Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 7 Pianificazione degli Investimenti

1. Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 7 Pianificazione degli Investimenti ANTONIOSASSANO Università di Roma“La Sapienza” Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma, 25-09-02

2. å ci • Redditività totale di un insieme F ÍI : c(F) = i Î F • Vettore dei flussi di cassaai=(ai1, ai2,..., ait)dell’investimento i ai5 ai4 ai1 ai2 ai3 ait Pianificazione degli Investimenti DATI • Insieme I ={1,2,...,n}di Investimenti • Indice di redditività (vantaggio) ci dell’investimento i • Orizzonte temporale T={1,2,...,t} • “Budget”bj del periodo jÎ T

3. 10 ( a11 , a12,..., a1t) 1 S 2 ( a21 , a22,..., a2t) -3 10 3 ( a31 , a32,..., a3t) <b1 b1=15

4. Pianificazione degli Investimenti TROVARE Insieme di investimenti F* di redditività totale massima e tale che la somma dei flussi di cassa aij dei progetti attivati sia, in ogni periodo jÎ T, inferiore al budget bj . S ={Vettori di incidenza degli insiemi di progetti compatibili con i vincoli di “budget” in ogni periodo}

5. ci Indice di redditività del progetto i max cTx xÎ S • i può essere svolto solo sej viene svolto xi< xj • solo uno tra i ej deve essere svolto • (ad es. se i e j sono copie dello stesso progetto con • stessi flussi di cassa e diversi periodi iniziali ): xi+ xj < 1 xi = xj • i viene svolto se e solo se viene svolto j Pianificazione degli Investimenti - Problema di PL01 S ={Vettori di incidenza degli insiemi di progetti compatibili con i vincoli di “budget” in ogni periodo} • Tasso interno di rendimento (TIR) - (Internal Rate of Return (IRR)) • Valore attuale netto (VAN) - (Net Present Value (NPV)) • Periodo (Punto) di “Breakeven” - (Payback (PBK)) Relazioni tra progetti (vincoli aggiuntivi):

6. a11, a12,..., a1t a11, a21,..., am1 a21, a22,..., a2t AT= a12, a22,..., am2 A= ... ... ... am1, am2,..., amt a1t, a2t,..., amt < < b1 b2 b = . bT= b1 , b2 ,..., bt bt a11x1 + a21x2 +,..., am1xm < b1 xÎ S xÎ {0,1}I, Ax < b xÎ S Pianificazione degli Investimenti - Formulazione Naturale S ={Vettori di incidenza degli insiemi di progetti compatibili con i vincoli di “budget” in ogni periodo}

7. max cTx xÎ S max cTx Ax < b 0 < xi < 1 vincoli aggiuntivi vincoli aggiuntivi Pianificazione degli Investimenti - Formulazione Naturale P0 ={xÎRn: Ax<b, 1n> x > 0n} Formulazione Naturale Esistono formulazioni migliori?

8. KPi ={maxcTx: aTx<bi, 1n>x >0n , xÎ {0,1}n} i {maxcTx: xÎ P0i , xÎ {0,1}n} {maxcTx: xÎ Si} S= Ç Si t Formulazione naturale del “Knapsack” i=1 Pianificazione degli Investimenti - Singolo “knapsack” Il vincolo relativo ad un generico periodo i definisce un problema di “knapsack” Osservazione: L’insieme delle soluzioni del problema di Pianificazione degli Investimenti è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni dei singoli problemi di “knapsack”

9. Pianificazione Investimenti - Intersezione di Formulazioni SÍ Si per ogni periodo i SiÍ Pi S= Ç Si t SÍ P= Ç Pi t i=1 i=1 Pi Formulazione di KPi Si = Pi Ç {0,1}n xÎ {0,1}n - Si per qualche i x Ï P x Ï Pi P1 P P Ç {0,1}nÍ S P0= Ç P0i t Esempio: P2 PFormulazione del problema di Pianificazione degli Investimenti i=1 La formulazione naturale è l’intersezione delle formulazioni naturali dei “knapsack” xÎ {0,1}n -S