2011 年初三数学特训班第三讲 —— 动点、图形变换等综合

1. 2011年初三数学特训班第三讲——动点、图形变换等综合2011年初三数学特训班第三讲——动点、图形变换等综合

2. 一、动点问题 • （一）、直线上动点 • （二）、三角形边上动点 • （三）、特殊四边形边上动点 • （四）、抛物线上动点

3. （一）、直线上动点 • 例1（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． (1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2)求正方形边长及顶点C的坐标；

4. (3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； • (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由． 注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。

5. y B P x Q O A （二）、三角形边上动点 • 例2（2009年齐齐哈尔市）直线 与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． • （1）直接写出A、B两点的坐标； • （2）设点Q的运动时间为t秒， △OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； • （3）当 S=48/5 时，求出点P的坐标，并直接写O、P、Q出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

6. y y A A H H B B M M x x C C O O 图（2） 图（1） （三）、特殊四边形边上动点 • 例3(2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S不为0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．图（1）

7. （四）、抛物线上动点 • 例4（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 （a≠0）与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． • (1) 求抛物线的解析式； • (2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． • (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

8. 二、图形的变换 • （一）、图形的折叠 • （二）、图形的拼图 • （三）、图形的移动 • （四）、图形的旋转

9. （一）、图形的折叠 • 例5.(2005浙江台州，17) 如图6-24，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF=_________.

10. （二）、图形的拼图 • 例6.(2004陕西，17) 如图11-22,有一腰长为5 cm,底边长为4 cm的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有___________个不同的四边形.

11. （三）、图形的移动 • 例7(2006山东青岛，24) 如图8-18①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合)，已知AC=8 cm，BC=6 cm，∠C=90°，EG=4 cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点.如图8-18②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1 cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1 cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s)，FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).

12. （四）、图形的旋转 • 例8(2006黑龙江伊春) 已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD+OE=2OC.当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②、图③这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.

13. 三、信息题 • 例9(2006浙江嘉兴)定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为(其中k是使为奇数的正整数)，并且运算重复进行.例如，取n=26，则： 若n=449，则第449次“F运算”的结果是____________.

14. 例10(2006四川攀枝花)先阅读下列材料，再解答后面的问题例10(2006四川攀枝花)先阅读下列材料，再解答后面的问题 • 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：.记为an如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28=3)。一般地，若an=b(a>0且a≠1,b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为logab(即logab=n)，如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381=4). • 问题： • (1)计算以下各对数的值 • log24=__________,log216=__________,log264=__________; • (2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？ • (3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ • logaM+logaN=__________(a>0且a≠1,M>0,N>0) • 根据幂的运算法则：an·am=an+m以及对数的含义证明上述结论

15. 例11(2005浙江丽水)下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式_____________.例11(2005浙江丽水)下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式_____________.

16. 例12如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴______根.例12如图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……则搭n条“金鱼”需要火柴______根.

17. 四、压轴题 • 例13如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点,A为顶点 (1)求抛物线的解析式；

18. (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

19. 例14如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C，两点（点B在点C的左侧）， 已知点A坐标为（0，3）。 • （1）求此抛物线的解析式；

20. （2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴L与⊙O有怎样的位置关系，并给出证明；

21. （3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C，两点之间，问：当点p运动到什么位置时， △PAC的面积最大？并求出此时p点的坐标和△PAC的最大面积.