1 / 21

Memecahkan Relasi Recurrence

Memecahkan Relasi Recurrence. Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen. Relasi recurrence linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan. Bentuk umum: a n = c 1 a n-1 + c 2 a n-2 + … + c k a n-k ,

mrinal
Download Presentation

Memecahkan Relasi Recurrence

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Memecahkan Relasi Recurrence Relasi recurrence linear homogen Relasi recurrence linear tak homogen

  2. Relasi recurrence linear homogen berderajat k dengan koefisien konstan Bentuk umum: an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k, dengan c1, c2, …, ck bilangan real dan ck  0. Contoh. 1. Pn = (1.12)Pn-1 2. fn = fn-1 + fn-2 3. Hn = 2Hn-1 + 1 4. an = an-1 + (an-2)2 5. Tn = nTn-2 homogen linear berderajat 1 homogen linear berderajat 2 linear tapi tak homogen tak linear koefisien tak konstan Hanya mengkaji relasi linear dengan koefisien konstan!

  3. Mencari solusi Langkah dasar dalam memecahkan relasi recurrence homogen linear adalah mencari solusi dalam bentuk an = rn dengan r konstan. an = rnadalahsolusi dari an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k jika dan hanya jika rn = c1 rn-1+c2 rn-2+ … + ck rn-k. Bila kedua ruas dibagi dengan rn-k diperoleh: rk - c1 rk-1- c2 rk-2- … - ck-1 r - ck = 0. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari relasi recurrence. Solusi dari persamaan ini disebut akar karakteristik.

  4. Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar berbeda Teorema 1 Misalkan c1, c2 bilangan real dan r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai dua akar berbeda r1 dan r2. Maka semua solusi dari relasi recurrence an = c1 an-1 + c2 an-2 berbentuk an = 1r1n + 2r2n, n=0,1,2,… dengan 1 dan 2 konstan. Bukti. Lihat di buku!

  5. Contoh (1) Carilah solusi dari an = an-1 + 2an-2 dengan a0 = 2 dan a1 =7. Solusi. Persamaan karakteristiknya r2 - r - 2 = 0, mempunyai akar r = 2 dan r = -1. Menurut Teorema 1, solusi relasi recurrence berbentuk an= 1 2n + 2 (-1)n . Karena a0= 2 dan a1= 7, diperoleh an = 32n - (-1)n .

  6. Soal (1) Tentukan formula eksplisit dari bilangan Fibonacci. Ingat bahwa bilangan Fibonacci fn memenuhi relasi fn = fn-1 + fn-2 dan kondisi awal f0=1, f1=1

  7. Solusi relasi recurrence homogen orde 2 dengan akar tunggal Teorema 2 Misalkan c1, c2 bilangan real dengan c2 0 dan r2 - c1r - c2 = 0 mempunyai hanya satu akar r0. Maka semua solusi dari relasi recurrence an = c1 an-1 + c2 an-2 berbentuk an = 1 r0n + 2 nr0n, n=0,1,2,… dengan 1 dan 2 konstan. Bukti. Latihan!

  8. Soal (2) Tentukan solusi dari relasi recurrence an = 6an-1- 9an-2 dengan kondisi awal a0 = 1 dan a1 = 6.

  9. Solusi relasi recurrence homogen orde n dengan akar berbeda Teorema 3 Misalkan c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan karakteristik rk - c1 rk-1- c2 rk-2- … - ck-1 r - ck = 0 mempunyai k akar r1, r2, …, rk yang berbeda. Maka, solusi relasi recurrence an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k selalu berbentuk an = 1r1n + 2r2n + … + krkn , n=0,1,2,… dengani , i=0,1,…,kkonstan.

  10. Contoh (2) Tentukan solusi dari relasi recurrence an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3 dengan kondisi awal a0=2, a1=5 dan a2=15. Solusi. Persamaan karakteristiknya r3 - 6r2 + 11r - 6 = 0. Jadi akar-akarnya r=1, r=2 dan r=3. Dengan demikian, solusinya berbentuk an = 11n + 22n + k3n . Dari kondisi awalnya diperoleh an = 1 - 2n + 2  3n .

  11. Solusi relasi recurrence homogen orde 2 Teorema 4 Misal c1, c2, …, ck bilangan real dan persamaan karakteristik rk - c1 rk-1- c2 rk-2- … - ck-1 r - ck = 0 mempunyai t akar r1, r2, … , rtberbeda dengan multiplisitas m1, m2, … , mt (m1+ m2 + … + mt = k). Maka solusi relasi recurrence an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k selalu berbentuk an = (1,0 + 1,1n + … + 1,m1-1 nm1-1)r1n + (2,0 + 2,1n + … + 2,m2-1 nm2-1)r2n + … + (t,0 + t,1n + … + t,mt-1 nmt-1)rtn

  12. Contoh (3) Tentukan solusi dari relasi recurrence an = -3an-1 - 3an-2 - an-3 dengan kondisi awal a0 = 1, a1 = -2 dan a2 = -1. Solusi. Persamaan karakteristiknya r3 + 3r2 + 3r +1 = 0. Jadi akarnya r = -1 dgn multiplisitas 3. Dengan demikian, solusinya berbentuk an = 1,0 (-1)n + 1,1 n (-1)n + 1,2 n2 (-1)n . Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh an = (1 +3n-2n2) (-1)n.

  13. Relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan Contoh. an = 3an-2 + 5n Secara umum, an = c1 an-1 + c2 an-2 + … + ck an-k + F(n) dengan ci , i=0,1,2,… konstan dan F(n) fungsi tak nol. an = c1an-1+c2an-2+ … + ck an-k disebut relasi recurrence homogen yang berkaitan. Contoh. an = an-1 + 2n an = an-1 + an-2 + an-3 + n!

  14. Teorema 5 Jika {an(p)} adalah solusi khusus dari relasi recurrence tak homogen linear dengan koefisien konstan an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n) maka setiap solusi berbentuk {an(p) + an(h)}, dengan {an(h)} solusi relasi recurrence homogen yang berkaitan an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k.

  15. Contoh (4) Tentukan semua solusi dari relasi recurrence an = 3an-1 + 2n. Solusi. Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu, maka kita coba polinom berderajat satu pn = cn + d, dengan c dan d konstan untuk mendapatkan solusi khusus. Didapat, pn = 3pn-1 + 2n cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n (-2c-2)n + (3c-2d) = 0 Sehingga c = -1 dan d = -3/2. Jadi, solusi khususnya an(p) = -n - 3/2.

  16. Contoh (5) Solusi homogen dari relasi homogen yang berkaitan, an = 3an-1 adalah an(h) = 3n, dengan  konstan. Menurut Teorema 5, solusi umum dari an = 3an-1 + 2n adalah an = an(p) + an(h) = -n - 3/2 + 3n. Jika diketahui a1 = 3, maka solusi menjadi an = -n - 3/2 + (11/6) 3n.

  17. Contoh (6) Tentukan semua solusi dari relasi recurrence: an = 5an-1 - 6an-2 + 7n. Solusi. Solusi homogennya adalah an(h) = 13n + 22n. Karena F(n) = 7n, solusi khusus yg perlu dicoba adalah an(p) = c 7n. Maka, c 7n = 5c 7n-1 – 6c 7n-2 + 7n. Diperoleh c = 49/20. Jadi, solusi umumnya: an = 13n + 22n + 49/20 7n.

  18. Teorema 6 Misalkan {an} memenuhi relasi recurrence tak homogen linear an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n) dengan ci , i=1,2,…,k bilangan real dan F(n) = (btnt + bt-1nt-1+ … + b1n + b0) sn dengan bi , i=0,1,…,t dan s bilangan real. Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi recurrence homogen yang berkaitan, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk (ptnt + pt-1nt-1+ … + p1n + p0) sn Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk F(n) = nm (ptnt + pt-1nt-1+ … + p1n + p0) sn

  19. Contoh (7) Carilah solusi khusus dari relasi recurrence an = 6an-1 - 9an-2 + F(n) bila • F(n) = 3n, • F(n) = n 3n, • F(n) = n2 2n, dan • F(n) = (n2+1) 3n Solusi. Solusi homogennya adalah an(h) = 13n + 2n3n. Dan solusi khususnya adalah • an(p) = p0 n2 3n. • an(p) = n2 (p1n+p0)3n. • an(p) = (p2n2+p1n+p0)2n. • an(p) = n2(p2n2+p1n+p0)3n.

  20. Contoh (8) – Menara Hanoi Tentukan solusi dari relasi recurrence Hn = 2Hn-1 + 1, H1 = 1, dan H2 = 3 Solusi. Relasi homogen yang berkaitan adalah Hn = 2Hn-1 dan solusi homogennya Hn(h) =  2n. Karena F(n) = 1 = 1n, maka solusi khususnya adalah Hn(p) = p0 1n = p0. Sehingga solusi umumnya adalah Hn =  2n +p0 Dengan memandang H1 = 1 dan H2 = 3 diperoleh =1 dan p0= -1. Jadi, Hn = 2n - 1

  21. Soal (3) • Ada berapa cara untuk menutup suatu papan persegi panjang berukuran 2 x n dengan menggunakan papan-papan kecil yang berukuran 1 x 2 dan 2 x 2. • Misalkan an adalah jumlah n bilangan bulat positif pertama. Berikan formula eksplisit dari an.

More Related