Función gaussiana

1. Universidad pedagógica nacionalFrancisco MorazánCnc-383 Física moderna iidensidad de probabilidad Presentado por: Kenia Auristela Martínez María Lourdes Monzón Catedrático: Armando Euceda, Ph.D. Julio del 2008

2. Función gaussiana Ψ(x)= Ψ(x) 34.1% 34.1% Kenia Martínez y Lourdes Monzón 13.6% 13.6 % x Campana de Gauss ó una Gaussiana

3. Considere la distribución Gaussiana normalizada donde A, a yλ son constantes. Debemos saber ¿Qué significa ρ(x)? ψ(x): función de onda (estado) Ψ*(x): complejo conjugado de ψ(x) Por definición ρ(x) = ψ*(x) ψ(x) = ψ(x) ² Kenia Martínez y Lourdes Monzón

4. 1.- Encuentreel valor de A Sabemos que Entonces tenemos Kenia Martínez y Lourdes Monzón

5. Ahora calculamos la integral: Recordemos que : haciendo u = x – a , du = dx Por lo tanto ver normalización de la función Kenia Martínez y Lourdes Monzón

6. 2.- Encontrar el valor esperado de x ², es decir ‹x²› Por definición el “Valor esperado de x2 es Por lo tanto Haciendo cambio de variable u= (x – a) du = dx sea x= (u+a) por lo tanto x2 = ( u +a )2 = u2 +2au +a2 Cuando x es+∞, u también es + ∞ y cuando x es –∞ u también es – ∞ Kenia Martínez y Lourdes Monzón

7. Por lo tanto al sustituir tenemos que: Separando las integrales tenemos: Tomando la primera Integral : se resuelve utilizando el truco de Feynman Kenia Martínez y Lourdes Monzón solución del truco de Feynman

8. Tomando la segunda integral es una función impar por lo tanto su integral es cero. Sabemos que la solución de la integral: siendo a constante es: Además conocemos el valor de ver normalización de la función Kenia Martínez y Lourdes Monzón

9. Por lo tanto al resolver la integral aplicamos lo Anterior: 0 Continuando con la solución de nuestra integral Kenia Martínez y Lourdes Monzón

10. Sustituyendo los valores de las integrales que conocemos tenemos: Por lo que el valor esperado para esta distribución es: Kenia Martínez y Lourdes Monzón

11. Gracias

12. Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán Solución de la Integral Aplicando El Truco de Feynman Presentado por : Kenia Auristela Martínez M. María Lourdes Monzón. Física Moderna II Catedrático: Armando Euceda Ph. D. Agosto del 2008

13. Para poder resolver la integral de la forma: Sabemos la solución de la integral Se aplica el truco de Feynman, agregando a ambos lados de la integral el siguiente operador:

14. Resolvemos encontrando la derivada parcial en el lado derecho de la ecuación

15. Al encontrar el diferencial en el lado derecho de la expresión obtenemos:

17. Por lo tanto la solución de la integral es:

18. GRACIAS

19. Normalización de unaFunción Gaussiana Presentado por : Kenia Auristela Martínez María Lourdes Monzón Física Moderna II Catedrático: Armando Euceda Ph.D Agosto del 2008

20. Dada la función Gaussiana 1.- Normalizar la función 2.- Encontrar el valor de A Para esto debemos saber que: Kenia Martínez

21. Kenia Martínez

22. Tomando una función genérica Donde Consideramos dos integrales , Luego Kenia Martínez

23. Hacemos la conversión a coordenadas Polares diferencial de área dr ds Kenia Martínez r s dθ θ

24. Para resolver la integral Sea Luego: Kenia Martínez

25. Como Entonces integramos hacia - ∞ Kenia Martínez Como

26. Luego Al sustituir Entonces La función queda normalizada Kenia Martínez

27. ¡¡Muchas Gracias!! Kenia Martínez