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DERIVACION IMPLICITA

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DERIVACION IMPLICITA. Prof. Luis Martínez Catalán 2008. DERIVACION IMPLICITA. En general, la ecuación , para determinados intervalos de , define a como una función de ; en tal caso su derivada

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DERIVACION IMPLICITA

Prof. Luis Martínez Catalán 2008

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DERIVACION IMPLICITA

En general, la ecuación , para determinados intervalos de ,

define a como una función de ; en tal caso su derivada

se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en

derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en e

teniendo presente que, para determinar dos intervalos de , la variable se

comporta como función de y es diferenciable con respecto a , es decir,

existe , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con

respecto a y luego con respecto a

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Ej: Hallar la derivada de la relación

Solución:

Por definición de valor absoluto se tiene:

ii)

i)

En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene:

-

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-

Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva

En el punto (1,1) de ella

Solución: (1,1) es pto. de la curva.

Derivando implícitamente con respecto a se tiene:

T:

N:

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DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

  • Sí es diferenciable, entonces se tiene , 1ª derivada
  • de con respecto a
  • Puesto que es función de , se tiene derivando con
  • respecto a

, 2ª derivada de con respecto a

  • es función de , entonces:

, 3ª derivada de con respecto a

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Sí tiene derivadas, se llega a la expresión:

, -ésima derivada de con

respecto a

Ej: Determinar las derivadas sucesivas de

Solución:

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Ej: Determinar en la ecuación , suponiendo

que es función de

Solución:

Derivando implícitamente:

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APLICACIONES DE LA DERIVACION

TEOREMA (Teorema de los valores extremos)

Si es una función continua definida en el intervalo cerrado ,

existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual

toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal

que en el cual toma el menor valor.

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y

0

x

Gráficamente

se cumple en que

es el máximo valor de en

y

es el mínimo valor de en

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TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma su

valor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del

Intervalo. Si existe , entonces

COROLARIO:Sí es un mínimo de , entonces ,

Siempre que exista la derivada

NOTA:Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al

intervalo, puesto que , definida en

Tiene un máximo en y un mínimo en y además

en todo punto del intervalo

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y

0

2

1

x

es un mínimo de

es un máximo de

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APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES

Estudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función.

Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí:

es un máximo o un mínimo

concavidad

Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad

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Entonces:

1)

es un máximo relativo de la función en

2)

es un mínimo relativo de en

3)

tiene un punto de inflexión en

NOTA 1:Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de

inflexión se llaman puntos críticos de la función.

NOTA 2:No siempre cuando la función tiene un

punto extremo (máximo o mínimo).

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Ej: Estudie y grafique la función

Dominio de existencia:

Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Puntos extremos

-1

1

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es creciente

es decreciente

es creciente

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Concavidad:

Punto de inflexión

es cóncava hacia abajo

es cóncava hacia arriba

Ahora:

y

tiene un máximo, su valor

tiene un mínimo, su valor

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y

5

1

x

0

1

-1

-3

Así la gráfica resulta: