon v Rn

39. Gravitační zákon v Rn • Máme • Z toho dostaneme • Zavádí se tu gravitační konstanta G, která závisí rozměrově na dimensi n. • Newton zápolil se dvěma problémy: gravitační síla vně sférické • slupky a uvnitř slupky. První měla být stejná jako od hmotného • bodu, druhá nulová. Z Gaussovy věty dostaneme obojí okamžitě. • Tím jsou vyloučeny jiné interakční potenciály (skoro). Rozhodně • potenciál 1/r pro n>3. zavedení hmotného bodu nulový gravitační účinek sféry vzdálených hvězd

40. Planetární pohyby v Rn • Pro libovolné n je pohyb v poli silového centra řešen stejně: • je planární (síla působí v rovině dané průvodičem a okamžitou rychlostí) • zachovává moment hybnosti (2. Keplerův zákon) • zachovává energii • V rovině pohybu … polární souřadnice . Pak Všechno závisí na , jeho prostřednictvím vstupuje i dimense. Pro n= 1, 2 jsou všechny pohyby finitní. Pro n= 3, 4, 5 … zajímavé chování

41. Planetární pohyby v Rn • Dvě cesty • A. Úplné řešení kvadraturami (jako v učebnici) • Dovoluje podrobně charakterisovat finitní trajektorie: • jsou periodické? (jak to známe z obyč. 3D Keplerovu úlohy) • nebo vícenásobně periodické, nebo chaotické? • nebo mají ráz „pádu na centrum“? B. Kvalitativní diskuse radiálního pohybu (efektivní 1D úloha) Efektivní potenciál

42. Planetární pohyby v Rn • Dvě cesty • A. Úplné řešení kvadraturami (jako v učebnici) • Dovoluje podrobně charakterisovat finitní trajektorie: • jsou periodické (jak to známe z obyč. 3D Keplerovu úlohy) • nebo vícenásobně periodické, nebo chaotické • nebo mají ráz „pádu na centrum“? B. Kvalitativní diskuse radiálního pohybu (efektivní 1D úloha) Efektivní potenciál

43. Planetární pohyby v Rn Příklady Ueff a klasicky dostupných oblastí n=3 n=4 n=5 r0 nulový bod Ueff

44. Planetární pohyby v Rn Jak dopadnou trajektorie n=3 n=4 n=5 r0 nulový bod Ueff ? ? ? Pád na centrum pro záporné kladné podbariérové nadbariérové energie Keplerovy elipsy hyperboly

45. Planetární pohyby v Rn Výsledek pro Keplerovu úlohu v Rn Dimense 3 „normální situace“ Rozptylové trajektorie pro E>0, finitní trajektorie pro 0>E>min(Ueff); kruhová při minimu. Dimense 4 Mezní, podivná. Nemá char. délku. Ueffje monotonní. Buď kladný, ryze repulsivní; trajektorie doletí do perihelu a odrážejí se zpět do nekonečna. Nebo všude záporný a klesající. Rozptylové i vázané traj. odpovídají nárazu na centrum nekonečnou rychlostí. Dimense 5 Kruhová trajektorie při maximu Ueffje nestabilní; má kladnou energii. Finitní dráhy mají ráz „pádu na centrum“. Podobně i vyšší dimense. Zhoubné důsledky pro lidstvo v takových podmínkách.

46. Coulombův zákon v Rn Elektrostatika vs. gravitace v Rn Jen dimense n=3, 4, 5 … Stejné Silové pole a jeho zdroje (původní Faradayovy siločáry byly elst.) Jiné Náboje Q nejsou úměrné hmotnostem m. Zavedu přímo veličiny jim úměrné, Q’, jak vystupují v silovém zákonu (poučení ze soustavy SI). Fysikální rozměr těchto nábojů závisí na prostorové dimensi Coulombův zákon Elementární náboj vRn Směřujeme k atomistice; postulujeme elementární náboj elektronu e’.Také jeho fysikální rozměr závisí na prostorové dimensi. O jeho hodnotě nemáme jak uvažovat.

47. Fundamentální konstanty. Rozměrová úvaha v Rn Fundamentální konstanty v Rn Bezrozměrná konstanta v Rn • Jsou nutné všechny 4 • Pro n≤4 vždy jedna vypadne • Pro n≥5 naopak všechno propojeno • Náš svět n=3 • gravitace odpojena od ostatních jevů • QED:

48. Přirozené jednotky v Rn Přirozené soustavy jednotek v Rn Atomové jednotky v Rn • Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha  relevantní veličiny • Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii • Výsledek

49. Přirozené jednotky v Rn Přirozené soustavy jednotek v Rn • n=3 ... známý výsledek • n=4 ... postup neplatný: • neexistuje charak- • teristická délka • n≥5 ... „opačná“ závislost • na Planckově • konstantě, ... Atomové jednotky v Rn • Inspirace od Bohra(1913) • Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii • Výsledek

50. Bohrova teorie vodíku v Rn • Postup podle Bohra použit Ehrenfestem • Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii Klasická podmínka odstř. síla= dostř. síla