Системы счисления

Системы счисления

Определения Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа:123, 45678, 1010011, CXL Цифры:0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: • непозиционные– значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; • позиционные – зависит…

Древнеегипетская система счислениявыглядела так: - число 345. Пример:

Непозиционные системы Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) Римская:I – 1 (палец),V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille)

Римская система счисления Правила: • (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифрподряд • если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Примеры: MDCXLIV = I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 1000 + 500 + 100 – 10 + 50 – 1 + 5 = 1644 2389 = 2000 + 300 + 80 + 9 M M CCC LXXX IX 2389 = M M C C C L X X X I X

В римской системе счисления для обозначения чисел используются заглавные латинские буквы, являющиеся «цифрами» этой системы счисления: • Число в римской системе счисления обозначается набором стозначений ящих подряд «цифр». Значение числа равно: • сумме идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида); • разности значений большей и меньшей «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая (группа второго вида); • сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого и второго видов.

Примеры. 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид: XXXII = (X+X+X)+(I+I) =30+2 2. Число 444 в римской системе счисления имеет вид: CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) (= 400 + 40 + 4 3. Число 1974: MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X++X)+(V-I)= 1000+900+50+20+4 4. Число 2005: MMV = (M+M) +V = 1000+1000+5

Примеры: 3768= МММDCCLXVIII 2983= MMCMLXXXIII 1452= MCDLII 1999= MCMXCIX

Задание (непозиционные системы счисления): • А. С. Пушкин родился в MDCCXCIX году? • 2. Вычислите и ответ запишите с помощью римских цифр: • a) MCM - XC = • б) LX + XXVIII = • в) CXLVII - XXIII = • г) IX +MC = • 3. Запишите десятичные числа в римской системе счисления: • 145 = b) 473 = с)1948 = • 4. Переведите числа из римской системы счисления в десятичную:a) MCMXCIX = б) CMLXXXVIII = в) MCXLVII =

Римская система счисления Недостатки: • для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V,X, L, C, D, M) • как записать дробные числа? • как выполнять арифметические действия:CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: • номера глав в книгах: • обозначение веков: «Пираты XX века» • циферблат часов

Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

сотни десятки единицы Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система:первоначально – счет на пальцахизобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основание (количество цифр): 10 Алфавит – это набор цифр, используемых в системе счисления. Основание – это количество цифр в алфавите (мощность алфавита). Разряд – это позиция цифры в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево. 2 1 0 разряды 3 7 8 = 3·102 + 7·101 + 8·100 300 70 8

Позиционные системы 6375 = 6⋅103 + 3⋅102 + 7⋅101 + 5⋅100 Чтобы определить число, записанное в позиционной системе счисления, нужно значение каждой цифры умножить на основание системы счисления в степени, равной разряду, и сложить полученные величины. Число 6375 можно представить в другой форме (схема Горнера): 6375 = ((6⋅10 + 3)⋅10 + 7)⋅10 + 5 • Другие позиционные системы: • двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) • двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) • двадцатеричная (1 франк = 20 су) • шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе: 12310 — это число 123 в десятичной системе счисления; 11110112 — то же число, но в двоичной системе. Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную, надо представить это число в виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления в десятичной системе счисления. Например, переведем число 10112 в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления. 10112 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 1110 Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,748 в десятичную систему счисления. 52,748 = 5*81 + 2*80 + 3*8-1 + 4*8-2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/49 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 42,937510

Перевод целого числа из двоичной системы счисления в десятичную. Пример. 1012 = 1*22 + 0*21 + 1*20 = 1*4 + 0 +1 = 510 Задание 1. Переведите число 1011012 в десятичную систему счисления. Решение. 1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=32+8+4+1=4510 Ответ: 1011012=4510

Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке. Переведем десятичное число 2010 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 2010 = 101002.

2 2 2 2 2 2 4 0 8 18 1 4 0 2 9 1 0 1 1 0 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2 10  2 19 19 = 100112 система счисления 2  10 4 3 2 1 0 разряды 100112 = 1·24 +0·23+0·22+1·21+1·20 = 16 + 2 + 1 = 19

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в двоичную. Алгоритм 1. Последовательно выполнить деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы (на 2) до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя (т.е. меньшее 2). 2. Записать полученные остатки в обратной последовательности. Пример.Решение.

Задание 2. Как представляется число 2510 в двоичной системе счисления? Решение. 2510=100112, что соответствует ответу №2. Ответ: 2.

Какое количество компьютеров вы видите? Ответ дайте в двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления. ? Ответ: 102 28 210 ДвоичнаяВосьмеричнаяДесятичная

Задания: Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков) Ей было тысяча сто лет, Она в 101-ый класс ходила, В портфеле по сто книг носила – Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. И десять темно-синих глаз Рассматривали мир привычно,… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из двоичной системы счисления в десятичную.

Вопросы: • У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли быть такое? • Когда дважды два равно 100?

1 2-2 = = 0,25 22 Перевод дробных чисел 10  2 0,375 =  2 0,0112 0,7 = ? 0,7 = 0,101100110… = 0,1(0110)2 ,750 0 0,75  2 Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей. ,50 1 Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов. 0,5  2 Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой. ,0 1 2  10 2 1 0 -1 -2 -3 разряды 101,0112 = 1·22 +1·20+1·2-2+1·2-3 = 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375

Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную. Пример. 111,012 = 1*22 + 1*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*4 + 1*2 +1+ 0* +1* = = 4+2+1+0,5+0,25 = 7,7510 • Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную. • Алгоритм. • Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы (на 2) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа. • Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системе счисления. • Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Пример. 0,562510 = 0,10012. Пример. 0,710 ≈ х 2 Решение. … Решение. Очевидно, что этот процесс может продолжаться до бесконечности. Обрывают процесс на шаге, когда получена требуемая точность вычисления (количество знаков после запятой) . 0,710 ≈ 0,10110 2

Примеры: 0,625= 3,875=

Плюсы и минусы двоичной системы • нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.); • надежность и помехоустойчивость двоичных кодов; • выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными. • простые десятичные числа записываются в виде бесконечных двоичных дробей; • двоичные числа имеют много разрядов; • запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

8 8 8 0 96 0 12 8 1 4 1 4 Восьмеричная система Основание (количество цифр): 8 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10  8 100 100 = 1448 система счисления 8  10 2 1 0 разряды 1448 = 1·82 +4·81+4·80 = 64 + 32 + 4 = 100

! Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! Перевод в двоичную и обратно 10 • трудоемко • 2 действия 8 2 8 = 23 17258 = 001 111 010 1012 { { { { 1 7 2 5

Из Таблицы видно, что в двоичной системе запись чисел второй восьмерки (от 8 до 15) отличается от записи первой восьмерки (от 0 до 7) наличием единицы в четвертом (справа) разряде. На этом основан алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру: 101011012 → 10 101 101→ 2558. 2 5 5 Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули. Убедимся в правильности алгоритма: 101011012 → 1*27+1*25+1*23+2*21+1*20=17310; 2558 →2*26+5*23+5*20=17310. Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули): 3258 → 3 2 5 → 11 010 101 → 110101012. 011 010 101

Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 001 001 011 101 1112 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 001 001 011 101 1112 1 1 3 5 7 Ответ: 10010111011112 = 113578

Примеры: 34678 = 21488 = 73528 = 12318 =

Примеры: 1011010100102 =55228 111111010112 =37538 11010110102 =15328

16 16 96 6 0 11 0 6 Шестнадцатеричная система Основание (количество цифр): 16 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,10 B,11 C,12 D,13 E,14 F 15 10 16 107 107 = 6B16 B система счисления 16 10 C 2 1 0 разряды 1C516 = 1·162 +12·161+5·160 = 256 + 192 + 5 = 453

! Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! Перевод в двоичную систему 10 • трудоемко • 2 действия 16 2 16 = 24 7F1A16= 0111 1111 0001 10102 { { { { 7 F1A

Примеры: C73B16= 11000111001110112 2FE116=101111111000012

Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 0001 0010 1110 11112 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 0001 0010 1110 11112 1 2 E F Ответ: 10010111011112 = 12EF16

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам». Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры: 101011012 → 1010 1101 → AD16. А D Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.

Примеры: 10101011010101102 =АВ5616 1111001101111101012 =3CDF516 1101101101011111102 =36D7E16

Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 10 16 8 2 Шаг 1. Перевести в двоичную систему: 3DEA16= 11 1101 1110 10102 Шаг 2. Разбить на триады: 0111101111010102 Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: 3DEA16= 367528

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему: D516→ D 5 →1101 0101 → 110101012 → 11010101 → 3258. D 5 325

Системы счисления