Izračun dolžine dneva in čas vzhoda in zahoda tekom leta

1. Izračun dolžine dneva in čas vzhoda in zahoda tekom leta Simon Stegel simon@stegel.net http://stegel.net/mof/

2. Uvod • Dejavniki, ki vplivajo na čas vzhoda / zahoda Sonca • Lom svetlobe v atmosferi • Okolica točke, kjer opazujemo (hribovje,...) • Zemljepisna širina (λ) • Kot med ekvatorjalno in ekliptično ravnino

3. Način izračuna • Računski modeli: • Uporaba Julijanskega dneva Joseph Scaliger – 16. stoletje Epoch2000 (JD2000) • Izračun z vektorskim modelom • ...

4. Začetni pogoji: • Držali se bomo štirih preprostih dejstev: • 21.12 je moj rojstni dan (najkrajši dan v letu) • 21.6 je najdaljši dan v letu • Obstajata dva dneva, ko sta dan in noč enako dolga • Isti dan ima vsako leto enako dolg dan

5. Pomembne postavke • Zemlja se zavrti okrog lastne osi v 24 h • Vsakih 365,25 dni opravi pot okrog Sonca (ekliptika) – vsako 4. leto prestopno • Zamislimo si X-Y-Z koordinatni sistem (Z je normala na ekliptično ravnino) • Želim izračunati čas vzhoda / zahoda Sonca v točki T (iz nje pravokotno na ravnino vektor T). • Φ , ki ga opravi na koordinatnem sistemu X-Y je 360 stopinj / dan • λ je naša zemljepisna širina

6. Pomembne postavke Λ = 46,05 stopinje severne zemljepisne širine Vektor S kaže iz središča Zemlje proti Soncu Analogno Φ, definiramo tudi azumutni kot Sonca ψ ( Zavrtimo se 1x / leto ) in širino β – spet uporabim sferne koordinate za opis vektorja (2)

7. Zavestne napake • Privzeli bomo, da se Zemlja giblje okrog Sonca v krožnici in ne elipsi (a = b) • V tem trenutku ne bomo upoštevali refrakcije svetlobe, ko vstopi v atmosfero • β = 0, ker nas z. Širina Sonca ne zanima • ψ potuje od 0-360 stopinj, kar ustreza 2πd

8. Izpeljava formule • Če slednje prevedem v formulo (2): • V našem sistemu se vrti vektor T, Vektor S, Zemlja okrog osi in dodatno niha za +- 23 stopinj. (v X-Z koord. Sis.) – rabimo ustrezno transformacijo:

9. Izpeljava formule • Ko poračunamo dobimo: (1-cos23) = 0,08 - To je Sy, ki kaže, koliko Sonce zaostaja oziroma prehiteva glede na koordinatni sistem X-Y Sz niha v kotu α med 0-23 stopinjami. Pozimi (d = 0) Sz = sin 23 cos 2π0 = sin 23 * 1=1.

10. Sončni zahod / vzhod • Ekstremna situacija – zahod ali vzhod Sonca • Ko Sonce vzide, so njegovi žarki vzporedni z našo ravnino -> Vektorja S in T sta pravokotna • Lahko zapišemo S * T = 0 • Za izračun vstavimo sferne koordinate vektorja T • cos λ cos Φz Sx + Cos λ sin Φz Sy + sin λ Sz = 0 (8) • Če formulo premečem in delim s cos λ Sx dobimo: • cos Φz + sin Φz (Sy / Sx) = - (sin λ / cos λ ) (Sz / Sx) (9) • (uvidim: sin λ / cos λ = tan λ)

11. Sončni zahod / vzhod Razmislek: kje lahko najbolje izmerim položaj Sonca? • V zenitu! • V zimskem solsticiju: Sy=0, Sz/Sx=tanα – iz enačbe na prejšnjem listu (9) izpeljemo: • cos Φz = tan λ tan α (α = 23, λ = 46,05) • cos Φz = 0,44: Φz = +- 64 stopinj • Sedaj smo že bližje tistemu, kar nas zanima. Kdo ve, kaj predstavlja Φz ? • Odgovor je: • ... Odgovor bo na naslednjem listu, najprej je potrebno razmisliti kako Φz lahko intepretiramo 

12. Sončni zahod / vzhod • Φz lahko splošno okarakteriziramo tudi kot čas vzhoda / zahoda Sonca • Zapišimo še enkrat enačbo S*T=0, vanjo vstavimo tudi koordinate za S: • cos λ cos Φz cos β cos ψ + Cos λ sin Φz cos β sin ψ + sin λ sin β = 0 Če izpostavimo (cos λ cos β) cos λ cos β (cos Φz cos ψ + sin Φz sin ψ) + sin λ sin β In končno cos (Φz – ψ) = - tan λ tan β, kjer je sin β = - sin α cos 2πd

13. Sončni zahod / vzhod • privzamemo, da sta tan β = sin β = -α cos 2πd, podatke pa vstavimo kar v: • cos (Φz – ψ) = - tan λ tan β Dobimo: Spet se lahko poslužim trika z urami za kote: Φz – ψ = 6h - 1,59cos2πd (ur)

14. Sončni zahod / vzhod • Omenil sem že, da lahko predpostavimo: • SEDAJ IMAMO PA VSE, KAR RABIMO  .... Končno enačbo le še uredimo in dobimo:

15. Čas vzhoda / zahoda (zapiši si  )

16. Primer: • Kdaj bo 28.11.2005 v Ljubljani vzšlo in zašlo sonce? Λ = 46,05 stopinje, d= 0,9363 Rezultat: Sonce vzide ob cca 7:20h

17. Hvala  ppt prezentacija in seminarska naloga sta na voljo na internetu na naslovu: http://stegel.net/mof Za dodatna vprašanja sem vam na voljo v tem trenutku ali pa po e-pošti na naslovu: simon@stegel.net