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2007.10.26

用二分法求方程的近似解. 2007.10.26. 问题情境：. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条 10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？        如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。        想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？. 答　　案：. 提出问题 ：. 1. 能否求解以下几个方程 (1) 2 x =4-x (2) x 3 +3x-1=0. 2. 能否求出它们的近似解？. y=2 x. y. 4. y =4- x. 1. x. 2.

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2007.10.26

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  1. 用二分法求方程的近似解 2007.10.26

  2. 问题情境： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？        如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。        想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

  3. 答　　案：

  4. 提出问题： 1.能否求解以下几个方程 (1) 2x=4-x (2) x3+3x-1=0 2.能否求出它们的近似解？

  5. y=2x y 4 y=4-x 1 x 2 1 0 4 3.什么方法？ 4.能否找到其它的方法，使解更精确？

  6. y y=x2-2x-1 x 1 0 2 3 -1 探究解法 不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）? 方法：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象，能够缩小根所在的区间，并根据f(2)<0,f(3)>0，可得出根所在区间为(2,3).

  7. - + f(2)<0，f(3)>0 2<x1<3 2 3 - + f(2)<0，f(2.5)>0 2<x1<2.5 2 2.5 3 - + f(2.25)<0，f(2.5)>0 2.25<x1<2.5 2 2.25 2.5 3 - + f(2.375)<0，f(2.5)>0 2.375<x1<2.5 2 2.375 2.5 3 - + f(2.375)<0，f(2.4375)>0 2.375<x1<2.4375 2 2.375 2.4375 3 方法探究 如何求方程 x2-2x-1=0 的一个正的近似解 . （精确到0.1）

  8. （2）能否简述上述求方程近似解的过程? （3）二分法（bisection method）：象上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法。 定义如下： 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）

  9. 自行探究 利用计算器，求方程 lgx=3-x的近似解.（精确到0.1） 解：画出y=lgx及y=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x，且这个解在区间（2，3）内。 设 f (x)=lgx+x-3

  10. （2，3） f(2)<0，f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 （2.5，3） f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.75)>0 （2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 （2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0 （2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0 因为2.5625，2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的 近似解为x1≈2.6 .

  11. 归纳总结 用二分法求方程 f(x)=0（或g(x)=h(x)）近似解的基本步骤: 1、寻找解所在区间 （1）图象法 先画出y= f(x)图象，观察图象与x轴的交点横坐标所处的范围； 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象，观察两图象的交点横坐标的范围。 （2）函数法 把方程均转换为 f(x)=0的形式，再利用函数y=f(x)的有关性质（如单调性）来判断解所在的区间。

  12. 2、根据精确度得出近似解 当 ，且m, n根据精确度得到的近似值均为同 一个值P时，则x1≈P ，即求得近似解。

  13. 尝试练习： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确到0.1) 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？

  14. 解：令f(x)=x3+3x-1, 有f(0)<0,f(1)>0,则方程的解在0,1之间。 f(0)<0，f(1)>0 （0，1） f(0.5)>0 0.5 f(0.25)<0 0.25 （0，0.5） f(0)<0，f(0.5)>0 （0.25，0.5） f(0.25)<0，f(0.5)>0 f(0.375)>0 0.375 f(0.3125)<0 f(0.25)<0，f(0.375)>0 （0.25，0.375） 0.3125 （0.3125，0.375）

  15. y y y = x y x o x o x o x x = 1 2 拓展练习： 1、下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( ) B C D B A

  16. 4次等分，区间长度为 ； 5次等分，区间长度为 。 解：1次等分，区间长度为1； 2次等分，区间长度为 ； 3次等分，区间长度为 ； 2、图象连续不间断的函数f(x)定义在[2，4]上，若有f(2)·f(4)<0，要用二分法求函数f(x)的一个零点，误差不超过0.1，最多将进行次二等分区间。 5

  17. 解：设 =x，则建立函数f(x)=x3－3，求f(x)的零点的近似值。 探究练习： 不用计算器，求 的近似值（精确到0.01） 取a=1，b=2，f(1)=－2<0，f(2)=5>0， x1=1.5，f(x1)=0.375>0，区间[1，1.5]， x2=1.25，f(x2)=－0.0469<0，区间[1.25，1.5]， x3=1.375，f(x3)=0.5996>0，区间[1.25，1.375]，

  18. ∴ 1.26. x4=1.3125，f(x4)=0.2610，区间[1.25，1.3125]， x5=1.28125，f(x5)=0.1033>0，区间[1.25，1.28125]， x6=1.26562，f(x6)=0.0273，区间[1.25，1.26562]， x7=1.25781，f(x7)=－0.1，区间[1.25781，1.26562]，

  19. 收获与体会： • 通过这节课，你学到了什么？

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