Teorema de Nerode. Minimización de AFDs
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Teorema de Nerode. Minimización de AFDs. Conceptos previos: -Partición de un conjunto. -Relación sobre un conjunto A . -Relación de equivalencia. -Clase de equivalencia. -El conjunto de las clases de equiv. de A es una partición. -Conjunto cociente. -Indice de una relación.

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Teorema de nerode minimizaci n de afds

Teorema de Nerode. Minimización de AFDs

Conceptos previos:

-Partición de un conjunto.

-Relación sobre un conjunto A.

-Relación de equivalencia.

-Clase de equivalencia.

-El conjunto de las clases de equiv. de A es una partición.

-Conjunto cociente.

-Indice de una relación.

-R (sobre A) es más fina que Q si

 x,y A (xR y  xQy)

R es congruencia sobre M si xR y  u,v M (uxv Ruyv).

R es cong. a derechas sobre M si xR y  v M (xv Ryv).

R es cong. a izquierdas sobre M si xR y  u,v M (ux Ruy).


Teorema de nerode minimizaci n de afds

Relación de equivalencia de los buenos finales:

-Dado L *;  x, y  * ( xRL y  x -1L = y -1L ).

-De manera equivalente

 x, y  * ( xRL y  z  *( xz  L  yz  L )).

RL es una congruencia a derechas:

Dem.- Si xRL y, z  * (xz)-1L = z -1 (x -1L) = z -1 (y -1L) =

= (yz)-1L  xzRL yz

Ejercicio: Sea A = (Q, , , q0, F) un AFD completo y accesible.

Sea RA : x, y  * ( xRA y  (q0,x) = (q0,y) ).

- RA es una RBE de índice finito.

- RA es una congruencia a derechas.


Teorema de nerode minimizaci n de afds

Teorema de Nerode

Dado L *; son equivalentes:

1.- L es regular.

2.- L es unión de algunas clases de equivalencia de una

congruencia a derechas de índice finito.

3.- RL es de índice finito.

Demostración:

(1  2) L es regular  L = L(A) con A = (Q, , , q0, F).

La relación es RA : x, y  * ( xRA y  (q0,x) = (q0,y) ).

- es una RBE de índice finito.

- es una congruencia a derechas.

- cada clase representa un estado de Q.

- L es unión de aquellas clases de RA que corresponden

con eltos de F.


Teorema de nerode minimizaci n de afds

(2  3) Sea Econgruencia a derechas de índice finito.

x Ey  z * , xzEyz  z * (xz  L  yz L)

 xRLy.

Si E es de índice finito y es más fina que RL, esta también.


Teorema de nerode minimizaci n de afds

(3  1) Sea RL de índice finito,

{[u] RL : u L}

q0= [] RL

A = (Q, , , q0, F)

función de transición

([u] RL ,a) = [ua] RLa  

{[u] RL : u *}

-Se cumple que ([] RL ,x) = [x] RLx  *. Entonces

L(A) = {x  * : ([] RL ,x)  F}= {x  * : [x] RL F}=

{x  * : x L} = L (L= L(A) L es Regular ).


Teorema de nerode minimizaci n de afds

Minimización de Autómatas Finitos

-Un autómata A = (Q, , , q0, F) es accesible si

q  Q  x  * : (q0, x) = q.

-R. de indistiguibilidad: Si A es completo y accesible se define

q,q’  Q (q  q’   x  * ((q,x) F  (q,y)  F )).

Dado A = (Q, , , q0, F) , el autómata cociente

A/  = (Q’, , ’, q’0, F’) con

Q’ = Q/  = {[q] : q  Q }; q’0 = [q0]

F’ = F/  = {[q] : q  F };

’([q],a) = [(q,a)]

es el autómata mínimo que acepta L(A).

El problema de minimizar un AFD se reduce a computar 


Teorema de nerode minimizaci n de afds

  • R. de k-indistiguibilidad: Si A es completo y accesible, q,q’  Q

  • (q kq’   x  *, |x|  k ((q,x)  F  (q,y)  F )).

  •  k  0 p k + 1q  p k q .

  •  k  0 p q  p k q .

  •  k  0 p k + 1q  p k q a   ((p,a) k (q,a)).

  • p 0 q  (p  F  q  F)  (p  Q - F  q  Q - F)

Algoritmo de minimización:

(1) 0 = {Q - F , F}

(2) Obtener k + 1 a partir de k :

B(p, k + 1) = B(q, k + 1)  B(p, k ) = B(q, k ) 

 a   (B((p,a), k ) = B((q,a), k ))

(3) Repetir (2) hasta encontrar m : m + 1 = m .


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