Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE__04_PVP_198_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. Výpočet pravděpodobnosti

4. Neslučitelné jevy Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo nebo padne číslo sudé (nebo = sjednocení). Můžeme na tuto situaci pohlížet jako na dva jevy, které se navzájem vylučují (nemohou nastat současně): Jev A ... padne číslo , Jev B ... padne číslo sudé, Výsledek: Jsou-li A a B dva neslučitelné jevy, pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna součtu jejich pravděpodobností:

5. Neslučitelné jevy - příklad • V osudí je 12 zelených, 14 modrých a 20 bílých koulí. Vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že je zelená nebo modrá? • jev A ... vytažená koule je zelená • jev B ... vytažená koule je modrá • Jevy nemohou nastat současně, jsou neslučitelné, proto jejich pravděpodobnosti můžeme sečíst.

6. Sčítání pravděpodobností Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší jak tři nebo padne číslo sudé. Tyto jevy mohou nastat současně, pokud padnou čísla 4 nebo 6. Jev A ... padne číslo větší jak 3, Jev B ... padne číslo sudé, Výsledky nemůžeme sečíst, protože pravděpodobnost, že padne číslo 4 nebo číslo 6 je započítána dvakrát. Musíme tedy odečíst pravděpodobnost průniku jevů A, B. Jev AB ... padne číslo 4 nebo číslo 6, .

7. Obecný vzorec pro sčítání pravděpodobností Jsou-li A a B libovolné jevy, pak platí: Pro tři libovolné jevy A, B, C platí:

8. Sčítání pravděpodobností - příklad Příklad: Ve třídě je 30 žáků. Škola umožňuje připojení k internetu na vlastním zařízení. Mobilní telefon k tomuto účelu může použít 17 žáků, tablet 12 žáků, obojí současně 5 žáků. S jakou pravděpodobností náhodně vybraný žák třídy může využít tuto službu školy? Poznámka: Žáci, kteří mají přístup pomocí mobilu, mohou mít současně i tablet. Proto je součet 17+12+5 větší než počet žáků ve třídě.

9. Opačný jev Příklad: • jev A ... při hodu kostkou padne sudé číslojev A´... při hodu kostkou padne liché číslo • jev B ... při hodu dvěma kostkami padne součet 12jev B´... při hodu dvěma kostkami nepadne součet 12 • jev C ... při rozdávání karet dostanu alespoň jedno esojev C´... při rozdávání karet nedostanu žádné eso Uvedené dvojice jevů představují navzájem opačné jevy. Jsou neslučitelné a vždy nastává právě jeden z nich. Platí :

10. Nezávislé jevy • Nezávislostí dvou jevů rozumíme to, že uskutečnění jednoho nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění druhého jevu. • Řekneme, že jevy A a B jsou nezávislé, jestliže platí: • Příklad: Na výrobku se objevují dva druhy vad. První vada s pravděpodobností 8 %, druhá (nezávislá na první) s pravděpodobností 3 %. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek bude bez vady? • Poznámka: Využili jsem pravděpodobnosti opačných jevů

11. Příklady • Hodíme dvakrát hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet větší jak 10? • Jaká je pravděpodobnost, že se dva lidé narodili ve stejném měsíci? • Střelec se trefí do terče s pravděpodobností 92 %. Jaká je pravděpodobnost, že při dvou pokusech zasáhl cíl právě dvakrát? • Žárovka svítí se spolehlivostí 0,85. Jaká je spolehlivost systému (alespoň část svítí), jsou-li zapojeny: • dvě žárovky sériově, • dvě žárovky paralelně?

12. Řešení • Součet větší než 10 padne, pokud bude kombinace na kostkách 6+5, 5+6 nebo 6+6. • Jsou to nezávislé jevy. • a) průnik nezávislých jevů b) jde o sjednocení jevů

13. Použitá literatura: CALDA, Emil a DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008. 170 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-365-3. ROBOVÁ, Jarmila, HÁLA, Martin a CALDA, Emil. Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika: matematika pro střední školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2013. 235 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-425-4. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. 303 s. ISBN 80-7196-099-3. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.