Systemy stacjonarne i niestacjonarne (Time-invariant and Time-varing systems)

1. Systemy stacjonarne i niestacjonarne (Time-invariant and Time-varing systems) Mówimy, że system jest stacjonarny, jeżeli dowolne przesunięcie czasu  dla sygnału wejścia u(t+) powoduje takie samo przesunięcie czasu dla sygnału wyjścia, to znaczy przy założeniu, że wyjście dla wejścia u(t) wynosi y(t) i warunki początkowe są identyczne

2. Praktyczne wskazówki: Na niestacjonarność wskazują  jakiekolwiek niejednostkowe stałe związane z argumentem czasu np. u(2t), u(-t), u[2n], u[-n]  jakiekolwiek współczynniki będące funkcjami czasu w równaniu różniczkowym lub różnicowym Przykłady: Systemy dyskretne: Systemy ciągłe: Stacjonarne Niestacjonarne

3. Graficzna ilustracja warunku stacjonarności System stacjonarny System niestacjonarny

4. Wyrazimy wprost warunek stacjonarności dla systemów ciągłych i dyskretnych Systemy dyskretne: Systemy ciągłe: Jeżeli dla wejścia systemu Jeżeli dla wejścia systemu wyjście systemu jest wyjście systemu jest to dla wejścia systemu to dla wejścia systemu wyjście systemu jest wyjście systemu jest to znaczy to znaczy

5. Przykład - system ciągły dynamiczny Mając system dynamiczny opisany równaniem różniczkowym określić, czy jest on stacjonarny dla zerowych warunków początkowych a) Niech: y(t) wyjście systemu dla wejścia u(t) Zastępując w równaniu systemu t przez tt1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu

6. otrzymamy otrzymaliśmy poprzednio Zatem System jest niestacjonarny

7. b) Niech: y(t) wyjście systemu dla wejścia u(t) Zastępując w równaniu systemu t przez tt1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu otrzymamy Zatem System jest stacjonarny

8. Przykład - system dyskretny dynamiczny Mając system dynamiczny opisany równaniem różnicowym określić, czy jest on stacjonarny Sprawdzić osąd dla wejść obliczając cztery pierwsze wartości wyjść Przyjąć warunek początkowy

9. a) Niech: y[n] wyjście systemu dla wejścia u[n] Zastępując w równaniu systemu n przez nn1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu System jest niestacjonarny

10. Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u[n] Dla sygnału u[n-2] wyjście systemu wyjście systemu wynosi wynosi czyli czyli System jest niestacjonarny

11. b) Niech: y[n] wyjście systemu dla wejścia u[n] Zastępując w równaniu systemu n przez nn1 dostaniemy Dla systemu stacjonarnego, dla wejścia wyjście jest Podstawiając do równania systemu System jest stacjonarny

12. Sprawdzimy nasz osąd na przykładzie Iteracyjnie policzymy cztery pierwsze wartości wyjść Dla sygnału u[n] Dla sygnału u[n-2] wyjście systemu wyjście systemu wynosi wynosi czyli czyli System jest stacjonarny

13. Inne klasyfikacje systemów dynamicznych  systemy przyczynowe i nieprzyczynowe  systemy odwracalne i nieodwracalne Rożne kategorie systemów związane z liniowością i stacjonarnością  Liniowe stacjonarne (Linear Time-invariant (LTI)) Systemy liniowe stacjonarne to systemy, które są liniowe i stacjonarne (wszystkie ich współczynniki są stałe w czasie); piszemy

14.  Liniowe niestacjonarne (Linear Time-varying (LTV)) Systemy liniowe niestacjonarne to systemy, które są liniowe i w których co najmniej jeden współczynnik jest zmienny w czasie a zatem i operator O jest zmienny w czasie; piszemy  Nieliniowe stacjonarne (Nonlinear Time-invariant (NTI)) Systemy nieliniowe stacjonarne to systemy, których operator jest stacjonarny, ale zależy od wejścia; piszemy

15.  Nieliniowe niestacjonarne (Nonlinear Time-varying (NTV)) Systemy nieliniowe niestacjonarne to systemy nieliniowe, w których co najmniej jeden współczynnik jest zmienny w czasie, a zatem i operator O jest zmienny w czasie; piszemy

16. Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu