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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito. Lezione 5 Valutazione Risk Neutral. Call(Enel,16/03/05;7,400, 16/05/05). Consideriamo un portafoglio con  = (0,100 – 0)/(7,500 – 7,100) = 0,25 Enel W = – 0,25 x 7,100 = – 1,775 (leverage) Notiamo che al tempo T

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Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

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Presentation Transcript

  1. Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito Lezione 5 Valutazione Risk Neutral

  2. Call(Enel,16/03/05;7,400, 16/05/05) • Consideriamo un portafoglio con  = (0,100 – 0)/(7,500 – 7,100) = 0,25 Enel W = – 0,25 x 7,100 = – 1,775 (leverage) • Notiamo che al tempo T C(H) = 0,100 = 0,25 x 7,500 – 1,775 C(L) = 0 = 0,25 x7,100 – 1,775 • Il principio di non arbitraggio implica che alla data di valutazione 16/03/05 sia Call(Enel,t) = 0,25 x 7,269 – 0,9966 x 1,775 = 0,048285 • Una call su 10000 azioni Enel per strike price 7,400 vale quindi 4828,5 € e corrisponde a Una posizione lunga in 2500 azioni ENEL sul mercato a pronti Debito (leverage) per 17750 € di nominale al 16/05/05

  3. Una derivazione alternativa • Prendiamo il valore del contratto derivato, es. un’opzione call. Il suo valore è dato da Call(Y,t;K,T) = Y(t) + v(t,T)W • Sostituendo le equazioni per  e W nel portafoglio di replica e con manipolazioni elementari possiamo riscrivere Call(Y,t;K,T) = v(t,T)[Q Call(H) +(1 – Q) Call(H)] con Q = [Y(t)/v(t,T) – Y(L)]/[Y(H) – Y(L)] una misura di probabilità. • Si noti che la misura di probabilità Q deriva direttamente dall’ipotesi di esclusione di arbitraggio e quindi dal fatto che il derivato deve valere quanto il suo portafoglio di replica. La probabilità Q è detta risk-neutral.

  4. Esempio ispirato a Enel T = 16 maggio 2005 t = 16 marzo 2005 Enel (H) = 7,500 v(T,T) = 1 Call (H) = 0,100 Q = [7,269/0,9966 – 7,1]/[7,5 – 7,1 ] = 48,4497% Enel = 7,269 v(t,T) = 0,9966 Call(Enel,t;7,400,T) = = 0,9966[Q 0,1 + (1 – Q) 0] = 0,048285 Enel(L) = 7,100 v(T,T) = 1 Call (L) = 0

  5. Misura Q e prezzo forward • Si noti che per costruzione F(S,t) =Y(t)/v(t,T)= [Q Y(H) +(1 – Q) Y(H)] e il prezzo forward è il valoreatteso del prezzo futuro Y(T). • Nel caso ENEL 7,239799 = 7,269/0,9966 = = 0,484497 x 7,5 + 0,515503 x 7,1 • Si noti che il fatto che il prezzo forward sia un previsore del prezzo futuro è una proprietà della misura Q, che è costruita per soddisfare questo requisito.

  6. Estensione a più periodi • In ogni periodo assumiamo che il prezzo del sottostante possa muoversi in due sole direzioni (nel modello binomiale) • Backward induction: partendo dalla data di scadenza del contratto derivato vengono costruiti i portafogli di replica al periodo precedente, fino a ottenere il portafoglio di replica alla radice dell’albero (tempo t)

  7. Enel(H) = 7,5 ∆(H) = 1, W(H) = – 7,4 Call(H) = 1x7,5 – v(t,,T)x 7,4 =7,5 – 0,99x7,4 = 0,174 Enel(HH) = 7,7 Call(HH) = 0,3 Enel(t) = 7,269 ∆ = 0,435 W = – 3,0855 Call(t) = 0,435x7,269 – 0,9966x3,0855 = 0,084016 Enel(HL) = 7,4 Call(HL) = 0 Enel(LH) = 7,3 Call(LH) = 0 Enel(L) = 7,1 ∆(L) = 0, W(L) = 0 Call(H) = 0 Enel(LL) = 7,0 Call(LL) = 0

  8. Self-financing portfolios • Dalla definizione di portafoglio di replica C(H) = Y(H) + W = HY(H) + v(t,,T) WH C(L) = Y(L) + W = LY(L) + v(t,,T) WL • Questa caratteristica dei portafogli di replica dinamici è definita self-financing property • Una volta costruito il portafoglio di replica iniziale, non è necessario immettere altri fondi per ribilanciare il portafoglio nei periodi futuri

  9. Bushy trees/Recombining trees • Dopo n periodi (steps) l’albero presenta 2n nodi (stati). Un albero solo dopo 100 steps genera 1267650600228230000000000000000 nodi • Poiché questo tipo di albero pone problemi computazionali rilevanti, spesso si assume che sentieri con lo stesso numero di aumenti e diminuzioni del prezzo, sebbene in sequenza diversa, portino allo stesso nodo (lattice, recombining tree, reticolo,…) • Dopo 100 steps un recombining tree ha 101 nodi

  10. La misura Q Enel(HH) = 7,7 QH = [7,5/0,99 – 7,3]/[7,7 – 7,3] Enel(H) = 7,5 Enel(HL) = 7,3 Q = 48,4497% Enel = 7,269 QL = [7,1/0,99 – 7,0]/[7,3 – 7,0] Enel(L) = 7,1 Enel(LL) = 7,0

  11. Un albero particolare • Costruite un albero nel quale Y(t+1) può assumere due valori Y(t)*u (nello stato H) o Y(t)*d (nello stato L). u e d sono gli stessi su ogni nodo (indipendenza dal tempo e dagli stati) u*d = 1 • L’albero è “ricombinante” e per un numero di steps sufficientemente grande converge al moto geometrico browniano nel tempo, utilizzato nel modello di Black & Scholes

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