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7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 2 PowerPoint PPT Presentation


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7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 2. 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg (Burden-Faires) 7.2.1 Extrapolação de Richardson 7.2.2 Fórmula de Romberg 7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires) 7.4 Integração Dupla (Burden-Faires) 7.5 Método de Monte Carlo (Burian).

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7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 2

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7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 2

7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero)

7.2 Método de Romberg (Burden-Faires)

7.2.1 Extrapolação de Richardson

7.2.2 Fórmula de Romberg

7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires)

7.4 Integração Dupla (Burden-Faires)

7.5 Método de Monte Carlo (Burian)

hoje


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes

  • Na primeira aula de integração vimos as fórmulas de Newton-Cotes, ou seja, método do trapézio, método de Simpson....

  • Thomas Simpson (1710-1761)

  • Note que ele é contemporâneo de Euler e Daniel Bernoulli.

  • Ele viveu no período do auge do desenvolvimento de métodos para resolução de EDO’s.

  • Seu principal interesse era a Teoria das Probabilidades.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes

  • As fórmulas de Newton Côtes não são adequadas para intervalos regulares de integração e polinômios de alto grau.

  • Quanto o polinômio for de alto grau, em subintervalos onde f(x) é quase-constante, ocorre o fenômeno de Runge

  • Quando a função varia muito num subinter-valo, o ajuste é ruim devido ao fato da partição ser regular.

    Assim, dada uma partição teremos fenômeno de

    Runge ou ajuste ruim, dado o polinômio interpo-

    lador!!!!


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.1 - Métodos de Newton-Cotes Repetidos

  • O Método de Newton-Cotes Repetido ou Generalizado ou Composto consiste em resolver uma dada integral, por partes, através de subintervalos.

  • A aproximação por partes de uma integral é freqüentemente efetiva.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes

  • As fórmulas de Newton-Cotes são expressões para integrais, onde são consideradas várias subdivisões do intervalo de integração, que variam conforme o grau do polinômio ajusta-do nos subintervalos.

  • Polinômio de grau 1 Regra do Trapézio

  • Polinômio de grau 2 Regra Simpson 1/3

  • Polinômio de grau 3 Regra Simpson 3/8

  • Polinômio de grau 4 (Livro Burden-Faires)....


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 - Método de Romberg

O Método de Romberg utiliza a Regra do Trapézio repetida para obter aproxima-ções preliminares e em seguida aplica um processo de extrapolação de Richardson para melhor a aproxima-ção.

Regra Romberg

||

Trapézio Repetida+Extrapolação Richardson


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

A extrapolação de Richardson sempre é utilizada para gerar resultados de alta precisão, quando se usam fórmulas de Newton-Cotes de baixo grau.

L.F. Richardson e J.A. Gaunt, The deferred approach to the limit. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v.226A, p.299-361, 1927.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

Esta técnica pode ser aplicada quando a aproximação inicial tem um erro previsí-vel dependente de um parâmetro, normalmente o tamanho do passo .

Suponha que a cada passo, a integral

aproxime-se de um valor desconhecido ,

e que o erro de truncamento tenha a forma:

Hipótese: o erro do procedimento é h-dependente


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

Definição:”Diz-se que as aproximações

de , dependentes de um passo , são de

ordem em se

,

onde é uma constante -independente“

  • Método do Trapézio fornece aproximações de ordem 2

  • Métodos de Simpson fornecem aproximações de ordem 4


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

  • Método do Trapézio fornece aproximações de ordem 2

  • Métodos de Simpson fornecem aproximações de ordem 4


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

  • Demonstra-se que o erro da regra do trapézio é uma série infinita de potências de , gerados pela série Taylor da dife-rença entre a função e a reta da interpolação. Assim, fica claro que o erro de truncamento de uma aproximação tem a forma


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

Para determinar , como pode

ser qualquer, consideremos na expres-

são (1), ou seja,

Multiplicando (2) por 2 e subtraindo de (1)

Observe que substituído por seu valor.

Continuando o procedimento obtemos


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

Fazendo definimos

Segue que a fórmula de aproximação de

ordem para M,

Substituindo na expressão acima,

obtemos a aproximação na ordem seguinte.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson

A fórmula de aproximação de ordem

para M é dada por

e assim por diante.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

O primeiro passo do procedimento de Romberg obtém as aproximações repetidas pela Regra do trapézio para

RECORDAÇÃO DA REGRA DO TRAPÉZIO REPETIDA


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

A Regra do Trapézio Repetida com a notação

Nesta notação, a Regra do Trapézio Repetida

escreve-se como

Note que para k=1 não há termo a ser somado


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Introduzindo a notação


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Temos a aproximação da Regra do Trapézio em ordem genérica para a integral a ser calculada, ou seja,

Comentário: Ainda estamos no passo 1 do Método de Romberg calculando aproximações preliminares via Regra do trapézio.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Exercício: Utilize a Regra do Trapézio Repeti-

da para realizar o primeiro passo do esque-

ma da integração de Romberg para obter

uma aproximação da integral

para . Calculando os obtemos:


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Calculando


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Como o resultado exato da integral é

a convergência é bastante lenta!

Utilizaremos a extrapolação de Richardson para acelerar a convergência.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Do Método da extrapolação de Richardson, escrevemos a Regra do Trapézio Repetida

Como (1)

Fazendo na equação acima e multiplicando

por 4, obtemos:

(2)


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Fazendo (2)-(1), eliminamos o termo

A extrapolação de Richardson pode ser apli-

cada fornecendo resultado para a integral da

ordem . Obtemos:


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Continuando o procedimento, uma fórmula

para a integral a ser calculada, com ordem

de aproximação , é dada por

A partir de (3) geramos a tabela de Romberg


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Tabela de Romberg:


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Aplicando no exemplo


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Comentários:

1- Somente a primeira coluna exige cálculo de função devido a Regra do Trapézio. O cálculo de função (por exemplo, a partir de uma tabela de dados experimentais) pode ser realizado por interpolaçaõ ou extrapolação spline. A primeira coluna tem alto custo computacional. As demais colunas não envolvem cálculos de função e aceleram a convergência do processo. Esta é a vantagem do método de Romberg.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Comentários:

2- Devemos definir o inteiro n predefinindo o tamanho da tabela de Romberg. Esta abordagem não é ótima, pois podemos já ter atingido a convergência desejada e ainda estarmos preenchendo a tabela de Romberg, como no exemplo dado.

3- Também temos que definir uma tolerância de erro para parar o cálculo. Podemos utilizar este erro como critério de parada. Quando a diferença entre próximos vizinhos for menor que o erro dado, paramos o procedimento numérico.


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INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg

Exercícios Rugiero capítulo 7: 2, 4, 13.

Faça o exercício 13, também, por Romberg.

Exercício facultativo: 16


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