Т рибина : П РОСТИ БРОЈЕВИ

1. Трибина:ПРОСТИ БРОЈЕВИ БЕОГРАД, 17. 5. 2013. Вељко Ћировић ИСТОРИЈАТ, НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ, ОТКРИЋЕ НАЈВЕЋЕГ ПРОСТОГ БРОЈА, ОТВОРЕНИ ПРОБЛЕМИ

2. Речено је... • “ Математичари су узалуд покушавали до данас да открију неку правилност у низу простих бројева, а имамо разлога да верујемо да јето мистерија у коју људски ум никада неће продрти. “ ЛеонардОјлер • “2, 3, 5 и 7 су прости бројеви; 9 није прост, али у црним рупама, изван хоризонта догађаја, све је могуће.“ СтивенХокинг • “Ко би помислио да би нешто тако једноставан као природнибројеви (1, 2, 3, 4, ...) моглородити нешто тако збуњујућие као штосупрости бројеви (2, 3, 5, 7, 11, .. )? “ И. Барнас • “ Ниједномдругомделутеоријебројеванијесвојственотоликомистерије и милостикао у изучавањупростихбројева.” МартинГарднер

3. Уводне напомене • Простимбројевимабавилесуседревнецивилизације – кинеска, вавилонска, египатска, грчка • Еуклидјејошпреоко 2300 годинадоказаодајескуппростихбројевабесконачан • Простимбројевимасусебавиличувениматематичари: Диофант, Ферма, Мерсен, Ојлер, Голдбах, Лежандр, Ландау, Лукас ... • Рачунарисукао и у већинуматематичкихтеорија и проблема, унелиреволуцију и у теоријубројева

4. Који су, уопште, бројеви прости? • Некасуm и nприроднибројеви. Кажемодабројmделибројnакопостојиприроданбројtтакавдаважи: mt= n Записујемо: m | n (бројm делибројn). • Природнибројnјепростакојевећиод 1 и дељивјединобројевима 1 и n. • Свакиприроднибројједељивнекимпростимбројем

5. ПРВИХ НЕКОЛИКО ПРОСТИХ БРОЈЕВА 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997...

6. ОТКРИВЕН НАЈВЕЋИ ПОЗНАТ ПРОСТ БРОЈ Тим америчких математичких и компјутерских стручњака предвођених Керисом Купером са Универзитета у Централном Мизурију је у јануару ове године објавио нови, највећи прост број.

7. ОТКРИВЕН НАЈВЕЋИ ПОЗНАТ ПРОСТ БРОЈ • Тоје М48иличетрдестосмипоредуМерсеновброј и онјеједнак 257.885.161 – 1 и у декадномбројевномсистемусезаписујеса 17.425.170 цифара. • Акосенаједнојстранипапираформата А4 можезаписатиоко 3750 цифара (50 редовапо 75 цифара), ондабидобијенибројбиокњигаод ''свега'' 4.647 страна. • Иначенајвећидотадапознатипростбројбиоје М47 = 243.112.609 - 1, којијеоткривен 2008. године и имаојепреко 13 милионадекаднихцифара.

8. НАЈВЕЋИ ПРОСТИ ИЗ РАНИЈИХ ПЕРИОДА

9. Бесконачност скупа простих бројева Теорема (Еуклид). Постоји бесконачно много простих бројева. Доказ. (Еуклидов) Претпоставимосупротно, тј. дапостојиконачномногопростихбројева: а да су сви остали природни бројеви сложени.

10. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА Такоби и број попретпоставцибиосложен. Пабибиодељивсанекимодпростихбројевакојисупобројани. Међутим, онпридељењусасвакимодовихбројевадајеостатак 1. Контрадикција.

11. Основни став аритметике Теорема. Сваки природан број n,већи од 1, може се на јединствен начин представити у облику производа простих чинилаца.

12. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА ЈЕДОСТАВНИ ПРИМЕРИ: 2 x 3 x 3= 18 2x 3= 18 42=2 x 3 x 7 48=2 x 3 2 4

13. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА Канонскафакторизацијаброја су различити прости бројеви су природни бројеви

14. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА Теорема. Нека је канонска факторизација природног броја а, тада су сви његови делиоци облика: где су, Па, је укупан број позитивних делилаца броја а једнак:

15. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА Теорема. Ако је p прост број и важи p|ab, тада је p|aили p|b. Пример: 3|2973 тј. 3| 991 3 и не дели први већ други фактор овог производа.

16. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА Теорема. За произвољан број постоји k узастопних сложених природних бројева.

17. НАЈВАЖНИЈЕ ТЕОРЕМЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА Један такав низ узастопних сложених бројева је:

18. ДВЕ ВАЖНЕ ТЕОРЕМЕ Теорема (Мала Фермаова) Ако је pпрост број и pне дели цео број a, тадаје Теорема (Вилсон) Ако је p прост број, тада је

19. Примери примене • Неки једноставни примери примене Мале Фермаове теореме: 53 - 5 = 120 – дељиво је са 3 72 - 7 = 42 – дељиво је са 2

20. КРИТЕРИЈУМИ ПРОВЕРЕ “ПРОСТОСТИ” Једноставнијеметоде: • Методпробногдељења • Ератостеновосито Методезапроверупростостибројева специјалногвида: • ЗаФермаовебројеве

21. Ератостеново сито

22. Ератостеново сито

23. Ератостеново сито

24. Ератостеново сито

25. Ератостеново сито

26. Ератостеново сито

27. РАСПОДЕЛА ПРОСТИХБРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ • Простихбројевамањиход 10 има 4 • Простихбројевамањиход 100 има 25 • Простихбројевамањиход 1 000 има 168 • Простихбројевамањиход 10 000 има 1229 • Простихбројевамањиход 100 000 има 9592 • Простихбројевамањиход 200 000 има 17984 • Простихбројевамањиход 300 000 има 25997 • Простихбројевамањиход 400 000 има 33860 • Простихбројевамањиход 500 000 има 41538 • Простихбројевамањиход 600 000 има 49098 • Простихбројевамањиход 700 000 има 56543 • Простихбројевамањиход 800 000 има 63951 • Простихбројевамањиход 900 000 има 71274 • Простихбројевамањиход 1 000 000 има 78498

28. РАСПОДЕЛА ПРОСТИХБРОЈЕВА У СКУПУ ПРИРОДНИХ - скуп свих простих бројева Функција која броји све просте бројеве мање од броја х.

29. Графици функције

30. График функције

31. Бесконачност... ПоследицаТеореме (Еуклид) - Постављанојепитањедалисе, и поредоваквогпонашања, овафункцијаможеасимптотскипроценитинекомдругомфункцијомкојабипружилавишеинформација о њој.

32. Апроксимације Главнирезултати: • (Чебишев) Постојепозитивнибројеви А и В, такодајезасвеx>2: • (Адамар, Вале-Пусен) (У литературинаенглескомPrime Number Theorem - PNT)

33. Покушају уочавања неких правилности Уламова спирала Stanislaw Ulam, 1963.

34. Покушају уочавања неких правилности

35. Пример генерисања простих бројева Простибројеви у аритметичкимнизовима (Дирихлеоватеорема) За свака два узајамно проста природна броја d и a, постојибесконачномногопростихбpојеваобликаа+nd

36. Поднизови аритметичких низова ПРИМЕРИ АРИТМЕТИЧКИХ НИЗОВА СА ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА

37. ПРОСТИ БРОЈЕВИ ПАЛИНДРОМИ • Палиндромнибројевисубројевикојисеисточитају и салеванадесно и садеснаналево • 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10 301, 10 501, 10 601, 11 311, 11 411, 12 421, 12 721, 12 821, 13 331, 13 831, 13 931, 14 341, 14 741, 15 451, 15 551, 16 061, 16 361, 16 561, 16 661, 17 471, 17 971, 18 181, 18 481, 19 391, 19 891, 19 991 ...

38. ПРОСТИ БРОЈЕВИ – ПОСЕБНОГ ОБЛИКА • Мерсеновибројевисубројевиоблика 2р – 1, гдејернекипростброј. • Мерсеновипростибројевису: 3 = 22 – 1, 7 = 23 – 1, 31 = 25 – 1, 127 = 27 – 1, 8191 = 213 – 1 ... • СвиМерсеновибројевинисупрости. Например: 211 – 1 = 2047 = 23  89

39. ПРОСТИ БРОЈЕВИ – ПОСЕБНОГ ОБЛИКА • Фермаовибројевисубројевиоблика 2к + 1, гдејекоблика 2n (nјенекиприроданброј). • Познатоједасу Fо = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 простибројеви. • Пети ФермаовбројF5 = 232 + 1 = 4294967297= 641  6700417 нијепрост!

40. ПОЛУ-ПРОСТИ БРОЈЕВИ • Полу-простибројевиилиpq-бројевисуприроднибројевикојипредстављајупроизводдва (необавезноразличита) простаброја • Првихнеколикосу: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, ... • Најевћипознатполу-простбројјеквадратнајвећегпознатогпростогброја

41. ПОЛУ-ПРОСТИ БРОЈЕВИ • Полупростибројјеиликвадратпростогбројаили “бесквадратниброј” (бројкојиниједељивквадратомнекогброја). • Имајувеликупримену у криптографији и теоријибројева

42. БЛИЗАНЦИ • Прости бројеви који се разликују за 2 називају се простим бројевима близанцима • Примери: (3,5), (5,7), (11,13), (41,43), (101,103), (311,313),...

43. ЗАБЛУДЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА • Неупућеничестокажу: Акојекприроданброј, ондасубројевиоблика 6к – 1 или 6к+ 1 прости. Тонијетачно, јербројеви • 35 = 66 – 1 и 25 = 64 + 1 јесуоблика6к – 1 или 6к+ 1, алинисупрости. • Тачнојеследеће: Свипростибројевивећиод 3 суоблика 6к – 1 или 6к+ 1.

44. ЗАБЛУДЕ О ПРОСТИМ БРОЈЕВИМА • Заблуде о простимбројевимаималису и великиматематичари. • Фермајесматраодасусви,већпоменути,Фермаовибројевипрости • ЊеговузаблудујеразоткриоОјлеркадаје 1732. годинедоказаодајепетиФермаовброј • F5 = 232 + 1 = 4294967297= • = 641  6700417 • сложенброј.

45. ОТВОРЕНИ ПРОБЛЕМИ По угледу на чувеног немачког математичара Хилберта, који је на Другом међународном конгресу математичара, који је одржан у Паризу 1900. године, поставио 23 чувена математичка проблема, на 5. Међународном конгресу математичара који је 1912. године одржан у Кембиџу, такође немачки математичар, Едмунд Ландау поставио је четири проблема из теорије бројева који су везани за просте бројеве:

46. ГОЛДБАХОВА ХИПОТЕЗА (Први Ландауов проблем) • Сваки паран број већи од 2, може се приказати као збир два проста броја, а сваки непаран број већи од 5 може се приказати као збир три проста броја. • Проблем датира из 1742. године када је Голбах дати проблем предочио Леонарду Ојлеру. Проблем до данас није решен!

47. ПРОБЛЕМ ПРОСТИХ БРОЈЕВА БЛИЗАНАЦА (ДругиЛандауовпроблем) • Далијепростихбројева ‘’близанаца’’ коначноилибесконачномного? • Највећиданаспознатипарпростихбројеваблизанацаје 3756801695685  2666669  1 којијеоткривендецембра 2011 и којисадржи 200700 цифара. • Верујеседапроблемпростихбројева ‘’близанаца’’ једаноднајстаријихнерешенихматематичкихпроблема, јерњеговиизворидатирајујошизстарогрчкематематике.

48. ХИПОТЕЗА ЛЕЖАНДРА (Трећи Ландауов проблем) • Да ли за сваки природан број n између бројева n2 и (n + 1)2 постоји бар један прост број? • Проблем је формулисан почетком 19 века. До данас није решен!

49. ПРОБЛЕМ ПРОСТИХ БРОЈЕВА ОБЛИКА n2 + 1 (Четврти Ландауов проблем) • Да ли је простих бројева облика n2 + 1 коначно или бесконачно много? Проблем до данас није решен!

50. О ФЕРМАОВИМ БРОЈЕВИМА До сада познати Фермаови прости бројеву су: 3, 5, 17, 257, 65537 Отворено је следеће питање: • Да ли Фермаових простих бројева има бесконачно много (Ајнштајн 1844.)?