DERIVADA DE UNA FUNCION REAL

1. DERIVADA DE UNA FUNCION REAL Prof.: Cecilia Contreras

2. INTERPRETACIÓN GEOMETICA DE LA DERIVADA Sea f(x) función y L recta secante. Sean P = ( x , f(x) ) y Q = (x +h, f(x +h)), dos puntos que pertenecen simultáneamente a la recta y a la función.

3. GRAFICO

4. La razón representa a la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q. A medida que h tiende a cero, el punto Q se aproxima cada vez más a P, por lo tanto la recta secante está más próximo a ser recta tangente.

5. GRAFICO

6. Entonces cuando h 0 la pendiente de la recta secante se transforma en pendiente de la recta tangente en el punto P. Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por: mt=

7. DEFINICIÓN El límite utilizado para definir la pendiente de la tangente se usa también para definir una de las operaciones fundamentales del cálculo LA DERIVADA. Siempre que el limite exista.

8. NOTACIÓN Otras notaciones comunes para la derivada de la función f(x) son:

9. EJERCICIO Encuentre: • La derivada de f(x) = x3 + 2x • La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 3) • La ecuación de la recta tangente a la curva en P

10. REGLAS DE DERIVACIÓN

11. REGLAS DE DERIVACIÓN

12. EJERCICIO Derive la siguiente función:

13. REGLA DE LA CADENA Se refiere a la derivada de funciones compuestas. Dada la función fog= f(g(x)), se debe derivar f y g, por lo tanto esta regla nos permite derivar la función compuesta.

14. TEOREMA Si y =f(u) es una función derivable de u y u =g(x) una función derivable de x, entonces y = f(g(x)) es una función derivable de x, esto es:

15. EJEMPLO Sea y = 4u3 ; u = 5x2 + 4, entonces la función compuesta viene dada por y = f(g(x)), La derivada de y con respecto a u viene dada por: = 12 u2 La derivada de u con respecto a x viene dada por: = 10 x

16. EJEMPLO Por lo tanto, la derivada de la función y con respecto a la variable x viene dada por: y como u = 5x2 + 4, entonces finalmente la derivada viene dada por

17. REGLA DE LA POTENCIA COMBINADA CON REGLA DE LA CADENA Si n es cualquier número real, f(x) y g(x) funciones, entonces:

18. EJERCICIO Derive la siguiente función

19. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR Sea y = f(x) una función, si su derivada existe, se denota por f’(x). Si f’(x) es una función entonce la derivada existe y se denota por f’’(x), la cual se llama segunda derivada. En general la n- ésima derivada de una función viene dada por fn(x).

20. EJEMPLO Encuentre la tercera derivada de

21. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES • FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL f(x) = Ln (g(x)) f’(x) = • FUNCIÓN LOGARITMO DECIMAL f(x) = Loga(g(x)) f’(x) =

22. DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES • FUNCION EXPONENCIAL 3.1. f(x) = eg(x) f’(x) = g’(x) eg(x) 3.2. F(x) = bg(x) f’(x) = g’(x) bg(x) Ln(b)

23. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

24. F. CRECIENTE Y DECRECIENTE En que intervalos la función crece y/o decrece.

25. FUNCIÓN CRECIENTE Una función f definida en algún intervalo se dice que es creciente en dicho intervalo si solo si: f(x1) < f(x2) siempre que x1< x2

26. FUNCIÓN DECRECIENTE Una función f definida en algún intervalo se dice que es decreciente en dicho intervalo si solo si: f(x1) > f(x2) siempre que x1< x2

27. TEOREMA Sea f una función continua en [a,b] y derivable en un intervalo (a,b) se tiene que:

28. MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

29. Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto c si pertenece al intervalo (a, b) tal que: VALOR MAXIMO RELATIVO

30. Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto c, si c pertenece al intervalo (a, b) tal que: VALOR MINIMO RELATIVO

31. PUNTO CRITICO Si la función f está definida en un punto c, se dirá que c es un número critico de la función f si f’(c) = 0 o si f’ no está definida en c.

32. OBSERVACIÓN Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c

33. TEOREMA Los extremos relativos solo ocurren en los puntos críticos.

34. CRITERIO DELA PRIMERA DERIVADA Procedimiento para elaborar la gráfica de una función utilizando el criterio de la primera derivada • Calcular la primera derivada para encontrar los puntos críticos. • Marcar los puntos críticos en una recta numérica, quedando dividida en intervalos. Luego evaluar la derivada para valores mayores y menores que los puntos críticos , para determinar el signo de ella.

35. Utilizar el teorema para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0, entonces: 4.1. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en c, f(c) es un max relativo de f. 4.2 Si f’(x) cambia de negativa a positiva en c, f(c) es un min relativo de f. 4.3. Si f’(x) no cambia de signo en c, f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. 5. Para cada punto crítico c encontrar f ( c).

36. EJEMPLO Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7

37. SOLUCION 1. Dada la función encontramos la primera derivada.f’(x) = 6x2 + 6x –12 2. Igualamos f’(x) a cero, esto es:f’(x) = 0 3.Encontramos los puntos críticos, resolviendo la ecuación resultante. 6x2 + 6x –12 =0 6(x + 2)(x – 1) = 0 x = - 2 y x = 1

38. SOLUCION • Ubicar los puntos críticos en una recta numérica como la siguiente:

39. SOLUCION • En la última fila se puede obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, esto es: Intervalos de crecimiento: Intervalo de decrecimiento:

40. SOLUCION • De acuerdo a la tabla del punto 4, se concluye que hay un máximo relativo en x = 2 y un mínimo relativo en x =1. • Las coordenadas de los puntos críticos, reemplazandolos en f(x), son: f(2) = 13 y f (1) = -14

41. CONCAVIDAD Y PUNTO DE INFLEXION

42. Sea f definida en un intervalo: f es cóncava hacia arriba si la gráfica se dobla hacia arriba f es cóncava hacia abajo si la gráfica se dobla hacia abajo CONCAVIDAD

43. Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia arriba en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c,tal que en (a, b) la grafica de f esté arriba de la recta tangente en P. CONCAVA HACIA ARRIBA

44. Sea f derivable en un número c, se dice que la grafica de f es cóncava hacia abajo en el punto P = (c, f ( c) ) si existe un intervalo abierto (a, b) que contenga a c,tal que en (a, b) la grafica de f esté bajo la recta tangente en P. CONCAVA HACIA ABAJO

45. TEOREMA Sea f una función derivable en (a, b) con c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f”(x) existe, entonces: • Si f”(x) > 0 , entonces la grafica de f es cóncava hacia arriba. • Si f”(x) < 0, entonces la grafica de f es cóncava hacia abajo.

46. PUNTO DE INFLEXION Sea f una función cuya recta tangente en (c, f (c)). Se dice que el punto (c, f (c)) es un punto de inflexión si la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto

47. CRITERIO DELA SEGUNDA DERIVADA Si c es un punto critico tal que f’(x) = 0 y f” existe, entonces: • Si f”(c) > 0, f tiene un mínimo local • Si f”(c) < 0, f tiene un máximo local • Si f”(c) = 0 entonces esta prueba no es concluyente. Usar el criterio de la primera derivada.

48. EJEMPLO En la siguiente función, encuentre los extremos locales utilizando el criterio de la segunda derivada Dada la función f(x) = 4x3 + 7x2 – 10x+8

49. DERIVADA DE UNA FUNCION REAL