4. GRAFI NA PLOSKVAH

1. 4. GRAFI NA PLOSKVAH

2. 4.1 Vložitve grafov • Naj bo S dovolj pohleven topološki prostor (npr. metrični prostor). • Pot v topološkem prostoru S med točkama u in v je slika zvezne injektivne preslikave e:[0,1]  S,tako da je e(0) = (u) in e(1) = (v). • Graf G je vložen v S če so vsa vozlišča iz G različne točke prostora S in povezave iz G poti v S, ki povezujejo svoji krajišči. Nobeni dve povezavi se ne sekata, razen v skupnem krajišču.

3. Vložitve grafov- nadaljevanje • S potmi povezanim komponentam S – (G) pravimo lica vložitve. • Vložitev grafa G v prostor S je izomorfizem grafa G in grafa G', ki je vložen v S. • Graf je ravninski, če ga lahko vložimo v ravnino. • Grafu, ki je vložen na ploskev S (v ravnino) pravimo graf na ploskvi S ( graf v ravnini).

4. Vložitve in imerzije • Zanimale nas bodo predvsem vložitve grafov h: G  S. • Vložitve moramo ločiti od imerzij. • Na levi vidimo nekaj prepovedanih situacij za vložitve.

5. Celične vložitve • Vložitev h:G  S je celična, če so sa lica homeomorfna odprtim diskom v ravnini. • Trditev: Celično vložitev imajo lahko le povezani grafi. • Na levi vidimo dve vložitvi polnega grafa K4 v torus S1. Prva ni celična, druga je.

6. Ekvivalenca vložitev Dve vložitvi h:G  S in h’:G’  S’ sta ekvivalentni, če obstaja homeomorfizem h: S  S’, za katerega je h|G izomorfizem grafov G in G’.

7. Rod grafa • Najmanjše naravno število k za katerega G dopušča celično vložitev v orientabilno sklenjeno ploskev roda k imenujemo rod grafa G. • Najmanjše naravno število k za katerega G dopušča celično vložitev v orientabilno sklenjeno ploskev roda k imenujemo rod grafa G. • Oznaki g(G)in (G)

8. Celične vložitve in zemljevidi • Celičnim vložitvam grafov pravimo tudi zemljevidi. Pri tem gre za subtilno razliko v pogledu. V prvem primeru je v ospredju graf, v drugem je predmet proučevanja zemljevid, ki ima vozlišča, povezave in lica. Primeri zemljevidov so površine geometrijskih teles (poliedrov). • Zemljevidi dopuščajo različne, ekvivalentne (kriptomorfne) popolnoma kombinatorne opise. Z njimi lahko naredimo teorijo, ki ne potrebuje naslona na topologijo.

9. Zemljevidi in sheme • Vsaki shemi ustreza zemljevid • Vsak zemljevid lahko opišemo s shemo, ki določa zemljevid do ekvivalence vložitev natančno.

10. Slabosti opisa s shemo  • Iz  zelo težko dobimo X() • Iz  zelo težko dobimo dual

11. 4.2 Rotacijska shema • Naj bo G = (V, S ,i, r) graf. Naj bo za vsak v  V definirana množica: S[v] = {s  S| i(s) = v}. Imejmo še dve preslikavi: • r : S  S • l : S  {-1,+1}. • Veljati mora: • Permutacija r deluje ciklično na vsakem S[v], v  V. • l(s) = l-1(r(s)). (Torej: l(s) = l(r(s)).) • Tedaj je trojica (G,r,l) rotacijska shema, ki definira celično vložitev grafa G v neko sklenjeno ploskev.

12. Interpretacija rotacijske sheme r(s) • Zdaj moramo le še povedati, kako dobimo iz rotacijske sheme lica naše vložitve. • Če smo do s prišli v smeri rotacije in je l(s) = +1, nadaljuejmo v smeri rotacije, sicer nadaljujemo v nasprotni smeri rotacije. r2(s) r(s) s r3(s) r4(s) r(r(s)) r(s) r2(s) s r(s) r3(s) r4(s) r(r(s))

13. Rotacijska shema in rotacijska projekcija • Rotacijsko shemo lahko predočimo kar grafično v obliki takoimenovane rotacijske projekcije. • Rotacijo r razberemo iz risbe (levo spodaj), na povezavah imamo povsod l(s) = 1.

14. Dual

15. Risanje zemljevidov v fundamentalne poligone ploskev

16. 4.3 Ponovitev Faktorji Barvanje povezav grafov

17. Faktorji • Vpetemu podgrafu včasih rečemo tudi faktor. • Regularen k-valenten faktor imenujemo k-faktor. • 1-faktorje smo že spoznali pod imenom popolno prirejanje. • 2-faktor je unija ciklov, ki pokrivajo množico vozlišč grafa. • Naloge: • Dokaži: če ima trivalenten graf 1-faktor, ima tudi 2-faktor. • Poišči trivalenten graf, ki nima 1-faktorja.

18. Faktorizacija • Naj bo G = (V,E) graf in naj bo E disjunktna unija množic F1, F2, ... ,Fs, tedaj so Hi = (V,Fi) faktorji in razbitje grafa G na faktorje imenujemo faktorizacija. To včasih zapišemo takole: • G = H1 H2 ...  Hs Če so vsi faktorji Hik-faktorji, govorimo o k-faktorizaciji grafa G.

19. 1-faktorizacija • Naloga: dokaži, da ima k-faktorizacijo lahko samo regularen d-valenten graf, če k deli d. • To pomeni, da lahko 1-faktoriziramo samo regularne grafe (drugih pogojev pri valenci grafa ne potrebujemo). Seveda pa niso vsi regularni grafi 1-faktorizabilni. • Naloga: 2-valentni graf G ima 1-faktorziacijo, če in samo če je unija sodih ciklov. • Naloga: Dokaži, da je mogoče vsako prizmo 1-faktorizirati. Dokaži, da Petersenovega grafa ni mogoče 1-faktorizirati.

20. Barvanje povezav grafa • Na levi vidimo 1-faktorizacija petstrane prizme. Vsak faktor smo predstavili s svojo barvo. Idejo barvanja povezav lahko formaliziramo:

21. Barvanje povezav grafa, nadalj. • Preslikava c: EG  C iz množice povezav v neko končno množico C imenujemo (pravilno) barvanje povezav, če za povezavi e in f s skupnim krajiščem velja c(e)  c(f). • Najmanjše število barv kakšnega pravilnega barvanja povezav grafa G imenujemo barvni indeks in ga označimo c’(G).

22. Vizingov izrek • Izrek: Za barvni indeks enostavnega grafa G velja: • D(G) c’(G) D(G)+1 • Spodnja meja je očitna. Zgornjo mejo je težje dokazati. • V skladu z Vizingovim izrekom lahko enostavne grafe razdelimo na grafe tipa I, oz. grafe tipa II (če velja zgornja meja).

23. Posledica za regularne grafe a • Posledica: Regularni graf je tipa I, če in samo če ima 1-faktorizacijo. • Zgled: Petersenov graf je tipa II. • Tudi, če v Petersenovem grafu nadomestimo kakšno vozlišče s trikotnikom, dobimo graf tipa II. c b Vozlišče nadomestimo s trikotnikom a c b

24. Königov izrek • Za dvodelne grafe je problem barvanja povezav rešen. • Izrek (König): Za dvodelni graf G velja c’(G) = D(G).

25. f v e 4.4 Praporni sistemi • Lice, ki je d-kotnik, sestoji iz 2d praporov (glej sliko!) • F V  E  F je praporni sistem. Pri tem so: • V množica vozlišč, • E množica povezav • F množica lic.

26. Praporni sistemi so dovolj splošni • S prapornimi sistemi lahko opišemo tudi Möbiusov trak, oz. komplekse, kakršna je knjiga s tremi listi, ki niti ni ploskev!

27. Nekatere omejitve prapornih sistemov • Tako kot smo definirali praporni sistem, seveda onemogočamo, da bi imeli dva različna prapora, ki bi se ujemala v vseh treh komponentah: • f = (v,e,f) = f’. • Zeleni in rdeči prapor na levi se ujemata v vseh treh komponentah. • Omejitev: Niti graf, niti njegov dual ne smeta vsebovati zanke ali lista (vozlišča valence 1).

28. Drugačen pogled na prapore. • Naj bo F množica praporov. Na levi sliki jih vidimo kot trikotnike. • Definirajmo graf praporovG(F). Za vozlišča vzemimo prapore, sosednost pa določa skupna stranica trikotnikov.

29. Drugačen pogled na prapore. Najprej vozlišča grafa praporov.

30. Drugačen pogled na prapore. Najprej vozlišča grafa praporov. Potem pa še povezave treh vrst: Vzdolž povezav. Prek povezav. Prek kotov.

31. Graf praporov za sklenjene ploskve. Graf praporov je: - povezan - kubičen - vsebuje 2-faktor, ki je oblike: m C4.

32. Graf praporov za sklenjene ploskve. Začetek konstrukcije grafa praporov na ploskvi je prikazan na levi.

33. Orientabilni zemljevid • Izrek: Zemljevid je orientabilen, če in samo če je pripadajoči graf praporov dvodelen.

34. Zgled • Na levi vidimo Q3 na torusu. • Naloga: Opiši rotacijsko shemo, ki opisuje to vložitev. • Naloga: Opiši graf praporov tega zemljevida.

35. Zgled • Na levi vidimo Q3 na torusu. Vložitev je drugačna kot prej! • Naloga: Opiši rotacijsko shemo, ki opisuje to vložitev. • Naloga: Opiši graf praporov tega zemljevida.

36. Levijev graf zemljevida • Levijev graf zemljevida M ima vozlišča: • VM× EM × FM, • Povezeve so določene s stranicamitrikotnikov (praporjev) • POZOR: Graf na sliki ni enostaven!!

37. Karakterizacija • Izrek: Levijev graf zemljevida je enostaven, če in samo če niti graf (skelet zemljevida) niti njegov dual nimata zank. • Definicija: Zemljevid je enostaven, če in samo če ima enostaven Levijev graf.

38. Naloge • N1: Kako iz grafa praporov razpoznamo, ali je zemljevid enostaven?

39. Tri involucije • Naj bo F V  E  F praporni sistem  F , =(v,e,f) • Definirajmo permutacije t0(v,e,f ) = (v’,e,f ) t1 (v,e,f ) = (v,e’,f ) t2(v,e,f ) = (v,e,f ‘) • so involucije brez negibnih točk, • t0t2 = t2t0, tudi brez negibnih točk f e’ v’ v e f ’

40. 4.5 Opis zemljevidov s tremi involucijami F…množica praporov t0, t1, t2 : FF • involucije • vse tri brez negibnih točk • t0t2 = t2t0, tudi brez negibnih točk.

41. Tri involucije določajo zemljevid • Vozlišča: orbite < t1, t2 > • Lica: orbite < t0, t2 > • Povezave: orbite < t0, t1 >