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Lógica Proposicional PowerPoint PPT Presentation


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Lógica Proposicional. Lógica Proposicional. Até agora estudamos a Lógica de maneira informal. A Lógica formal é o estudo de formas de argumento , isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos.

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Lógica Proposicional

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Presentation Transcript


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Lógica Proposicional


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Lógica Proposicional

  • Até agora estudamos a Lógica de maneira informal.

  • A Lógica formal é o estudo de formas de argumento, isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos.

  • Iniciaremos nosso estudo formal com a Lógica Proposicional. Abordaremos a sintaxe e a semântica seguindo o seguinte roteiro de estudo:


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Lógica Proposicional(Roteiro de Estudo)

  • Sintaxe: (Cap 3 - Livro do J. Nolt)

    • Linguagem da Lógica Proposicional

      • Formas de Argumento

      • Formalização

    • Regras de Inferência

      • Não-Hipotéticas

      • Hipotéticas

      • Derivadas

    • Sistema Formal

  • Semântica: (Cap 2 - Livro do Chang e Lee)

    • Semântica dos operadores e interpretação

    • Satisfatibilidade, validade e consequência lógica

    • Método de prova: Tabela Verdade

    • Formas Normais


Formas de argumento exemplos l.jpg

Formas de Argumento Exemplos:

1 . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.

. Hoje não é segunda-feira.

 Hoje é sexta-feira.

2 . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou.

. Não foi Rembrandt quem a pintou.

Michelângelo pintou a Mona Lisa.

3 . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.

. Ele não é menor de 18 anos.

Ele é um irresponsável.


Formas de argumento l.jpg

Formas de Argumento

  • Os 3 argumentos são da seguinte forma:

    . P ou Q

    . Não é o caso que P

     Q

  • As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais).

    P pode representar: Hoje é segunda-feira.

    Q pode representar: Hoje é terça-feira.


Formas de argumento6 l.jpg

Formas de Argumento

  • Com essa representação, a forma anterior representa o argumento 1 do exemplo.

  • Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias da forma:

    . P ou Q

    . Não é o caso que P

     Q

  • Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.


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Formas de Argumento

  • A lógica trata de formas de argumentos consistindo de letras sentenciais combinadas com as expressões:

    • Não é o caso que

    • E

    • Ou

    • Se ... então

    • Se e somente se

  • Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.


Formas de argumento conectivo n o o caso que l.jpg

Formas de ArgumentoConectivo Não é o caso que

  • Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a qual chamamos a negação da primeira.

    Exemplo: A sentença

    'Não é o caso que ele é fumante‘ é a negação da sentença

    'Ele é fumante'.

  • Variações gramaticais da negação:

    ´Ele é não-fumante’,

    ´Ele não é fumante’ e

    ´Ele não fuma’.


Formas de argumento conectivo e l.jpg

Formas de ArgumentoConectivo E

  • Uma composição constituindo-se de duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção.

    Exemplo: Chove e faz calor

  • A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ...

    ”Chove mas faz calor”


Formas de argumento conectivo ou l.jpg

Formas de ArgumentoConectivo Ou

  • Um enunciado composto consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção.

    Exemplo: Chove ou faz calor


Formas de argumento conectivo se ent o l.jpg

Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Enunciados do tipo se... então ... chamam-se condicionais.

  • O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente.

  • Forma do condicional:

    Se antecedente então consequente

    Ex: ‘Se sinto frio então visto o casaco '.


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Se antecedente então consequente

    • O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente

    • O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente

  • Exemplo:

    • Se é Juiz então é advogado

      • o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado

      • para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?

    • Se aluno foi aprovado então

      assistiu aula,

      é estudioso,

      fez muitos exercícios de lógica

      tem um bom método de estudo


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?

  • Se aluno foi aprovado então

    assistiu aula,

    é estudioso,

    fez muitos exercícios de lógica

    tem um bom método de estudo


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Exemplo:

    ‘O fogo é uma condição necessária para a fumaça´ ou

    ‘Se houver fumaça haverá fogo’

  • Exemplo:

    ‘Se chover então molha a rua´

    • é suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada

    • o fato da rua ficar molhada não garante que choveu


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Uma condicional também pode ser expressa na ordem inversa.

    ‘Visto o casaco se sentir frio‘

    mantém a semântica de

    ‘ Se sentir frio, visto o casaco’

    ‘ Se sentir frio então visto o casaco’


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Variações gramaticais da condicional: (P e Q sentenças quaisquer)

    • Se P então Q

    • P implicaem Q; P, logo Q

    • P só se Q; P somente se Q

    • P apenas se Q; P só quando Q

    • Q se P ; Q segue de P

    • P é condição suficiente para Q

    • Q é condição necessária para P


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Variações gramaticais da condicional:

    Exemplo:

    • Se chove então molha a rua.

    • Chover implica em molhar a rua.

    • Chove somente se molha a rua

    • Se chove, logo molha a rua

    • Molha a rua, se chove

    • Chover é condição suficiente para molhar a rua

    • Molhar a rua é condição necessária para chover


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Os advérbios só, somente e apenas tem significados diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio


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Formas de ArgumentoConectivo Se ... então

  • Exercício. Identifique antecedente e conseqüente das seguintes proposições:

    • Se a chuva continuar o rio vai transbordar.

    • Maria vende o carro, se comprar a casa.

    • Maria vende o carro só se comprar a casa.

    • Os abacates só estão maduros quando estão escuros e macios.


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Formas de ArgumentoConectivo Se e somente se

  • Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais.

  • Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais.


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Formas de ArgumentoConectivo Se e somente se

  • P se e somente se Q

  • P se Q e P somente se Q

  • Se Q então P e P somente se Q

  • Se Q então P e Se P então Q

  • Se P então Q e Se Q então P


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Formas de ArgumentoConectivo Se e somente se

Exemplo:

'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.‘

Equivale:

T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados.

Que equivale:

Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um triângulo entãoT é um polígono de três lados.


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Formas de ArgumentoConectivo Se e somente se

'T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados'.

equivale a:

'Se T é um triângulo então T é um polígono de 3 lados'.


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Formas de Argumento Formalização

  • Para facilitar o reconhecimento e a comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo especial:

    • Não é o caso que: ~ ou ┐

    • E: ^ ou &

    • Ou: v

    • Se ... então: 

    • Se e somente se: 


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Formas de Argumento Formalização

  • O Silogismo disjuntivo é simbolizado:

    . P v Q

    . ~P

     Q

    Ou assim,

    { P v Q , ~P} ├ Q


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Formas de Argumento Formalização

{ P v Q , ~P} ├ Q

o traço de asserção (afirmação), ├ ,

significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.


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Formas de Argumento Formalização

  • A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional.

  • O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica:

    Mostrar a Validade de certas formas de argumento.


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Formas de Argumento Formalização

  • Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas.

  • Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida.

  • Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.


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Formas de Argumento Formalização

  • Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas.

    Exemplo:

    O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto

    ‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa.

  • O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira.


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Formas de Argumento Formalização

  • Observe a seguinte forma de argumento:

    . Se P então Q.

    . Q.

     P

    Ou: {P Q, Q} |-- P

  • Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida:

    Se você está dançando na Lua então você está vivo.

    Você está vivo.

    Você está dançando na Lua.


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Formas de Argumento Formalização

  • Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue.

    A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira.


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Solução:

  • 1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira]. (C,S,A)

    C: A proposta de auxílio está no correio.

    S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.

    A: Os árbitros analisarão a proposta.

    {C, SA, CS} |-- A

    1 + 2 + 4

    3


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Fórmula bem formada – wff – well-formed formula

  • Qualquer letra sentencial é uma wff.

  • Se Φ é uma wff, então ~Φ

    também o é.

  • Se Φ e Ψ são wff, então

    (Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.


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Exercícios:

1) Quais das expressões seguintes são fórmulas (wff's) e quais não são:

a)~~~R

b)(~R)

c)PQ

d)~(PQ)

e) ~(~P ^ ~Q)


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Exercícios:

2) Formalize os seguintes argumentos usando as letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar.

a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado.

c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira.

d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.


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Exercícios:

d) "Hoje é quarta-feira ou sexta-feira. Mas não pode ser quarta-feira, pois o consultório do médico estava aberto esta manhã, e aquele consultório está sempre fechado às quartas. Portanto, hoje deve ser sexta-feira."


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Exercícios:

Q: hoje é quarta-feira

X: hoje é sexta-feira

C: consultório aberto

{Q v X, (C ^(Q -> ~C))} |- X


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