1 / 37

Kmity, vlny

E pot. F. F. stabilní rovnovážná poloha. Kmity, vlny. Kmity = oscilace : pohyb objektu v blízkosti stabilní rovnovážné polohy. Objektu vykonávajícímu oscilace říkáme oscilátor. Nejjednodušší případ oscilátoru:. ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x.

orly
Download Presentation

Kmity, vlny

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Epot F F stabilní rovnovážná poloha Kmity, vlny Kmity = oscilace: pohyb objektu v blízkosti stabilní rovnovážné polohy Objektu vykonávajícímu oscilace říkáme oscilátor. Nejjednodušší případ oscilátoru: ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x ● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy a směřuje k rovnováze Vzorcem: Jinými než lineárními harmonickými oscilacemi se nebudeme zabývat. Více harmonických oscilátorů, které na sebe působí oscilace se mohou šířit prostorem a vytvářet vlny (druhá část přednášky).

  2. Příklad lineárního harmonického oscilátoru: těleso na pružině Síla: Pohyb: (index „s“ od slova „spring“)

  3. Jak dostaneme oscilace matematicky? Dosazení do 2. Newtonova zákona dá diferenciální rovnici Rovnice je ● homogenní, lineární  řešení tvoří lineární prostor, tj. a) řešení vynásobené číslem je zase řešení. b) součet dvou řešení je zase řešení. ● 2. řádu (nejvyšší derivace je druhá)  prostor je 2-rozměrný, tj. řešení bude obsahovat dva parametry. ● s konstantními koeficienty  řešení hledáme ve tvaru s neznámou .

  4. Dosazení s využitím derivace exponenciálynásobení  dá Obě strany rovnice můžeme vydělit exponenciálou (je nenulová). Dostaneme tak charakteristickou algebraickou rovnici pro : Ta by měla mít 2 kořeny pro 2-rozměrný prostor řešení diferenciální rovnice. Skutečně: Tímto jsme zavedli úhlovou frekvenci Více o ní na příští straně. Pomocí  můžeme diferenciální rovnici přepsat jako

  5. Pro zajímavost: speciální případ „Nejkrásnější rovnice matematiky“ -Sčítání, násobení, mocnění 0, 1, e, i,  vše právě jednou 2 kořeny jak jsme čekali, ale imaginární Vzpomeneme si, že  Obecné řešení: lineární kombinace sinu a kosinu t…2 parametry harmonické funkce…proto harmonický oscilátor Lépe: Také 2 parametry, ale s jasným významem: A je amplituda,  je fázový posun argument harmonické funkce (sin, cos) se nazývá fáze. úhlová frekvence  = změna fáze za jednotku času. souvisí s periodou Ta s frekvencí f:

  6. Derivování podle času dá Rychlost: Zrychlení: což je výchozí rovnice pro oscilace. Vidíme, že Graficky: Každá derivace = posun dopředu o čtvrt periody.

  7. Souvislost s kruhovým pohybem Úhlová frekvence odpovídá úhlové rychlosti…stejný symbol  Dostředivé zrychlení (viz 1. přednáška): Projekce na osu x: což je opět výchozí rovnice pro oscilace. Graficky: Animace:

  8. Energie ● Potenciální (vůči rovnovážné poloze v x = 0): Grafem je parabola. Jako funkce času během oscilací: ● Kinetická: Zachovává se, jak jsme čekali. ● Celková: Ekin Epot Graficky: funkce času a výchylky Kinetická a potenciální energie harmonického oscilátoru se v průměru rovnají: Naopak minule pro kruhovou dráhu v gravitačním poli jsme viděli, že Obecně, pokud se potenciální energie mění se vzdáleností jako n-tá mocnina, platí Pro harmonický oscilátor n = 2, pro gravitační pole n = -1.

  9. V okolí minima funkce vypadá jako parabola…proto harmonické oscilace vždy, když je výchylka z rovnovážné polohy dostatečně malá Např. molekula LiH v různýchelektronických stavech: Fig. 1 CASSCF/SOCI potential energy curves for several low-lying electronic states of LiH J.M.H. Lo , M. Klobukowski Computational studies of one-electron properties of lithium hydride in confinement Chemical Physics Volume 328, Issues 1-3 2006 132 - 138 http://dx.doi.org/10.1016/j.chemphys.2006.06.019

  10. Příklad Objekt o hmotnosti m se pohybuje hladkým přímým tunelem mezi 2 body na povrchu Země. Ukažte, že pohyb objektu m v tunelu je harmonický a najděte jeho periodu. Řešení: Slupkové teorémy z minula: na objekt ve vzdálenosti r od středu působí síla od všech slupek s menším poloměrem. Jejich celková hmotnost je hmotnost koule o poloměru r: Objekt přitahují silou: Projekce do směru tunelu:

  11. …znaménko „–“ protože síla směřuje obráceně než výchylka. Síla je úměrná výchylce…harmonický oscilátor s elastickou konstantou Odtud úhlová frekvence Perioda: ● nezávislá na umístění tunelu. ● tatáž jako perioda orbitu satelitu těsně nad povrchem Země (viz 3. Keplerův zákon minule).

  12. Skládání (superpozice) oscilací Rovnice je lineární  součet dvou je zase řešení. Otázka: Jaká bude výsledná amplituda A a fáze  pro amplitudy A1, A2 a fáze 1, 2 vln, které sčítáme? Má tedy platit: Použijeme vztah: Musí platit pro všechna t, tj. musí se rovnat koeficienty u sin(t) a cos(t):

  13. Grafická interpretace: sčítání vektorů

  14. Tlumení: prostředí obvykle klade odpor K elastické síle přidáme sílu odporu prostředí působící proti rychlosti Toto je nejjednodušší případ: síla odporu je úměrná rychlosti. Pohybová rovnice pak má tvar: Opět homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty  opět hledáme řešení ve tvaru Opět rovnice druhého řádu  opět čekáme dvě řešení charakteristické rovnice pro neznámou .

  15. Charakteristická rovnice: Doplnění na čtverec: Řešení: kde jsme zavedli: koeficient tlumení původní frekvence bez tlumení frekvence s tlumením Účinek tlumení: ● zmenšení frekvence z 0 na  ● přidání záporné reálné části -  exponenciální pokles amplitudy

  16. Obecné řešení má proto tvar: Graficky:

  17. Nucené oscilace Přidáme periodickou vnější (externí) sílu, která bude kompenzovat ztráty kvůli odporu: Budeme proto řešit rovnici a pak z řešení vezmeme reálnou část . Vnější síla  rovnice je nehomogenní. Obecné řešení = obecné řešení homogenní rovnice (už máme—tlumené oscilace) + jedno partikulární řešení nehomogenní rovnice Partikulární řešení budeme hledat ve tvaru A tentokrát není volný parametr, nýbrž ho musíme určit dosazením do rovnice.

  18. Dosazení do rovnice dá: A je komplexní číslo…obsahuje amplitudu i fázový posun. Amplituda je daná velikostí čísla A: Výraz pod odmocninou doplníme na čtverec:  Resonance (maximální amplituda) pro: …nižší než frekvence tlumených kmitů  Hodnota amplitudy v maximu: roste s klesajícím , jak ukazuje resonanční křivka:

  19. Příklad Prázdný železniční vůz má hmotnost m = 2000 [kg]. Při zatížení nákladem o hmotnosti M=3000[kg] se pružiny kol zkrátí o délku x = 6 [cm]. Koeficient tlumení pružin má hodnotu  = 0,001 [s-1]. Vůz s nákladem jede po kolejnicích délky d=12,56 [m]. • Při jaké rychlosti se vůz začne prudce rozhoupávat vlivem nárazů na spoje kolejnic? • Jaká je přitom amplituda vzniklých oscilací vozu, je-li síla nárazů na spoje kolejnic Fext=30 [N]? Řešení: a) Vůz se začne prudce rozhoupávat, když nárazy na spoje kolejnic vyvolají resonanci pružin. Resonanční úhlová frekvence pružin kde

  20. Konstantu pružnosti k určíme z údaje, že při zatížení nákladem hmotnosti M se pružiny zkrátí o x Dosazení dá: Tlumení změní resonanční frekvenci o stomiliontinu! Vliv  na res můžeme zanedbat. K resonanci dojde, když perioda oscilace pružin bude rovná době mezi nárazy kolejnic, tj.

  21. b) Tlumení můžeme zanedbat pod odmocninou ale ne před odmocninou. Číselně: Statické zatížení hmotností 3000kg (tj. silou 30 000N) zkrátilo pružiny o 6cm kdežto v resonanci 1000menší síla vyvolala 5větší amplitudu! To je dáno malou hodnotou poměru /0 (viz resonanční křivka). Asi nejdramatičtější případ resonance:

  22. 2 oscilátory: mezikrok na cestě k vlnám Stejné hmotnosti, stejné tuhosti postranních pružin k, jiná tuhost prostřední pružiny k´ 2 mody:  prostřední pružina se nenatahuje:  střed pružiny v klidu  celková elastická konstanta =

  23. Matematika potvrdí fyzikální intuici: Pohybové rovnice: Součet: Rozdíl: Rovnice harmonických oscilací s úhlovými frekvencemi

  24. k k m m m Fn x x xn-1 xn xn+1 Řetězec oscilátorů V rovnováze: Vychýlení z rovnováhy: xn výchylka z rovnováhy n-tého oscilátoru Síla na n-tý oscilátor: síla od (n+1)ho oscilátoru síla od (n-1)ho oscilátoru

  25. Pohybová rovnice: Řešení hledáme ve tvaru: Odsud do konce přednášky: rozumí se, že z komplexních čísel bereme reálnou část. Tím jsme zavedli novou proměnnou q zvanou vlnočet (vlnový vektor). q udává změnu fáze na jednotku délky mezi oscilátory …prostorová obdoba úhlové frekvence  Vztah mezi vlnočtem a vlnovou délkou jako mezi úhlovou frekvencí a periodou: Čekáme, že na vlnočtu q bude záviset frekvence  —viz případ dvou oscilátorů: ● Fázový rozdíl byl 0 nebo  (součet nebo rozdíl poloh). ● Frekvence rostla s fázovým rozdílem. Závislosti úhlové frekvence na vlnočtu (q) se říká dispersní relace.

  26. Dispersní relace pro řetězec Dosadíme tvar řešení do pohybové rovnice a dostaneme: Frekvence roste s vlnočtem až do maximální hodnoty 20 pro q = /x Vlnočet se někdy (např. tady na obrázcích) značí písmenem k a rovnovážná vzdálenost oscilátorů písmenem a

  27. 0 n-tý oscilátor Spojitá limita Máme oscilátory hustěji a hustěji: Místo pořadového čísla oscilátoru n zavedeme spojitou proměnnou polohy x. Výchylka n-tého oscilátoru se tak stane funkcí spojité proměnné x: Výchylka n-tého oscilátoru v lineárním řetězci v čase t Výchylka spojitého lineárního oscilujícího prostředí v místě x a čase t Rozdíly přejdou v prostorové derivace:

  28. Pohybová rovnice: Při limitním přechodu zároveň pošleme tak, aby zůstaly konstantní modul pružnosti kx a hustota m/x. Tuto konstantu označíme c2. Tím zůstane konstantní i Pak pohybová rovnice má tvar: Říká se jí vlnová rovnice a je to jedna z nejčastěji se vyskytujících rovnic ve fyzice. Disperzní relace dostane ve spojité limitě tvar:

  29. Fyzikální význam c: fáze v čase t+t = Pro q > 0:  Vlna se posunula o ct doprava. Obdobně pro q < 0: vlna se posune o ct doleva. Takže c je rychlost bodu s danou fází (např. maxima, minima, nuly) …fázová rychlost Odtud: Navíc znaménko q určuje směr šíření vlny.

  30. Dopplerův jev —změna vlny při pohybu zdroje a pozorovatele Pohyb zdroje: Rychlost zdroje vZ změna vlnové délky Pohyb pozorovatele: vP  Rychlost vlnění vůči pozorovateli je Znaménka: vZ > 0 pokud se zdroj pohybuje k pozorovateli vP > 0 pokud se pozorovatel pohybuje ke zdroji Úhlová frekvence, kterou měří pozorovatel: Frekvence se změní stejným způsobem

  31. Skládání (superpozice) vln Jako u oscilátoru: Vlnová rovnice je lineární  Součet dvou řešení je zase řešení. Uvážíme tři případy: ● Dvě vlny s blízkými vlnočty a frekvencemi…grupová rychlost ● Více (až nekonečně mnoho) takových vln…vlnový balík ● Dvě vlny se stejným vlnočtem a frekvencí ale opačným směrem šíření …stojaté vlny

  32. Grupová rychlost Vezměme součet dvou řešení s blízkými vlnočty a frekvencemi modulovaná vlna nosná vlna modulační obálka  = Obálka má dlouhou vlnovou délku a dlouhou časovou periodu Obálka se pohybuje grupovou rychlostí: Grupová rychlost je obecně jiná než fázová. Toto je případ, kdy jsou stejné. Pro lineární dispersi

  33. Příklad Určete poměr fázové a grupové rychlosti vln ve vodě. Řešení: Z rozměrové analýzy: Odtud fázová rychlost: Grupová rychlost:  Toto je případ, kdy Poměr:

  34. Vlnový balík Sečteme více než dvě (až nekonečně mnoho) vln s blízkými vlnočty a frekvencemi: a dostaneme vlnový balík: ● Balík je tím užší, čím více vlnových délek použijeme a naopak je tím širší, čím méně vlnových délek použijeme. relace neurčitosti…fundamentální význam v kvantové mechanice ● Balík vznikne kvůli interferenci: konstruktivní v maximu, destruktivní dál od maxima více o interferenci v optice. ● Pohybuje se grupovou rychlostí.

  35. Stojatá vlna Sečteme dvě vlny šířící se v opačných směrech: Oddělí se časová a prostorová závislost…vlna se nepohybuje: K tomu může dojít kvůli okrajovým podmínkám. Tím se zároveň vyberou jen některé vlnové délky.

  36. Například výchylka zafixovaná na nulu ve vzdálenosti d: Pak d musí být celočíselný násobek délky půlvlny: Tím se zároveň vyberou jen některé frekvence …viz struna na kytaře nebo vzduch v píšťale. V kvantové mechanice pak uvězněná částice může mít jen některé energie.

  37. Příště: optika Světlo jsou vlny. Různé chování podle toho, jestli se pohybuje na vzdálenostech srovnatelných s vlnovou délkou nebo podstatně větších.

More Related