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Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione 4 Formulazioni e Formulazioni Ottime - PowerPoint PPT Presentation


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Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione 4 Formulazioni e Formulazioni Ottime. Prof. Carlo Mannino Prof. Antonio Sassano Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma “La Sapienza”. A.A. 2006-2007. min { c T x : x Î S }. Problema di PL01:.

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Presentation Transcript

Modelli e Algoritmi per la Logistica

Lezione 4

Formulazioni e Formulazioni Ottime

Prof. Carlo Mannino

Prof. Antonio Sassano

Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Università di Roma “La Sapienza”

A.A. 2006-2007


min{cTx : xÎ S}

Problema di PL01:

P = {xÎ Rn: Ax < b} POLIEDRO con (AÎ Rmn, bÎ Rm)

P è una FORMULAZIONE di S

P Ç {0,1}n =S

Formulazione Lineare

Un poliedro Pè una formulazione se e solo se

- contiene tutti i vettori di S

- non contiene alcun vettore di {0,1}n- S

Posso avere infinite formulazioni dello

stesso problema di PL01


min{cTx: xÎ S}

Problema di PL01:

min{cTx: xÎS} = min{cTx: xÎP Ç {0,1}n} = cTx*=z*

>min{cTx: xÎP}= LB(P)

P è una FORMULAZIONE di S

P Ç {0,1}n =S

Valore della Soluzione

Ottima del Problema di PL01

Problema di PL

(Rilassamento Lineare)

LB(P)

z*

“Lower Bounds” (approssimazioni inferiori)

LB(P)z*

LB(P)“Lower Bound” per z*


min{cTx: xÎ S}

Problema di PL01:

  • Se conosciamo una soluzione ammissibile x°S(di valore

  • z°=cTx° )LB(P) fornisce una certificazione di qualità per x°.

“gap”

cTxdecrescente

LB(P)

z*

z*

gap

LB(P)

Lower Bound = Certificato di Qualità

LB(P)min{cTx: xÎS} =z*

  • Calcolare z*è (di solito)difficile

  • Calcolare LB(P)è facile (Simplesso)

“gap” nullo  x°ottimo per PL01


min{cTx: xÎ S}

Problema di PL01:

  • S ammette molte formulazioni alternative

Lower Bounds ... riassumendo

LB(P)min{cTx: xÎS} =z*

  • Calcolare z*è difficile

  • Calcolare LB(P)è facile (Problema di Programmazione Lineare)

  • Trovare unasoluzionex°Sè (di solito) facile(Euristiche)

  • Il “gap” cTx° - LB(P)certifica la qualità dix°

  • piccolo“gap” = buona qualità di x°

  • “gap” nullo = x° ottimo per PL01

Il “gap”dipende dalla formulazioneP

  • Come classificarle(e sceglierle) ?


Criteri di qualità delle Formulazioni (1)

CRITERIO 1: P1migliore diP2LB(P1) >LB(P2)

LB(P1)>LB(P2)

P1

P2

cTx

dTx

LB(P2)>LB(P1)

No. disequazioni di Ax<b ? ;

No. variabili? ;

facilità di calcolo ?

Qualità = “piccolo gap” = massimo “lower bound

Problema:Dipendenza dalla funzione obiettivo

P1migliore diP2

Se utilizzo cTx

P2migliore diP1

Se utilizzo dTx


CRITERIO 2: P1migliore diP2LB(P1) >LB(P2)

per ognicÎ Rn

Equivalente a:

CRITERIO 3: P1migliore diP2P1 Í P2

Formulazioneottima

Criteri di qualità delle Formulazioni (2)

Il criterio di qualità deve essere indipendente dalla

funzione obiettivo (che non è prevedibile a priori)

Esiste una formulazione contenuta in ogni altra ?

PS=conv(S) Í P" formulazione P di S


Formulazione Ottima

z*=min{cTx: xÎ S}

Problema di PL01:

PS =Conv(S) = {xÎ Rn: Ax < b} POLIEDRO (AÎ Rmn, bÎ Rm)

  • S insieme dei vertici di PS (S=Ext(PS))

  • Ogni disequazione di Ax < b definisce una

  • faccia massimalediPS (... sedim(PS)=n)

z*=min{cTx: xÎS}= min{cTx: xÎExt(PS)}

=min{cTx: xÎPS}= LB(PS)= cTx°

x°soluzione ottima del rilassamento lineare

cTx° =z*cTxxS

z*=LB(PS) = cTx° (gap=0)

x°Ext(PS)=S

x°soluzione ottima delPL01


D

d

  • P={xÎ Rn: Dx < d}

  • P Ç {0,1}n =S

?

?

A

b

Rilassamenti di PS(I)

Disponiamo di una descrizione (esplicita) di:

PS ={xÎ Rn: Ax<b}per ogni problema di PL01 ?

Ovvero: Conosciamo la matriceAe il vettoreb ?

Dove “conoscere” significa: conoscere i coefficienti oppure avere

una regola che consente di calcolare i coefficienti di ogni riga della

matrice (A,b)

Sfortunatamente NO !

Quasi sempre conosciamo solo alcune (poche) righe di (A,b)

che definiscono una formulazione di S


Esempio di PS

y1 + y2 1

y1 + y3 1

y1 + y4 + y5 2

y1 + y2 + y3 + y4 2

y1 + y2 + y3 + y5 2

3y1 + 2y2 + 2y3 + y4 + y5  4

1 y1,…, y5 0

y1 + y2 1

y1 + y3 1

y1 + y4 + y5 2

Famiglia di disequazioni di PS

S={y{0,1}5: 7y1 + 6y2 + 5y3 + 3y4 + 2y5 11}

PS ={yR5: Ay<b, y> 05}

Regola di costruzione di un “tipo” di riga di A:

Se la somma dei coefficienti di k variabili è maggiore di 11

allora al più k-1 di esse possono essere poste ad 1.


Rilassamenti di PS (II)

Non disponiamo di una descrizione diPS per ogni problema di PL01.

Disponiamo di Rilassamenti diPS, ovvero:

  • PoliedriP={xÎ Rn: Dx < d})con le seguenti proprietà:

  • Il poliedro Pè una formulazione di S

  • Il sistema Dx < dè costituito da alcune famiglie di disequazioni appartenenti al sistema Ax<b.

  • Ciascun rilassamento produce un “lower bound” di z* :

  • LB(P) = min{cTx: xÎP} <z*


Formulazione Naturale:

min cA xA+ cB xB

5xA+ 7xB <10

1>xA, xB>0

xÎPN=

xB

min cA xA+ cB xB

a)xÎS xÎPN(SÍPN Ç {0,1}2)

vincoli di “box”

PN

b)xÎPN Ç {0,1}2xÎS(PN Ç{0,1}2Í S)

xÎS =

xA

Esempio: Problema di Decisione (II)

  • Due progetti Ae B

  • Vantaggi cA e cB associati

  • Risorse necessarie dA =5 e dB =7

  • Vincolo: risorse utilizzate <D =10

Verifica: PNÇ {0,1}2 =S


min -5/3xA- 11xB

5xA+ 7xB <10

1>xA, xB>0

Formulazione Naturale:

Formulazione Ottima:

min -5/3xA- 11xB

xA+ xB <1

1>xA, xB>0

xÎPN=

xÎPS=

xB

Vincolo logico: uno solo dei due

progetti può essere attivato

-12

-11

-10

-9

-8

-7

PN

PS

0

xA

Esempio: Problema di Decisione (III)


c1t=2

1

  • Grafo G(V,E) con due nodi speciali s e t:

t

  • Pesicuv per ogni uvÎE

ct4=3

å cuv

  • Peso di un insiemeFÍ E : c(F) =

2

4

uvÎF

s

cs3=2

3

cuv > 0 F* insieme degli archi di un cammino

Esempio: Sottografo s-t Connesso di Peso Minimo

Trovare il sottoinsieme di archi F* di peso minimo che contiene un cammino tra s e t: Sottografo s-t Connesso di Peso Minimo


S = vetttori di incidenza di un sottografo s-tconnesso

1

t

2

4

Problema di PL01:

s

min{cTx: xÎ S Í{0,1}E }

3

Quali condizioni deve soddisfare un vettore

xÎ{0,1}E per essere il vettore di incidenza

di un sottografo s-t connesso ?

Esempio: Grafo s-t Connesso di Peso Minimo (II)

Formulazione ?


1

t

Taglio s-t

Insieme di archi K la cui rimozione

distrugge tutti i cammini da s a t

2

4

s

3

1

t

  • Xs = nodi connessi ad s

K

  • Xs= nodi non connessi ads

2

Xs

4

  • (Xs ,Xs)partizione di V

Xs

3

s

  • t Ï Xs


Teorema(4.1):(caratterizzazione dei grafi s-t connessi) Un insieme di archi F è un sottografo s-t connesso se e solo seF ha intersezione non vuota con ogni taglio s-t.

F non contiene gli archi di un cammino s-t

  • Xs = nodi connessi ad s con archi di F

  • Xt = nodi non connessi adscon archi di F

t

s

Xt

Xs

  • Archida Xs aXt definiscono un taglio s-t

contraddizione

Fs-t connesso

Fcontiene s-tcammino P

Solo se

Ktaglio s-t

K  P 

K  F 

Se (per assurdo)

F non è s-t connesso

Ogni Taglio s-tcontiene arco diF

ma

  • s  Xs ; t Xt ;s Ï Xt ;t Ï Xs

  • (Xs ,Xt )partizione di V

  • Nessun arco di F da Xs aXt


1

t

K

2

4

s

3

å xe>1

å xexKe >1

eÎ K

eÎ E

Formulazione: Grafo s-t Connesso di Peso Minimo

xFÎS

(vettore di incidenza sottografo s-t connessoF)

(Ogni taglio s-tcontiene archi diF)

K  F  taglio s-tK

Se considero i vettori di incidenza

Es.

xFÎ S

(xF)T (xK) 1  taglio s-t K

xÎ S

(x)T (xK) 1

 taglio s-t K


Quindi:xÎ S å xe >1 per ognitaglio s-t K

eÎK

mincx

å xe>1 K taglio s-t

1 xe>0 e Î E

eÎK

xÎP=

  • Il numero di disequazioni (vincoli) è enorme (|V|=120 1036)

METODO DEL SIMPLESSO DINAMICO

Formulazione: Grafo s-t Connesso di Peso Minimo

xFÎ S

Ogni taglio s-tcontiene unarco di F

  • P è una Formulazione (formulazione ottima)

  • Come risolvere il problema di PL?


ad