Chap4- Calcul littéral et identités remarquables

1. Chap4- Calcul littéral et identités remarquables

2. Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables Rappel: Réduire une expression : C’est regrouper les termes semblables. On additionne « les x² avec les x² », « les x avec les x », les nombres entre eux, « les y avec les y », etc… Lorsqu’on réduit, il faut penser ordonner les termes suivant les puissances décroissantes. 5x x 6x = 7x + 5x = 3x +45+5x² –4+2x² = 30x² 12x 7x² + 3x + 41

3. Chap 4- Calcul littéral et identités remarquables Réduire une expression : Ex4p112 a) Réduire si possible A= 6x + 2x B= 6 x 2x C= 6 + 2x D=6x² + 2x² E= 6x + 2x² F= 6x x 2x G=(3x)² H= -5x² + 7x – 3 + 2x² – 3x – 8 > Calculer A, B,…H pour x=3

4. I / Développer un produit Développer un produit, c’est le transformer en somme. 1) Distributivité simple : Quels que soient les nombres k, a et b, on a : k (a + b) = k (a – b) = 3(x + 2 ) =-2(1 – 4x) =  2) Distributivité double :Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :   (a + b)(c + d) = (x + 3)(5 – 4x)= ka + kb ka – kb 3x+ 6 -2 + 8x ac + ad + bc + bd 5x – 4x² + 15 – 12x = -4x² – 7x + 15

5. I / Développer un produitEx4p112 b) Développer et réduire A= 3(2x+5) B= 2(6 – 3x) C= -4(-2x +5) D= 3(2x+4) + 5(4x+2) E= 4(2x – 3) – 3(5 – 6x) F= (5x+6) + (4x - 2) G= (2x – 5) – (5x + 3) H= (2x+4)(4x+2) I= (-4x+6)(2x – 3) J= (2x+3) (2x+3) K= (3x – 4) (3x – 4)

6. Ex5p112 Dans chacun des cas, les expressions A et B sont-elles égales? • A= (6x+4)(2x–3) B= (4x–6)(3x+2) • A= 5(2x+3)+4x B= 7(2x+1)+8 • Exercice: Développer les expressions suivantes: • (a+b)² • (a–b)² • (a+b)(a–b)

7. II / Identités remarquables • Quels que soient les nombres a et b, on a : • (a + b)² = • Le terme « 2ab » s’appelle le double produit (2 x a x b). • (3x + 2)² = (5 + 2y)² = • (a – b)² = • (x – 3)² = (-2x – 5)²= • (a + b)(a – b) = • (x+ 2)(x – 2) = (10 – 3x)(10 + 3x) = a² + 2ab + b² (3x)² + 2x3xx2 + 2² 5² + 2x5x2y + (2y)² • 9x² + 12x + 4 • 25 + 20y + 4y² a² – 2ab + b² x² – 6x + 9 (-2x)² – 2x(-2x)x5 +5² 4x² + 20x + 25 a² – b² x² – 2² 10² – (3x)² = x² – 4 = 100 – 9x²

8. II / Identités remarquables Ex55p122: Développer A= (6+x)² B= (6 – x)² C=(6 x x)²D= (3+x)² E= (3 – x)² F=(3 x x)² Ex56p122: Développer A= (5+3x)² B= (5 – 3x)² C=(5 x 3x)² D= (4+2x)² E= (4 – 2x)² F=(4 x 2x)²

9. Ex62p122: Développer A= (2x+5)(2x – 5) B= (x – 3)(x+3) C=(5a+2)(5a – 2) D= (3+5b)(3 – 5b) Ex66p122: Développer A= (5x+7)² B= (4x – 3)(6x+2) C=(2 – 6x)² D= (9x – 3)(9x+3) E= (1+2x)² F= (4 – 7x)(4+7x)

10. Ex68p122: Développer et Réduire A= 5x+ 3(5x+3) B= 4x² + (3x+4)² C= 6x² - (3x +2)² D= 2x - (3x+4)(4x+3) Ex69p122: Développer et Réduire E= 4x² + (x+5)² F= -8x – (2x – 2)² G= 5x + 4(5x+4) H= 10x² – (4x+3)(4x – 3)

11. III - Factoriser une somme: Rappel : (a+b)² = (a–b)² = (a+b)(a–b)= Reconnaître des identités . 9x² + 12x + 4 = 49 – 4x² = 16 – 40x + 25x² = x² + x + 1/4= y² – 81 = -81 + 100x² = III - Factoriser une somme: Factoriser une somme, c’est la transformer en produit. Pour cela il faut : - soit trouver un facteur commun ; - soit trouver une identité remarquable. C’est le procédé « inverse » du développement.

12. Exemples: Factoriser avec un facteur commun A = x² + 4x = xx x + 4 xx = x( x + 4) B = 4(x +5) + 4(2x+3) = 4[ (x +5) + (2x+3) ] = 4(3x + 8) C = (2x + 1)(x – 2) + 6(2x + 1) = (2x + 1) ( x – 2 + 6 ) = (2x + 1) (x + 4) D= (x + 4)² – (1 – 5x)(x + 4) = (x + 4) [ (x + 4) – (1 – 5x) ] = (x + 4) ( x + 4 – 1 + 5x ) = (x + 4) ( 6x + 3 ) On repère le facteur commun : x On le met en facteur et on regroupe les autres termes. On repère le facteur commun : 4 On le met en facteur et on regroupe les autres termes. Même principe, attention au signe « - » devant la parenthèse ! et (x + 4)² = (x + 4)(x + 4)

13. Ex5p117 : Factoriser • A= (2x+5)(9x+6) – (2x+5)(5x-3) • Ex6p117 : Factoriser • B= (6x+2)(4x+3) + (5x+7)(4x+3) • Ex7p117 : Factoriser • C= (3x+6)(3x+5) – (3x+6)(-7x+4) • Ex8p117 : Factoriser • D= (4 -7x)(-3x -8) – (4 -7x)(-6x -2)

14. Ex1p117 : Factoriser • A= • Ex2p117 : Factoriser • C= • Ex3p117 : Factoriser • E= • Ex4p117 : Factoriser • F=

15. Exercice  : Factoriser • A= 2x+10 B= 3x – 12 • C= 6x² – 30 D= 28x + 4x² • E= 15x² + 25 F= 20x² – 30x • G= 7x² + 7 H= 9x – 3

16. Ex50p121  : Factoriser • F= (4x+5)(2x –3) – (4x+5)(5x+2) • G= (3x+2)² – (3x+2)(5x –4) • H= (4x+5)² – (4x+5)

17. Exemples: Factoriser avec les identités remarquables « a² + 2ab + b² » D = 4x² – 12x + 9 = (2x)² – 2 x2xx3 + 3² = (2x – 3)² On reconnaît l’identité remarquable : a² – 2ab + b² = (a – b)² Avec a= 2x et b=3 • Ex9p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a²+2ab+b² • A= 4x² +12x +9 B= 9x² + 6x +4

18. Ex10p118 : Factoriser si possible • C= 9 + 24x + 16x² D= x² +6x +9 • Ex11p118 : Factoriser si possible • E= 9x² - 30x +25 F= 36x² - 12x +1

19. Exemples: Factoriser avec l’identité remarquable « a² – b² » E = 25x² - 16 = (5x)² - 4² = (5x + 4)(5x – 4) F = (3x + 2)² – 25 = (3x + 2)² – 5² = (3x+2 + 5)(3x+2 – 5) = (3x+ 7)(3x – 3) G = (x + 6)² – (2x + 1)² = ((x+6) +(2x+1))((x+6) – (2x+1)) = (x+6 + 2x+1)( x+6 –2x–1) = (3x+7 )( -x+5 ) C’est une différence de deux carrés a²–b² cela se factorise en (a + b)(a – b) ; (3x + 2) a 5  b a²–b² =(a + b)(a – b) ; (x + 6)  a (2x + 1)  b attention au signe « - » devant la parenthèse !  • Ex13p118 : Factoriser avec l’identité remarquable a² - b² • A= 81x² - 16 B= 25 – 4x²

20. Ex14p118 : Factoriser • C= (4x+5)² - 49 D= 25 – (3x-4)² • Ex15p118 : Factoriser • E= (8x+6)² - (6x+2)² F= (5x - 3)² - (2x - 4)²

21. Ex 54p122 – Factoriser si possible: • A=9x² - 36 B= 17x² +3x • C= 9 – 6x + x² D= 25x² + 30x + 9 • E= (4x-5)(8x+7) + (4x-5)(3x-5) F=(3x-5)(6x+7) - (3x-2)(6x+7) • G= (3x-9)² - (3x-9)(8x+4) H= (7x-9)² - (2x-3)² • I= (9x-2)² +(9x-2) J=(4x+3)² - 64

22. Ex82p123: Au Brevet • Soit D= (2x+3)² + (2x+3)(7x -2) • a) Développer, puis réduire D. • b) Factoriser D. • c) Calculer D pour x=-4 • d)Développer l’expression trouvée en b). • Comparer avec l’expression de la question a).

23. Ex100p125: Au Brevet • Soit E= 4x² + 8x – 5Calculer E pour x=0,5 • Soit F= (2x+2)² - 9(1) Développer et réduire F.(2) Factoriser F. • Sans faire de calcul, trouver combien vaut F pour x=0,5

24. Ex18p119: • Soit F= -x² + 12x – 20 • On veut calculer F pour toutes les valeurs entières de x de 1 à 20. • On va afficher dans la colonne A les valeurs de x et dans la colonne B les valeurs correspondantes de F. • a) Quel nombre écrire en A1? Quelle formule entrer dans la cellule A2? • b) Quelle formule entrer dans la cellule B1 pour effectuer le calcul souhaité? • c)Pour quelle valeur de x, F semble-t-il atteindre son maximum?

25. Ex80p123: Au Brevet • Pour chaque expression suivantes: • (1) Développer, puis réduire • (2) Factoriser • (3) Contrôler que l’expression développée est bien égale à l’expression factorisée. • A= (2x - 1)² + (2x -1)(4x +5) B= (x - 1)(4x +5) – (x - 1)² • C= (8x+2)² - 9

26. Ex98p125: Démontrer que PAS est un triangle rectangle. P 4x +4 3x +3 S A 5x + 5

27. Ex92p124: Voici 2 programmes de calcul. • a) Appliquer le programme A au nombre 3: A(3)= • b) Appliquer le programme B au nombre 3: B(3)= • c) Appliquer les programmes A et B au nombre de votre choix: • Quelle conjecture peut-on faire? • La démontrer. • d) A(x) = B(x) = • Programme A: • Choisir un nombre • Lui ajouter 2 • Calculer le carré du résultat • Retrancher 4 au nombre obtenu. • Programme B: • Choisir un nombre • Calculer son carré • Ajouter au résultat le quadruple du nombre choisi.

28. Ex110p126: • a) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABD • b) Ecrire en fonction de x l’aire du triangle ABC • c) En déduire l’aire du triangle ACD. • d) Calculer directement l’aire ACD. A 2x - 4 D B C 8 2x + 4

29. Ex97p125: • Ecrire une formule développée et réduitepour calculer le volume du pavé. • Ecrire une formule développée et réduitepour calculer l’aire totale du pavé. • Utiliser ces formules quand x=3. 3 x + 5 x + 5