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Aproximação de Terrenos. Uma rápida abordagem ao algorítmo Greedy Insert Fast Polygonal Approximation of Terains and Height Fields Garland – Heckbert 1995. Marcelo Barreiros Furtado LCG/COS/COPPE/UFRJ 29/08/2003. Terminologia.
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Aproximação de Terrenos Uma rápida abordagem ao algorítmo Greedy Insert Fast Polygonal Approximation of Terains and Height FieldsGarland – Heckbert 1995 Marcelo Barreiros FurtadoLCG/COS/COPPE/UFRJ29/08/2003
Terminologia • Campos de Elevação (height fields):Conjunto de amostras de elevação sobre um domínio plano. • DEMs (USGS); DTMs, GTDR (NASA); TINs.
Introdução • Objetivo:Gerar modelos simplificados e precisos do campo de elevação original utilizando o menor número de triângulos possível da forma mais rápida possível. • Por quê?
Introdução (cont.) • Renderização direta do modelo original (DEM, DTM, GTDR, etc.) é muito lenta; • Detalhes se perdem quando vistos à distância (acuidade visual); • Economia de memória, espaço em disco ou tráfego de rede.
Definição do Problema • Assumimos que H, um conjunto discreto bidimensional de amostras de alguma superfície subjacente, é fornecido. • H(x, y) = z significa que o ponto (x, y, z) pertence à superfície real. • A superfície será reconstruída a partir da triangulação dos pontos de H.
Definição do Problema (cont.) • Seja o operador de reconstrução que mapeia uma função definida sobre um conjunto disperso de pontos em um domínio contínuo (uma função como H) a uma função definida a cada ponto no domínio. • O mapeamento é feito a partir de uma triangulação do conjunto disperso de pontos, que será usada para dar valor aos demais pontos.
Definição do Problema (cont.) • Se S é algum subconjunto de H, então S é a superfície reconstruída. • (S )(x, y) é o valor da superfície reconstruída para o ponto (x, y). • O problema, então, é encontrar o suconjunto S que melhor aproxima H usando o menor número de pontos possível o mais rápidamente possível.
Métodos de Simplificação • Grid uniforme; • Subdivisão hierárquica; • Levantamento de características; • Decimações incrementais; • Refinamentos incrementais; etc.
Método Empregado Refinamentos incrementais • Começa-se com uma aproximação inicial e iterativamente adiciona-se novos pontos como vértices na triangulação. • O processo continua até que algum objetivo pré-estabelecido seja alcançado.
Análise de Erro • Erro local: |H(x, y) - (S )(x, y)| • Curvatura … • Erro global … • Produto, etc.
Greedy Insertion Babylon English-Portuguese: • greedy adj. voraz; guloso; insaciável; ávido; mesquinho • insertion s. inserção; acréscimo
Greedy Insertion (cont.) • Algorítmo I: Força Bruta • Algorítmo II: Otimização do Recálculo • Algorítmo III: Otimização da Seleção • Algorítmo IV: Triangulação dependente dos dados
Algorítmo I • Os pontos são inseridos em uma Triangulação de Delaunay; • Aproximação inicial usando-se os pontos limítrofes de H. • Repetidamente procurar por pontos não utilizados para encontrar o que apresenta maior erro e inserí-lo à aproximação corrente até que alguma condição arbitrada seja alcançada (e.g. n° de triângulos, limite de erro).
Algorítmo I (cont.) • Mesh_Insert(Point p): Insere p em uma Triangulação de Delaunay. • Mesh_Locate(Point p): Acha qual triângulo na malha contem o ponto p. • Locate_and_Interpolate(Point p): Acha o triângulo que contem p e retorna a elevação interpolada.
Algorítmo I (cont.) • Mesh_Initialize():Inicializa a malha com os pontos limítrofes de H • Goal_Met(): Condição de parada (e.g n° de pontos) • Insert(Point p): marcar p como usado Mesh_Insert(p) • Error(Point p): retornar |H (p) – Locate_and_Interpolate(p)|
Algorítmo I (cont.) • Greedy_Insert(): Mesh_Initialize() enquanto Goal_Met() = Falso {best nilmaxerr 0 para todo ponto de entrada p {err Error(p) se err > maxerr então{ maxerr errbest p}} Insert(best) }
Algorítmo I (cont.) • Análise de Custo: Seja L o custo para se localizar um ponto na triangulação de Delaunay; I o custo para se inserir um vértice na triangulação; e i o número do passo. A cada passo, classifica-se o custo em três categorias: • Seleção: encontrar o ponto de maior erro • Inserção: inserir o vértice na triangulação • Recálculo: recalcular os erros nos pontos do grid
Algorítmo I (cont.) • Temos então que de forma geral: • Seleção = O(n) • Inserção = I • Recálculo = O(nL) • Pior Caso:… L= I= O( i ); Logo: • Seleção = O(n); • Inserção = O( i ); • Recálculo = O( i n); • Então, no pior caso:
Algorítmo I (cont.) • Caso Esperado:… L = O(1); e I = Logo: • Seleção = O(n); • Inserção = • Recálculo = O(n); • Então no caso esperado:
Algorítmo II • Explora a localidade das mudanças na triangulação de Delaunay para efetuar mais rapidamente o recálculo do erro. • Após a inserção de um ponto na triangulação, o ponto inserido terá arestas partindo dele até um polígono limitante. Este polígono é exatamente a área onde a triangulação se alterou, ou seja, a área onde a aproximação foi modificada. • A idéia é recomputar o erro somente para os pontos dentro desta região.
Algorítmo II (cont.) • Cache [0 .. n-1]: Array de n posições que guardará o erro computado em cada ponto de entrada. • Insert(Point p) macar p como usado Mesh_Insert(p) para todo triângulo t incidente em p para todo ponto q dentro de tCache[q] Error(q)
Algorítmo II (cont.) • Greedy_Insert(): Mesh_Initialize() para todo ponto de entrada pCache[p] Error(p) enquanto Goal_Met() = Falso {best nilmaxerr 0para todo ponto de entrada p { … } } Insert(best)
Algorítmo II (cont.) … para todo ponto de entrada p {err Cache[p] se err > maxerr então{maxerr errbest p } } …
Algorítmo II (cont.) • Análise de Custo: Seja Aa área de recálculo no passo I, então, o custo no recálculo é O(AL) para localizar o ponto e O(A) para a interpolação, ou seja, Recálculo = O(AL). • Pior Caso: A área de recálculo se reduz somente por uma constante a cada passo, então: A = O(n – i). Logo o custo do recálculo permanece o mesmo do algorítmo original, O(nL), e a complexidade de pior caso permanece inalterada em
Algorítmo II (cont.) • Caso Esperado: … A = O(n/i); Como antes, o custo esperado para a localização e inserção são: L= O(1) e I= • Logo: • Seleção = O(n); • Inserção = • Recálculo = O(n/i); • Então, o caso esperado também continua inalterado:
Algorítmo II (cont.) • Qual a diferença então? Se considerarmos somente a complexidade assintótica, nenhuma. Mas isto não é o que ocorre na prática, por estes dois motivos: • O pior caso é ainda mais improvável para o algorítmo II do que era para o algorítmo I; • O valor da complexidade assintótica pode esconder constantes significativas. No algorítmo I, tanto o recálculo como a seleção tem custo esperado de O(n). No algorítmo II, somente a seleção tem custo O(n); o recálculo caiu para O(n/i). O fator constante para o recálculo é muito maior que o da seleção, logo o recálculo é dominante para o algorítmo II na prática, o que resultaria num custo de:
Algorítmo III • Optimiza tanto a seleção do ponto de maior erro quanto o recálculo dos erros. • A seleção é agilizada utilizando-se um Heap. • Para isto define-se o ponto candidato de um triângulo como sendo o ponto do grid com o maior erro na aproximação atual.
Algorítmo III (cont.) • Cada triângulo pode ter no máximo um ponto candidato. A maioria dos triângulos tem um candidato, mas se o erro máximo dentro do triângulo for desprezível, ou se não houverem pontos dentro do triângulo, então o triângulo não possui nenhum candidato. • Os candidatos são, então, mantidos no heap indexado por seus respectivos erros. • A cada passo retira-se o candidato com maior erro do topo do heap.
Algorítmo III (cont.) • Até agora, a função Error() tem feito: • uma busca para achar o triângulo que contém o ponto; • uma interpolação com base neste triângulo. • A interpolação é feita computando-se o plano definido pelos três vértices do triângulo, e, aplicando-se então a equação deste plano ao ponto especificado.
Algorítmo III (cont.) • O recálculo pode ser, então, agilizado de duas formas: • Elilminar a busca do triângulo, armazenando-se em cada candidato um ponteiro para o triângulo que o contém. • Precomputar as equações dos planos armazenando-as junto com os triângulos.
Algorítmo III (cont.) • Estruturas de dados empregadas: • Campos de Elevação • Array de pontos, cada qual contendo uma elevação H(x, y) e um bit usado/não usado. • Triangulações • Quad-Edge modificada • Faces guardam informação sobre os candidatos e o erro calculado no triângulo. • Planos • Heap • Erro do candidato e um ponteiro ao triângulo (face) a qual o candidato pertence.
Algorítmo III (cont.) • HeapNode Heap_Change(HeapNode h, float key, Triangle T):se h != nilentãose key > 0entãoHeap_Update(h, key) senão{ Heap_Delete(h) retornar nil }senãose key > 0 então retornar Heap_Insert(key, T)retornar h
Algorítmo III (cont.) • Scan_Triangle(Triangle T ):plane Find_Triangle_Plane(T )best nilmaxerr 0 para todo ponto p dentro de T { err |H(p) – Interpolate_to_Plane(p, plane)| se err > maxerr então {maxerr errbest p} }T.heapptr HeapChange(T.heapptr, maxerr, T )T.candpos best
Algorítmo III (cont.) • Mesh_Insert (Point p, Triangle T ): Insere p dentro de T e atualiza a triangulação de Delaunay • Insert(Point p, Triangle T ): marcar p como usado Mesh_Insert(p, T ) para todo triangulo U adjacente a p Scan_Triangle(U )
Algorítmo III (cont.) • Greedy_Insert(): Mesh_Initialize() para todo triangulo inicial T Scan_Triangle(T ) enquanto Goal_Met() = Falso {T Heap_Delete_Max() Insert(T.candpos, T)}
Algorítmo III (cont.) • Análise de Custo: Assintóticamente, a melhoria mais significativa em relação ao algorítmo II é uma seleção mais rápida. Na prática, a otimização da interpolação é igualmente importante. Nesse novo algorítmo o custo para seleção é dividio em três partes: • Inserção no heap; • Remoção do heap; e • Atualização do heap.
Algorítmo III (cont.) … Custo total do heap, por passo, e consequentemente o custo da seleção, é O(log i). Inserção e recálculo são mais “baratos” agora, uma vez que não dependem mais de L. O custo do recálculo caiu de O(AL) para O(A). • Pior Caso: No pior caso, o custo de inserção é I = O( i ), e a área de recálculo é A = O(n). Logo: • Seleção = O(log i); • Inserção = O( i ); • Recálculo = O( n); • Então, no pior caso:
Algorítmo III (cont.) • Caso Esperado: No caso esperado, o custo da inserção é I=O(1) e a área de recálculo é A=O(n/i). • Logo: • Seleção = O(log i); • Inserção = O(1); • Recálculo = O(n/i); • Então, o custo do caso esperado é:
O Problema do Penhasco • O algorítmo Greedy Insert não funciona bem quando o campo de elevação contém uma descontinuidade abrupta ou “Penhasco” (cliff). • Este problema é causado pelo fato do algorítmo ser extremamente local em relação aos pontos aproximados. • Uma solução seria encontrar todos penhascos e forçar a triangulação a passar por eles.
