Mixture Autoregressive (MAR)

1. Mixture Autoregressive(MAR) EniSumarminingsih, SSI, MM

2. Model Mixture Autoregressive (MAR) merupakangabungandari K Gaussian model AR. Keunggulan model MAR adalahkemampuan model iniuntukmemodelkan data yang bersifatheteroskedastikdenganfungsidistribusikumulatifbersyarat

3. Secaraumum model MAR adalah

4. PersamaantersebutmenunjukkanbahwafungsidistribusikumulatifbersyaratdariYtmerupakangabungandari K komponen normal model AR(p) yang mempunyai rata – rata danragam Dengan K adalahbanyaknyakomponen pkadalahorde model AR ke k p adalah max (p1, p2, …, pK)

5. = fungsidistribusikumulatifbersyaratdariYt, yang diketahuiinformasisebelumnya = fungsidistribusi kumulatifdaridistribusi normal baku α1, α2, …, αK = proporsi mixture dengansyarat α1+ α2+ …+ αK = 1 danαk > 0

6. Secaraalternatif, ytdapatdisusunsebagaiberikut : Denganek,t = sisaankomponenke – k

7. Model MAR denganduakomponen , masing –masingberorde 1 atau AR (1) denganproporsimasing – masingkomponenadalahα1 danα2 dapatditulissebagai model MAR (2;1,1) sebagaiberikut Dengankondisistasioner model MAR (2;1,1) dan

8. Salahsatukarakteristik model MAR adalahdistribusibersyaratdari model tersebutmerupakan multimodal, sehinggamemiliki k rata – rata (k,t) Fungsiharapanbersyarat

9. Fungsiragambersyaratdariyt yang bergantungpadaktadalah

10. Pendugaan Parameter Pendugaan parameter dilakukanmenggunakanmetode Maximum Likelihood dandiselesaikanmenggunakanmetode Expectation Maximization Fungsi likelihood :

11. Fungsi log likelihood dimana

12. Algoritma Expectation Maximization(EM) Algoritma EM terdiridariduatahapyaitu E-step dan M-step. Tahapanalgoritma EM • E-step • Menentukannilaiawal • MenghitungnilaiharapanfungsiloglikelihooddannilaiharapanbersyaratdariXt,k, yaitu t,k.

13. Nilaiharapanfungsi log likelihood dapatditulissebagaiberikut:

14. dengan imenunjukkanlangkahiterasialgoritma (i)menunjukkanvektor parameter padaiterasike-i

15. b. M-step Tahapinidigunakanuntukmendapatkannilai parameter  yang barudengancaramemaksimumkannilai Q(|(i))yaitudenganmenurunkanQ(| (i)) terhadapmasing – masing parameter danmenyamakandengannol Persamaanpenduga parameter kadalah

16. Persamaanpenduga parameter kadalah • Persamaanpenduga parameter 𝜙kjdan 𝜙k0 adalah Dimana t-1merupakanvektorberukuran (1x(p+1)) sehingga

17. Prosespendugaan parameter diperolehdenganmengiterasikanketigapersamaanpenduga parameter tersebutsampaididapatkannilai yang konvergenyaitusaat

18. UjiSignifikansi Model MAR H0 :  = 0 H1 :   0 Statistikuji yang digunakan

19. Diagnostik Model MAR GunakanUjiLjung Box Q

20. Peramalan Ramalansatuperiodekedepan