Cautarea Binara a unui Element intr -un Vector

1. CautareaBinara a unui Element intr-un Vector

2. GRUPA VI: ECHIPA TIMBIRA Membrii: Pop Paula VargaAndrada VoasBianca PruneanRazvan

3. MEMBRII ECHIPEI Si RolulLor: • Vargaandrada :DOcumentaresiconcepereamachetei PPT • Voas Bianca: Editareadocumentelor PPT • PruneanRazvan: Grafica PPT sipagina WIKI • Pop Paula: Coordonatorulechipei

4. Presupunem ca sirul este memorat intr-un vector ( x[1], x[2],..., x[n]) , unde n este nr de elemente. Descompunem programul in 3 subprograme de acelasi tip: o problema reprezentata de o singura valoare, si anume aceea din mijloc: x[mij], unde mij este pozitia de mijloc, mij = (p+q)/2 Doua probleme reprezentate de subvectorul stang , respectiv drept: ( x[1],x[2],.....,x[mij-1] ) si ( x[mij+1], x[2],...., x[n] ), Implementarea propriu-zisa va analiza problemele in aceasta ordine. Se observa ca am sugerat aplicarea unui algoritm Divide et Impera in care prima problema este elementara, iar urmatoarele doua sunt de acelasi tip cu cea initiala. Deoarece problema noastra este o problema de cautare putem descrie complet algoritmul astfel: Daca valoarea cautata se afla pe pozitia de mijloc (a=x[mij]) , atunci algoritmul se incheie; Daca valoarea cautata este mai mica decat elementul de pe pozitia de mijloc (a<x[mij]) , atunci cautarea continua in subvectorulstang (x[1],x[2],..., x[mij-1]) , deoarece toate elementele mai mici decat cel din mijloc se gasesc in stanga acestuia (vectorul este sortat crescator! ); Daca valoarea cautata este mai mare decat elementul de pe pozitia de mijloc (a>x[mij]) , atunci cautarea continua in subvectorul drept (x[mij+1], x[2],....,x[n]) ; Cautarile in fiecare din cei doi subvectori se fac prin acelasi procedeu de descompunere a problemei, pana candgasim valoarea cautata pe o pozitie de mijloc, sau pana cand ajungem la un subvector care nu contine nici un element.

5. Sa analizam problema elementara : x[mij]=a, adicax[5]=8, moment in care algoritmul se incheie deoarece valoarea cautata a fost gasita. Presupunem acuma ca valoarea cautata ar fi a=7. Algoritmul ar fi identic cu cel de mai sus pana la obtinerea subprogramului date de elementul x[5] si subvectorii(x21) si x(22) . Mai departe insa, problema elementara "x[mij]" nu mai furnizeazasolutia. Intrucata<x[mij] (7<8) , trebuie continuat cu descompunerea subvectoruluix(21) . • Avem: • p=q=4, mij[(p+q)/2]=[(4+4)/2]= 4 ; primul subvector ar fi cuprins intre pozitiilep=4 si q=mij-1=3, iar al doilea intre pozitiilep=mij+1=5 si q=4. Acesti noi subvectori nu se mai pot descompune in continuare, pentru ca ... nu sunt "valizi". V-ati dat seama ca am ajuns la subvectori care nu contin nici un element, si credem ca se observa cu usurintaconditia care defineste aceasta situatie: q<p !

6. Rezolvare • Consideram o functie recursiva {div_imp(p,q:integer):boolean;} care returneaza : false daca valoarea a nu exista in subvectorul (x[p], ... , x[q]), respectiv true daca aceasta exista in subvector. • La un anumit pas al algoritmului recursiv, cautam valoarea a intr-un subvector(x[p], ... , x[q]) cuprins intre pozitiilep si q . • Daca subvectorul nu contine nici un element ( q<p, asa cum am aratat mai sus). atunci abandonam cautarea, functiareturnand valoarea false : • if q<p then div_imp:=false ; • In caz contrar: determinam pozitia de miljoc : {mij:=(p+q) div 2;} . Apoi analizam cele trei subprobleme, in ordine:

7. 1. verificam daca valoarea a coincide cu x[mij] ; in caz afirmativ, cautarea se opreste : {if x[mij]=a then div_imp:=true} • 2. in caz contrar: • a) daca a este mai mic decatx[mij], atunci valoarea a trebuie cautata in subvectorul din stanga(x[p], ... ,x[mij-1]) ; avand in vedere ca algoritmul va fi acelasi cu singura deosebire ca in loc de q vom avea mij-1 , rezulta ca este suficient sa apelam div_imp(p,mij-1); • b) daca a este mai mare decatx[mij], atunci valoarea a trebuie cautata in subvectorul din dreapta (x[mij+1], ... , x[q]) ; pentru aceasta apelam div_imp(mij+1,q) ; • if x<x[mij] then div_imp:=div_imp(p,mij-1) • else div_imp:=div_imp(mij+1,q) ;

8. Cautarea binara intr-un sir • Sa se verifice daca o valoare a exista intr-un sir de nr ordonat crescator. Se va folsi un algoritm bazat pe Metoda Divide et Impera. • program RIV_15; • usescrt; • type vector=array [1..20] of integer; • var x:vector; n,a,i:integer; • function div_imp (p,q:integer): boolean; • {cauta o valoare v in subvectorul cuprins intre pozitiile p si q din vectorul x} • var mij:integer; • begin • if q<p then {daca subvectorul nu contine nici un element} • div_imp:=false {valoarea v nu exista in subvectorulx[p], ... , x[q] } • Elsebegin • mij:=(p+q) div 2; {determina pozitia de mijloc} • if x[mij]=a then • div_imp:=true {valoarea v a fost gasita chiar pe pozitia de mijloc} • else • {daca v este mai mic decatelem. din mijloc, cautam in subvectorulx[p], ... , x[mij-1] } • {in caz contrat, cautam in subvectorulx[mij+1], ... , x[q] } • if a<x[mij] then div_imp:=div_imp (p,mij-1) • else div_imp:=div_imp(mij+1,q); • end;end;begin • clrscr; • write('n='); readln(n); {citestenumaruln si elementele vectorului x} • write ('x[1]='); readln (x[1]); • for i:= 2 to n do • repeat • write('x[',i,']='): readln (x[i]); • until x[i]>x[i-1]; • write ('a='); readln(a); {citeste valoarea a} • writeln(div_imp(1,n) ); {cauta valoarea a in vectorul dat} • readln; • end.

9. 1. Programul urmatorafiseaza valoarea . . . . • const v:array[1..7] of integer=(2,4,1,3,11,5,1,3); • function impar(m,n:integer) : integer; • beginif n=m then impar:= v[n] mod 2 • else impar:= impar(n,(n+m) div 2) + impar ( (n+m) div 2+1,m); • end; • begin • writeln(impar (0,7) ); • end. • Raspuns : 7

10. 2. Ce valoare afiseaza programul urmator? • var v:array[1..50] of integer; • i:integer; • function m(a,b:byte):longint; • begin • if a>b then m:=0 • elseif a=b then m:=v[a] • else m:=m(a, (a+b) div 2) + m ( (a+b) div 2+1,b); • end; • begin • for i:=1 to 10 do v[i]:=i; • writeln(m (3,8) ); • end. • a) 3 b) 33 c) 0 d) 8 e) 24