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Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Segundo Semestre 2012. Ejemplo función cuadrática. Ejemplo función cuadrática. Ejemplo función cuadrática.
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Profesor: Víctor Manuel Reyes F. • Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) • Segundo Semestre 2012
Ejemplo función cuadrática Cambios en la fuerza máxima de extensión de rodillas en hombres entrenados (azul) y sedentarios (rojos) a distintas edades.
Ejemplo función cuadrática Audiograma: es una representación gráfica de la habilidad de audición. Durante el estudio, la audición es verificada en diferentes frecuencias. niveles de ruido (volumen) Frecuencias. http://www.audioclinical.com/Home/WhatIsAnAudiogram
Ejemplo de aplicación función cuadrática: Un investigador en fisiología ha estudiado el número de impulsos emitidos después que se ha estimulado un nervio y ha decidido que la función r(s ) = -s2 + 12s -20 es un modelo matemático aceptable para describir la situación. Aquí, r es el número de respuestas por milisegundo (ms) y s es el número de milisegundos transcurridos desde que es estimulado el nervio.
Ejemplo de aplicación función cuadrática: r(s) = -s2 + 12s -20 r = número de respuestas por milisegundo (ms). s = número de milisegundos transcurridos desde que es estimulado el nervio.
Definición función cuadrática: Una función cuadrática es una expresión descrita algebraicamente por: y = f (x) = ax2 + bx + c donde a, b, c son números reales y a≠ 0 .
Concavidad función cuadrática: El gráfico de esta función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA, la que puede estar “abierta hacia arriba o hacia abajo”, lo que denominaremos concavidad positiva y concavidad negativa respectivamente. Concavidad (+) Concavidad (-) Se da cuando a > 0 Se da cuando a < 0
Intersección con los ejes: f(x) = x2 − 3x − 2 Intersección eje y Intersección eje x (0,y1) (x1,0) (x2,0)
Intersección con los ejes: La intersección de la parábola con el eje y es un punto (0, c) donde c es el valor dado en la expresión funcional y = f (x) = ax2 + bx + c Ejemplo: la función f (x) = 2x2 + 3x − 5corta al eje y en el punto (0, − 5) porque c = − 5. Además está abierta hacia arriba (concavidad positiva) porque a=2 >0.
Intersección con los ejes: La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0= ax2+ bx + c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado. • Por factorización • Utilizando la fórmula • Por completación de cuadrados
Intersección con los ejes: Por factorización: Resolver la ecuación: x2- 12x - 28 = 0 Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den -28 y sumados den -12; estos son -14 y 2, por lo tanto la factorización es: (x - 14)(x + 2) = 0 A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2
Intersección con los ejes: Utilizando la fórmula: Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), podemos utilizar la fórmula: • Ejemplo: • Resolver la ecuación: • x2 – 10x +24 = 0 • En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24, reemplazando en la fórmula, obtenemos: • Por lo tanto x = 6 ó x = 4
Intersección con los ejes: Las soluciones de una ecuación ax2+bx+c=0 dependen del signo del discriminante que es la cantidad subradical de la fórmula Lo que se denota • Así tenemos que: • 1. Si Δ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x. • 2. Si Δ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x. • 3. Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.
Intersección con los ejes: • Si se tienen dos soluciones reales distintas x1, x2 , la gráfica corta al eje x en los dos puntos (x1,0) y (x2 , 0) . y = x2 + 4x + 3 y = -2x2 + x + 2
Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones reales e iguales x1, x2 , la gráfica corta al eje x en un solo punto de coordenadas (x1,0) y = x2 + 4x + 4 y = -x2 + 2x -1
Intersección con los ejes: Si se tienen dos soluciones no reales x1, x2, la gráfica no corta al eje x. y = x2 + 2 y = -x2 -1
Coordenadas del vértice de la parábola: Otro de los elementos importantes para elaborar una buena gráfica de la parábola es conocer las coordenadas del vértice de una parábola, que es el punto donde “da la vuelta”. La fórmula del vértice, en función de los coeficientes a,b,c es: Si la parábola tiene concavidad positiva, decimos que V es un punto mínimo de la función. Si la parábola tiene concavidad negativa, V es punto máximo de la función.
Coordenadas del vértice de la parábola: Esto se aprecia en la gráfica, si analizamos la función f (x) = 2x2 - 3x – 2 • Como tiene concavidad positiva, por ser a = 2 > 0, en la gráfica el vértice de esta parábola debe ser punto mínimo. • Ocupando la fórmula, para a=2, b=-3 y c=-2, se tiene:
Actividad: Observemos la gráfica de las siguientes funciones Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice.
