Grunnleggende matematikk Første bolk

1. Grunnleggende matematikk Første bolk SOS3003/JFRYE

2. ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt SOS3003/JFRYE

3. ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har SOS3003/JFRYE

4. ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) SOS3003/JFRYE

5. ’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) Matematisk 2: y = a + (b * x) der y = inntekt der a = 'grunnbeløpet' der b = økning i kroner per år utdanning (effekten av utdanning) der x = antall år utdanning SOS3003/JFRYE

6. y = a + (b * x) 100.000 = a + (b * 0) 100.000 = a a = 100.000 120.000 = a + (b * 0) 120.000 = 100.000 + (b * 2) 120.000 – 100.000 = (b * 2) 20.000 = b * 2 20.000 / 2 = b b = 10.000 140.000 = a + (b * 0) 140.000 = 100.000 + (b * 4) 140.000 – 100.000 = (b * 4) 40.000 = b * 4 40.000 / 4 = b b = 10.000 SOS3003/JFRYE

7. Dermed: y = 100.000 + (10.000 * x) SOS3003/JFRYE

8. Matematikk er et analytisk verktøy • Gjør det mulig å ’presist’ (kvantitativt) • beskrive fenomener • beregne relasjonen mellom fenomener • Gjør det mulig å presentere fortettet informasjon • Utfordringen er å ’oversette’ mellom fagspråk og matematisk språk SOS3003/JFRYE

9. NB: Matematikk er ikke vanskelig! Erling Berge uttrykte det slik:  lett å lære å lese  litt vanskeligere å forstå det man leser  enda litt vanskeligere å skrive selv Ulike dialekter: vi bruker 'regresjonsdialekten' SOS3003/JFRYE

10.  Algebra  Funksjoner  Likninger SOS3003/JFRYE

11. Algebra Regning med 'bokstaver' (der bokstavene representerer vilkårlige tallstørrelser) SOS3003/JFRYE

12. Algebra – regneregler I  addisjon: a + b = b + a  subtraksjon: a – b = -b + a  multiplikasjon: a * b = b * a  divisjon a / b = a * (1/b) SOS3003/JFRYE

13. Algebra – regneregler II Algebraiske uttrykk kan settes opp i parenteser. Det som står inne i parentesen, skal behandles som ett tall  a * (b + c) = (a * b) + (a * c)  (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * c NB: Stryker gangetegnene av praktiske årsaker: = ac + ad + bc + bd SOS3003/JFRYE

14. Algebra – regneregler III •  ax •  a * a * a * a * a = a5 •  a * a = a2 • a2 * a = a3 • NB: a = a1 •  a * a * a * a *.... a(n ganger) = an SOS3003/JFRYE

15. Algebra – regneregler IV  -22 = -(22)  √22 = 2  a0,5 = √a  a0 = 1  a–2 = 1/a2  a1/n = n√a SOS3003/JFRYE

16. Funksjoner En funksjon er en regel som angir relasjonen mellom to (sett av) algebraiske uttrykk y = a + bx hvordan endrer y seg når x endres? f(x) = a + bx NB: y = f(x) SOS3003/JFRYE

17. y = a + (10.000 * x) SOS3003/JFRYE

18. f(x) = 2x SOS3003/JFRYE

19. f(x) = x2 SOS3003/JFRYE

20. Ligninger En ligning er en påstand om at to algebraiske uttrykk (eller også to funksjoner, eller et algebraisk uttrykk og en funksjon) er like. NB: En funksjon er derfor bestandig en ligning! SOS3003/JFRYE

21. Ligninger •  a = b •  y = x •  y = f(x) •  y = a + bx (ligningen for en rett linje) •  f(x) = a + bx + cx2 (andregradsligningen) • y = a + bx + cw + e (regresjonsligningen med 2 x-variabler) SOS3003/JFRYE

22. Ligninger Man kan addere eller subtrahere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y + 1 = x + 1 y = x tilsvarer y – 1 = x – 1 Man kan multiplisere eller dividere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y * 10 = x * 10 y = x tilsvarer y / 10 = x / 10 Hensikten er som regel å få y alene på venstresiden av likhetstegnet, ettersom dette letter det videre arbeidet SOS3003/JFRYE

23. Konvensjoner Parametre/konstanter: Uttrykk i funksjonen som er lik for alle enheter Parameter: verdien for populasjonen Konstant (parameter-estimat): verdien for utvalget Variabler: Uttrykk i funksjonen som varierer for alle enheter SOS3003/JFRYE

24. Ulike typer bokstaver til ulike typer uttrykk • konstanter (parameter-estimat) (romerske bokstaver) a, b, c, d, e, p, q, r, s, t,... •  variabler (romerske bokstaver): • x, y, z • regresjonskonstanter b0 b1 b2.... • regresjonsvariabler x1, x2, x3… •  parametre for populasjon (greske bokstaver) • α (alfa) β (beta) µ (my) γ (ypsilon) ε (epsilon) • regresjonsparametre (for populasjonen): β0 β1 β2 β3  indekser for variabler nytter gjerne i, j, k, l, m, n... •  funksjoner vil ofte bli gitt symbolene f(), g(), .... SOS3003/JFRYE

25. Indeksering  Brukes til å skille uttrykk av samme type, for eksempel funksjoner: fi, f2...  Vanligvis som subskrift etter uttrykket, men kan også settes over eller foran, spesielt når det trengs flere presiseringer: 1f2, eller 1f1  Både tall og bokstavtall: f1, fa  Brukes også til å beskrive enkelte enheter (case), parametrer eller variabler a1, a2, a3, x1, x2, x3, b1, b2, b3, β1, β2, β3,  Hvis man skal si noe om alle casene, parametrene eller variablene bruker man gjerne i, j, k. ai, xi, bi, βi  Noen ganger stryker man (alle eller noen av) indeksene når det er 'åpenbart' hva symbolene betyr SOS3003/JFRYE

26. Matematiske operatorer Summasjon: Σ a1 + a2 + a3 + a4 .... + an = Σiai Multiplikasjon: Π a1 * a2 * a3 * a4 .... + an = Πiai SOS3003/JFRYE

27. Tre avsluttende ’tester’ yi = β0 + β1x1i + εi yi = β0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + β4x4i + ... + βnxni + εi yi = β0 + Σk(βkxki) + εi SOS3003/JFRYE