GEOSTATYSTYKA
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 27

Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii PowerPoint PPT Presentation


  • 78 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

GEOSTATYSTYKA Wykłady dla III roku Geografii specjalność – geoinformacja Estymacja na podstawie danych jednej zmiennej I. Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM. Podstawy krigingu. Problem :

Download Presentation

Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Alfred stach instytut paleogeografii i geoekologii

GEOSTATYSTYKAWykłady dla III roku Geografiispecjalność – geoinformacjaEstymacja na podstawie danych jednej zmiennejI

Alfred Stach

Instytut Paleogeografii i Geoekologii

Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM


Podstawy krigingu

Podstawy krigingu

Problem:

Estymacja wartości ciągłej cechy z w dowolnej lokalizacji u z wykorzystaniem jedynie istniejących n danych z na obszarze badań A : {z(ua), a=1, ...., n}

Rozwiązanie:

Kriging to nazwa własna grupy algorytmów opartych na uogólnionej regresji metodą najmniejszych kwadratów, przyjęta przez geostatystyków dla uhonorowania pionierskich prac południowoafrykańskiego geologa Danie Krige (1951)


Podstawy krigingu1

Podstawy krigingu

  • Wszystkie estymatory krigingowe są wariantami podstawowej formuły regresji liniowej zgodnie z poniższym wzorem:

gdzie:(u) jest wagą przypisaną do danej z(u), która jest interpretowana jako realizacja Zmiennej Losowej Z(u).

Wartości m(u) i m(u) to oczekiwane wartości ZLZ(u) i Z(u).


Podstawy krigingu2

Interpretacja nieznanej wartości z(u) i wartosci danych z(u) jako realizacji ZLZ(u) i Z(u) pozwala na zdefiniowanie błędu estymacji jako zmiennej losowej Z*(u) – Z(u). Wszystkie zalety krigingu wynikają z tego samego założenia minimalizacji wariancji (błędu) estymacji przy respektowaniu warunku nieobciążenia estymatora, czyli:

Podstawy krigingu

Ilość danych używanych do estymacji oraz ich wagi mogą się zmieniać przy kolejnych lokalizacjach. W praktyce używane jest jedynie n(u) danych leżących najbliżej lokalizacji punktu estymacji, to jest dane znajdujące się w określonym sąsiedztwie/oknie W(u) mający swoje centrum w u.


Podstawy krigingu3

jest minimalizowany przy uwzględnieniu ograniczenia, że:

Estymacja za pomocą krigingu może się różnić ze względu na przyjęty model Funkcji Losowej Z(u). Przyjmuje się zazwyczaj, że FLZ(u) można rozłożyć na dwa komponenty: trend m(u) i resztę R(u):

Podstawy krigingu


Podstawy krigingu4

Składowa resztowa jest modelowana jako stacjonarna FL o średniej równej zero i kowariancji CR(h):

Oczekiwana wartość ZLZ w lokalizacji u jest zatem równa wartości składowej trendu w tej lokalizacji:

Podstawy krigingu


Podstawy krigingu5

1. Prosty kriging (Simple Kriging) zakłada że średnia m(u) jest znana i stała na całym analizowanym obszarze A:

2. Zwykły kriging (Ordinary Kriging) uwzględnia lokalne fluktuacje średniej, ograniczając domenę stacjonarności średniej do lokalnego sąsiedztwa (ruchomego okna) W(u):

w przeciwieństwie do SK w tym przypadku średnia jest traktowana jako nieznana.

Podstawy krigingu

W zależności od przyjętego modelu trendu m(u) możemy wyróżnić trzy warianty krigingu:


Czy lokalna rednia jest w przypadku danych satelitarnych ze spitsbergenu sta a

Próbka losowa, zmienna b3n_03b

Próbka losowa, zmienna b1_03b

Czy lokalna średnia jest w przypadku danych satelitarnych ze Spitsbergenu stała?


Podstawy krigingu6

3. Kriging z trendem (Kriging with a Trend model) zakłada że nieznana lokalna średnia m(u´) zmienia się stopniowo wewnątrz każdego lokalnego sąsiedztwa (okna) W(u), a zatem również w całym obszarze A. Składowa trendu jest modelowana jako liniowa funkcja współrzędnych fk(u):

Podstawy krigingu

Współczynniki ak(u´) są nieznane, lecz zakłada się, że są one stałe w obrębie każdego lokalnego sąsiedztwa W(u). Przyjęto, że f0(u´) = 1, tak więc przypadek gdzie K = 0 jest odpowiednikiem zwykłego krigingu (stała lecz nieznana średnia a0).


Prosty kriging sk

n(u) wag jest w taki sposób wyznaczane, aby zminimalizować wariancję błędów uwzględnia-jąc kryterium nieobciążenia estymatora.

Prosty kriging (SK)

Modelowanie składowej trendu (-owej) m(u) jako znanej stacjonarnej średniej m pozwala na zapisanie formuły estymatora jako liniowej kombinacji (n(u)+1) danych: n(u) ZL Z(u) i wartości średniej m:


Prosty kriging

Estymator prostego krigingu (SK) jest z góry nieobciążony ponieważ średni błąd jest równy 0. Używając pierwszej formy zapisu estymatora SK możemy stwierdzić, że:

Estymacja metodą prostego krigingu wykonywana jest za pomocą układu n(u) równań liniowych znanych pod nazwą układu zwykłych równań, które można zapisać używając kowariancji zmiennej zw postaci:

Prosty kriging


Prosty kriging1

Wariancja błędu – wariancja SK:

Układ równań SK można również zapisać w postaci macierzowej:

Gdzie KSK jest macierzą kowariancji danych o wymiarach n(u) n(u), SK jest wektorem wag SK, a kSK jest wektorem kowariancji dane-do-nieznanej

Prosty kriging

Prosty kriging – notacja macierzowa


Prosty kriging notacja macierzowa

Prosty kriging – notacja macierzowa


Prosty kriging notacja macierzowa1

Wagi krigingowe wymagane do estymacji SK są obliczane przez mnożenie odwrotności macierzy kowariancji danych przez wektor kowariancji dane-do-nieznanej:

Odpowiedni zapis macierzowy wariancji krigingowej SK jest następujący:

Prosty kriging – notacja macierzowa


Prosty kriging2

Prosty kriging

  • System równań SK ma jednoznaczne rozwiązanie i wynikowa wariancja krigingowa jest dodatnia, jeżeli macierz kowariancji KSK = [C(u - u)] jest pozytywnie określona, czyli w praktyce:

  • żadna para danych nie ma takiej samej lokalizacji: u  u dla   

  • zastosowano dopuszczalny model kowariancji C(h)

Podstawowe cechy estymatora SK

  • Jest to estymator wierny – to znaczy, że wartość estymowana w lokalizacji punktu danych jest jemu równa,

  • Jeśli lokalizacja estymacji znajduje się poza zasięgiem autokorelacji w stosunku najbliższego punktu danych wartość estymowana jest równa stacjonarnej średniej m


Prosty kriging przyk ady

Prosty kriging – przykłady

Estymacja cechy w punkcie 0 za pomocą danych pomiarowych z punktów 1,2 i 3.

Korzystając z relacji: C(h) = C(0) - (h)


Prosty kriging przyk ady1

Prosty kriging – przykłady

Prosty kriging dla modelu z zerowym efektem nuggetowym i izotropowym wariogramem sferycznym o trzech różnych zasięgach.


Prosty kriging przyk ady2

Prosty kriging – przykłady

Prosty kriging dla modelu z izotropowym wariogramem sferycznym o zasięgu 10 jednostek odległości i trzech różnych względnych udziałach wariancji nuggetowej


Prosty kriging przyk ady3

Prosty kriging – przykłady

Prosty kriging dla sferycznego modelu z 25% nuggetem i zasięgiem głównej osi wynoszącym 10 jednostek odległości w przypadku trzech różnych stosunków anizotropii


Prosty przyk ad estymacji sk

Dane jednowymiarowe:

profil 7 punktów b1_03b

przy Y = 240 m

Izotropowy model semiwariancji obliczony dla wszystkich 256 danych

Prosty przykład estymacji SK


Prosty przyk ad estymacji sk1

Prosty przykład estymacji SK

Dane jednowymiarowe: profil dla Y = 240 m


Prosty kriging zmienna b1 03b

Prosty kriging – zmienna b1_03b


Prosty kriging zmienna b1 03b1

Prosty kriging – zmienna b1_03b


Prosty kriging zmienna b1 03b2

Prosty kriging – zmienna b1_03b


Weryfikacja jako ci modelu kroswalidacja

Weryfikacja jakości modelu -kroswalidacja


Weryfikacja jako ci modelu kroswalidacja1

Weryfikacja jakości modelu -kroswalidacja


Weryfikacja jako ci modelu walidacja podzbioru

Weryfikacja jakości modelu – walidacja podzbioru


  • Login